CHAPITRE \H. — VERIFICATIONS

lellre isolée, ou tel groupe de lellres, ne doit point figurer dans ces formules.

1142. Lorsqu'on cherche les expressions de '?>\mnx et cos/w^ en fonction de sin^ et cosj:, on part de la formule de Moivre, laquelle contient l'imaginaire i. N'est-il pas évident que cette imaginaire ne ào\\ point figurer dans les derniers résultats?

Soit à intégrer la différentielle e~^ s\nx clx. Le moyen le plus simple pour en calculer l'intégrale, c'est d'y remplacer sinx par son expression eu fonction des exponentielles e'^ et e~'-^. Ces exponentielles contiennent l'imaginaire i. N'est-il pas évident que cette imaginaire, pas plus que dans l'exemple précédent, ne doit figurer dans l'expression finale?

1143. Pour calculer, en Cinématique, dans le mouvement d'un point, la vitesse et les diverses accélérations, le procédé le plus commode consiste à se servir des formules qui donnent, sur chaque axe de coordonnées, le mouvement de la projection de ce point. C'est, par exemple, à l'aide de ces formules qu'on obtient la résultante de [)lusieurs vitesses. N'est-il pas évident encore que l'expression de cette vitesse résultante ne doit dépendre que des vitesses composantes et des angles qu'elles forment entre elles; doit être, [)ar conséqueni, indépendante de toutes coordonnées?

Dans une foule de questions, d'ailleurs, les coordonnées, quelles qu'elles soient, ne remplissent, pour résoudre ces questions, que le rôle des échafaudages qui servent à construire un édifice. Une fois achevées la construction de l'édifice et la résolution de la question, échafaudages et coordonnées doivent également disparaître.

Homogénéité géométrique.

1 144. On ne peut égaler entre elles que des quantités de même nature : des longueurs à des longueurs, des superficies à des superficies, des volumes à des volumes. C'est là, avons-nous dit (10i6), l'origine et la raison de l'homogénéité pro|)rement dite, de celle qu'on envisage en Géométrie.

Mais une homogénéité toute pareille se rencontre aussi en Méca-

48o TROISIÈME PARTIE. — USAGE.

nique, ea Physique, en Chimie et, en général, dans toutes les sciences touchant au concret. On ne peut égaler des vitesses qu'à des vitesses, des températures qu'à des températures, des poids qu'à des poids. Cette homogénéité s'appelle souvent homogénéité de dimensions. \ous la comprenons aussi sous le nom à^ homogénéité séométrique, qui est pour nous, dans les questions concrètes, une dénomination tout à fait générale.

1145. Les considérations d'homogénéité nous fournissent des moyens de vérification applicahles, pendant le cours entier du calcul, à toutes les équations et, en dernier lieu, aux expressions des inconnues.

Il faut se rappeler que les longueurs doivent être regardées comme du premier degré; les superficies comme du deuxième; les volumes comme du troisième. — Les nombres, exprimant les rapports de quantités de même nature, sont forcément du degré zéro. C'est ce qui a lieu, puisque ce sont des nombres, pour les arcs figurant en Trigonométrie, et pour toutes leurs lignes trigonométriques.

ili6. Dans le plan, en coordonnées rectilignes, x ety sont des longueurs. Il s'ensuit que les dérivées

dx dx- dx^

sont respectivement des degrés o, — i , — 2, .... — En coordonnées polaires, ;• est une longueur, 8 est un angle. Donc les dérivées

dr d'- r d^ r

sont toutes du premier degré. — Si l'on considère à la fois les

coordonnées rectilignes et les coordonnées polaires liées entre elles

par les équations

a-=rcosO, y — rs\nfi,

les dérivées partielles

dr dr àfi ()6 àx dy dx dy

sont : les deux premières du degré zéro, les deux suivantes du degré — i .