S = — : — 7 ' S = — SI II A

2 sinA -i.

SMl C 2

sinA B L.

cos— eus —

sin- ia — b)

taiiir - ( A — B ) = cot fr- C

sin- (a -+- o )

W serait mauvais d'écrire, par exemple,

sin G

sinA

Il est évident, d'ailleurs, (pi'on devra écrire de même le résultat d'une règle de trois (juelconque, simple ou composée.

Homogénéité algébrique.

1149. Une forme composée de plusieurs variables et de degré donné n'est autre chose qu'un polvnome entier dont tous les ternies A. 3i

sont de ce degré par rapport à ces variables. Si chacune de ces variables représente une longueur et si tous les coefficients sont des nombres, ce polynôme possède rWomogénéitt' dont nous venons de parler, V homogénéité géométrique. Mais, si ce polynôme se présente dans une cpiestion qui n'ait rien de concret, l'homogénéité qu'il nous offre est purement a/^eZ>r/^we.

J 150. Considérons l'équation

Ao .r "« -1- Al a;'"^» -H Aoa:""-^-!-. . . -+- A„j = o.

En chacun de ses termes, l'indice et l'exposant ont une somme constante. C'est là une homogénéité qui paraît algébrique. Si l'on se rappelle les relations qui existent, en toute équation de cette forme, entre les coefficients et les racines, on voit que chaque coefficient est une fonction homogène de toutes ces racines, dont le degré est marqué par l'indice. Ce degré est ce qu'on appelle le poids de cette fonction. Aussi peut-on dire que l'homogénéité présentée par l'équation considérée est une homogénéité de poids.

Cette notion du poids s'étend, d'ailleurs, comme on le sait, à toutes les fonctions symétriques des racines de l'équation, ou plutôt à toutes les fonctions symétriques de plusieurs quantités.

lloi. Toute fonction symétrique, rationnelle et entière des racines d'une équation s'exprime, on le démontre, par une traction rationnelle, qui a pour dénominateur une puissance de Aq, et pour numérateur une fonction rationnelle et entière des coefficients A, dont le poids est juste égal au poids de la fonction symétrique à évaluer. C'est là évidemment, pour la formule qui nous donne cette évaluation, un moyen simple et immédiat de vérification.

On peut en déduire une conséquence remarquable pour la composition de cette formule à l'aide des coefficients A. Si la fonction symétrique considérée est de degré/?, la formule qui nous la donne ne peut |)as contenir de coefficient A dont l'indice dépasse p. La somme des quatrièmes puissances des racines d'une équation algébricpie de degré supérieur à 4 s'exprimera donc à l'aide seulement des 5 coefficients Aq, Ai, Ao, A3, A^. Si elle nous en présentait quelque autre, elle serait erronée.