CHAPITRE XII. — VÉRIFICATIONS

llo'2. L'Iioinogénéilé que nous venons de considérer pourrait, < onirne nous l'avons déjà dit, se nommer homogénéité de poids. Nous l'appellerons siinplcnienl homogénéité algébrique.

1153. Des considérations d'homogénéité algébrique nous permettent souvent de dire que certaines formules ne possèdent point les propriétés qu'on leur attribue. Supposons (pron nous affirme que l'égalité

-^ \6' d)~ Fn

est une identité. Nous pouvons aussitôt le nier. Le premier membre, en eflet, est homogène en a et h. tandis que le secorul ne l'est pas.

Homogénéité d infini tude.

Moi. Quand le premier membre d'une équation est fini, le second membre doit l'être. Quand le premier est un infiniment petit ou un infiniment grand, le second doit être un infiniment petit ou un infiniment grand du même degré d' infinitude. C'est en ce fait (pie consiste ce que j'appelle précisément V homogénéité d'infinitude.

lloo. Une dérivée est, |)ai- définition, une quantité (inie. Une diftérentielle, une quantité infiniment petite. — Si )' est une fonction de .r, les dérivées successives y\ y", y"' . . . . sont des quantités finies. — Si dx est l'infiniment petit principal, dy., d'-y, d^y, ... sont des infiniment |>elits avant respectivement, pour degrés d'iufinitude, les nombres i, 2, 3, ....

Lorsque l'on prend les dérivées sous forme de quotients

dv d- y d^ y dx dx- dx'

il est rare que Ion fasse, en écrivant, des fautes contre l'homogénéité qui nous occupe. — Lorsqu'on les désigne par j'. y", r"'. .... ces fautes se rencontrent. J'ai vu souvent des égalités telles que

celle-ci,

y' = f{x)dx,

dont le premier membre esl Ji ni, et le second infiniment petif.

1156. Toute formule, qui nous présente des infiniment petits, doit être vérifiée au point de vue de V homogénéité d'infinitude, non moins qu'au point de vue de l'homogénéité géométrique ou algébrique. Toute formule de cette sorte donnera donc lieu, au seul point de vue de Ihomogénéité, à deux sortes de vérifications.

1157. Soit la formule

qui nous donne le ravon de torsion T au point jc, y., z d'une courbe gauclie.

Son premier membre, au point de vue géométrique, est du degré — i. Son second membre doit l'être aussi. Et il l'est, en effet, comme on le voit immédiatement lorsqu'on se rappelle que

l'on a

dx dy dz

d'-x d'-y d- z d^ X d^y iP z

A = dy d- z — dz ci-y, B = dz d'-x — dx d- z, G = dx d-y — dy d'-x.

Au point de vue de linfinitude, son premier membre est fini, c'est-à-dire est du degré zéro. Le numérateur et le dénominateur de son second membre doivent donc nous présenter le même degré d'infinitude. Or c'est ce qui a lieu, puis(prils sont l'un et l'autre des infiniment petits du sixième ordre.

Il est bien évident que ces deux modes de vérification s'appliqueraient aussi, et d une façon beaucou p plus simple, à la formule si connue qui nous donne, pour une courbe pi. me, le rayon de courbure en un point.

Variables indépendantes et fonctions.

1158. Les variables entrant dans une que.>5lioM quelconque sont évidemment de deux sortes. Les unes ne dépendent que de nous,^ c'est-à-dire peuvent prendre toutes les valeurs que nous voulons : ce sont les variables indépendantes. Les autres ne le peuvent point^