CHAPITRE \U. — VÉRIFICATIONS

leurs valeurs sont déterminées par celles des premières : ce sont les /onctions.

Nous pouvons évideniinent choisir à volonté les variables indépendantes et par suite les fonctions. Après les avoir choisies, nous pouvons les changer. Le problème constitué parce changement peut se présenter à nous sous différents aspects. Nous pouvons, en effet, suivant la question, considérer une ou plusieurs fonctions, une ou plusieurs variables indépendantes; changer seulement les variables indépendantes ou changer à la fois les variables et les fonctions. Ce qui nous intéresse présentement, c'est que ces changements divers nous fournissent, en certains cas, des movens commodes de vérification.

llo9. Pour en montrer un exemple, considérons les coordonnées .r, y du point fjui décrit une courbe plane. Nous pouvons regarder x ç,\. y comme fonctions cV une variable indépendante quelconque l et en désigner par dx^ dy^ c/^^, d-y les différentielles des deux premiers ordres. Nous pouvons, au qowVvawq. prendre x commue variable indépendante, regarder r comme fo/iction de x et en désigner les deux premières dérivées par y' el y .

Soit maintenant l'expression donnée

f(T, y, dx. dy, d'-x, d'-y),

où X et y sont fonctions de t. Pour obtenir ce qu'elle devient lorsqu'on prend x pour variable indépendante, il sultit dv remplacer

dy^ d- X, d-y respectivement par

y' dx, o, y dx-.

ce cjui nous donne

/(x, y, dx, y'dx, o. y" dx^-).

Or, si Ton part de cette nouvelle expression, et que l'on veuille revenir au cas où la variable indépendante est quelconque, il faut, comme on le démontre, remplacer dans cette nouvelle expression

respectivement par

dv dx d- V — dy d- x

•f et :: •

dx dx^

486 TROISIÈME PARTIE. — LSAGE.

Celte subsiitulion nous donne

.1 , j dx d'^y — dv d-x\ fi^x, y, ax, dy, o, -^^ j .

CeUe dernière expression doit donc être identique à notre expression initiale. Si elle ne l'est point, celte expression initiale est fausse, ou j)lulôt est une expression qui ne peut exister.

1160. Ainsi, ce mode de vérification nous permet de rejeter certaines expressions comme tout à fait impossibles. Supposons que, par inadvertance ou défaut de mémoire, nous écrivions sous la forme

dx d'^y -f- 2 dy d- x

l'égalité qui donne, lors(jue la variable indépendante est qaelconquey le rajon de courbure au point x^^y d'une courbe plane. En prenant X pour variable indépendante, nous déduison;? de là

En partant de ce résultat et revenant au cas où la variable indépendante est quelconque, nous ol)tenons l'égalité

{dx'^-^-dy-^Y

dx d'^y — dy d''- x

qui n'est point identique à notre égalité initiiile. Celte égalité initiale est donc /"rtW55e ou |jlulôt impossible.

1161. Il suit de ces diverses considérations que les expressions provenant soit du calcul infinitésimal proprement dit, soit de ses applications géométriques, ne sont point toujours des expressions (juelconques, pouvant être prises arbitrairement. Dans l'exemple simple que nous avons donné, il faut, pour que l'expression

f{x, y, dx, dy, d^x, d^y)

soit possible, qu'elle satisfasse à une certaine identité. Dans les cas

CllAlMTRK XII. — VÉIUFICATIONS. 487

plus com|)Iic[nés, il faudrait que d'autres identités fussent vérifiées de même. Ces identités de condition seraient intéressantes à connaître. Peut-être ne les a-l-on pas encore cherchées.

Symétrie et dissymétrie.

1162. Dans les problèmes qui comportent plusieurs données, si ces données sont d' une seule sorte et que l'inconnue dépende de chacune d^ elles de la même manière, son expression doit être symétrique par rapport à elles.

Ainsi, en Trigonométrie rectiligne, pour un triangle quelconque, l'expression du périmètre, celle du rayon du cercle inscrit, celle du rayon du cercle circonscrit doivent être chacune des fonctions symétriques des trois côlés. — ■ El de même, en Trigonométrie sphérique, la surface doit être une fonction symélri(pie des trois angles.

D'ailleurs, comme nous l'avons déjà fait remarquer, une telle formule symétrique est toujours, forcément, une formule unique. C'est ce qui arrive, dans les triangles rectilignes, pour la formule

S = \/pip — a){p — b )(p ~c}, où S désigne la surface; p, le demi-périmrtre ; «, b, c, les 3 côtés.

1163. Quand on considère en même temps des données de deux sortes, par exemple les côtés et les angles d'un triangle rectiligne quelconque, la formule qui donne la surface de ce triangle, si elle contient des éléments de la [iremière sorte et des éléments de la seconde, ne sera plus symétrique par rapport à tous les éléments d'une même sorte. On aura, parexem[)le,

b = — sni A.

Seulement, dans ce cas, cette formule ne sera plus une formule unique, on aura à la fois

o f^c . ^ ^ ca . ab .

et ce sera le système de ces 3 formules qui sera symétrique j)ar rapport à chaque sorte de données.

1164-. Lorsque l' inconnue n'est point symétrique par rapport à toutes les données d'une même sorte, son expression à l'aide de ces données ne doit point l'être. L'expression d'une bailleur d Mil iriangle, celle d'une nii'diane, celle du rayon d un des cercles exinscrits ne doit jDoint être symétrique par ia|)port aux 3 côtés. Il serait ahsuide cpi'elle le fût.

Mais on en peut prévoir la composition di^syjnétrique. L'expression de la médiane qui part du sommet A doit être symétrique par rapport aux côtés b el c qui parlfiit du même sommet, et contenir a d'une façon particulière. Il en est de même pour la hauteur qui part du sommet A, et pour le ravou du cercle exinscrit oj^posé à ce sommet.

LI60. De même encore, toute formule donnant langle A en fonction des côtés doit être symétrique en b et c et contenir a d'une manière spéciale. C'est ce qui a lieu |)our

tar- — ' / '

pip — a)

qui est la formule exacte. — Si I'qu nous donnait. |)our calculer A. l'une i)u I autre des formules suivantes.

tang-=t/^^^ '— -L — — , tang-=l/-^^ '——

y abc 1 \ pip — b }

noi:s pourrions dire, à sim[)le vue, que chacune de ces formules est erronée : la |ireuiière, comme étant symétrique par rapport aux trois côtés; la seconde, comme nous présentant, par rapport à eux, une fausse dissymétrie.

Résumé.

1166. Si nombreux que soient les modes de vérifications cpii précèdent, ce ne sont pas les seuls. On pourrait trouver d'autres hofnogénéités, d'autres symétries ou dissymétries; on pourrait en Géométrie, même dans l'espace, tenir compte des signes des segments et des angles; en Analyse combinatoire, faire attention à l'ordre qu'on suppose ou ne suppose pas entre les éléments des