CHAPITRE V. — SIGNES DOPÉRATIONS. 6l

Opérations inverses de la puissance.

168. Comme la so/nme et \e produit de deux nombres dépendent <symélriquement de ces nombres, ['addition et la multiplication n'ont Tune et l'autre qu'une opération inverse. Au contraire, la puissance n'"'"'^ de a ne dépendant /?«5 symétriquement de a et de n, l'élévation aux puissances nous ofTre deux opérations inverses : la recherche de la racine el Li recherclie de Texposant.

Ces deux opérations répondent à ces deux problèmes : Calculer le nombre a lorsqu'à?} connaît la puissance P et l'exposant n; Calculer l'exposant n, lorsqu'on connaît la puissance P et le nombre a. Résoudre le premier de ces problèmes, c'est extraire la racine n'^'"^ de a: résoudre le second, c'est calculer, dans la base <7, le logarithme de n.

Signe de la racine.

169. La racine /z'^""^^ d'un nombre f[uelcon(]ue est un autre nombre tjui, élevé à la n^''^'"^ puissance, rcjjroduit le premier. La racine n'"""'^ de A s'écrit \/A; le nond)re n est l'indice; le signe y' se nomme radical.

170. Ce signe \/ , qui a été employé |iour la première fois par Christophe Rudolf ('), peut s'expliquer d'une façon très simple. Le \l qui en constitue la première partie ne serait qu'une modification, qu'une déformation de la lettre F, initiale du mot racine. Le trait horizontal qui suit ne serait que 1 un de ces traits si em|)loyés autrefois en guise de parenthèses; il indiquerait que l'on considère la racine de l'expression tout entière qui lui est soumise. Etymologiquement, le radical se composerait ainsi de deux signes, qu'on a j)eut-étre eu tort de souder : un signe d'opération et un signe de groupement.

171. La plupart des anciens auteurs écrivent tantôt ya-\-by tantôt '^{^ii-\-b). La notation '\Ja-\-b, sans trait ni parenthèse^

(') Christophe lludolf, i522.

62 PRK.MIÈRI: PARTIK. — ÉNUMKRATION.

sei'ait une faute grave; mais \/c n'en serait pas une, puisque le signe y/ n'y porte que sur une seule lettre. Quant à la notation \/(/7 + 6), avec trait et parenthèse, c'est un véritable pléonasme.

Présentement, on ne supprime presque jamais le trait du radical. Tl faut, en letraoanl, lui donner exactement la longueur qui convient. Ce trait doit recouvrir entièrement l'expression dont on cherche la racine; il ne doit jamais la dépasser.

L'indice d'une racine quelconque est forcément un nombre positif, entier et supérieur à l'unité. Jl faudrait toujours l'écrire. On le supprime d'ordinaire lorsqu'il est égal à i. La racine carrée de 28q par exemple s'écrit y/^Sp- C'est une abréviation fautive, mais qui n'a nul inconvénient.

172. On sait qu'un nombre quelconque, réel ou imaginaire, admet toujours // racines /i"^^""^ L'expression y/A représente l'une quelconque d'enire elles, c'est donc une expression mal déterminée. Lorsque A est réel et positif, on en restreint souvent la signilication en convenant de considérer y A coijime représentant le nombre réel et positif unique dont la /?'*''"'■ jmissance reproduit A : c'est ce qu'on appelle la valeur arithmétique de y/A. En général, quel que soit A, pour en distinguer les n racines /i"^"*'^, le moyen le meilleur, ou plutôt le seul, c'est de recourir à l'emploi des quantités imaginaires mises sous forme trigonométrique, c'est-à-dire exprimées à l'aide de ces deux variables, le module et Xar^ument.

Exposants divers.

173. Comme nous l'avons dit, l'exposant d'une puissance est, par sa nature, un nombre réel, positif, entier et supérieur à l'unité. Nous avons vu qu'on lui donnait aussi la valeur i. En généralisant davantage, on en est arrivé à considérer des exposants nuls, négatifs, fractionnaires, même incommensurables, même imaginaires.

174. Par convention, «" représente l'unité; rt~s^ re|)résente -^;