CHAPITRE V. — SIGNES d'oPÉRATIONS
les expressions a'' et a'\ où p et q sont entiers et positifs, représentent respeclivenienl \''a et \/aP; l'expression ct^, où s est inconi-
mensurabie, représente la limite de a'^ lorsque la fraction — tend
vers rincommensurable s. L'exposant d'une puissance peut donc prendre toutes les valeurs réelles possibles. On en a étendu la définition aux valeurs imaginaires,
e^+'y — e-«(cosj' + i s^in y)-
175. D'après ce que nous venons de dire des exposants négatifs,
a~V- est éeal à En particulier, r/~' est égal à -» c'est-à-dire que
la puissance d'ex|)osant — i d'un nombre quelconque n'est autre chose que l'inverse de ce nombre.
Il est évident du reste que, par l'emploi systématique des exposants négatifs et des exposants fractionnaires, on pourrait, dans le calcul algébrique, supprimer à la fois les dénominateurs et les radicaux.
La septième opération.
176. Comme nous l'avons déjà dit, la reclierclie de V exposant répond à ce problème : Connaissant un nombre a et Vune P de ses puissances, calculer l'exposant n de cette puissance.
177. Celle septième opération, qu'il faut forcément envisager pour être complet, manque dans la plupart des Traités d'Arithmétique. C'est J. Bourget(') qui a, le premier, signalé cette lacune (-) et indiqué le moyen de la combler. Il donne à l'opération de la recherche de l'exposant le nom (ï exponentation, et la représente
par le signe — \ — qui se prononce exponenté par. L'égalité
doit se lire : 64 exponenté par 4 égale 3.
(') Né en 1822, mort en 18S7.
(^) BouRGET, Journal de Mathématiques élémentaires, t. II, p. 12.
64 PRKMIÈRE PARTIE. — ÉNUMÉRATIOX.
11 n'y a rien à dire du mot exponentation, ni de la loculion expo-
nenté par. Quanl au signe — '- — ? il n'est autre que celui dont on
se servait autrefois pour indiquer les progressions arithmétiques. Ayant déjà un sens, il n'evit point dû en recevoir un nouveau.
178. Nous l'avons déjà vu : en exponentant P par «, on obtient, dans la base «, le logarithme de P. Ce logarithme se représente d'ordinaire par la notation log^P. On j supprime souvent l'indice a. C'est ce qu'on fait toujours : dans les Mathématiques appliquées, lorsque le logarilliine est décimal, c'est-à-dire a pour base l'entier lo; dans les Mathématiques pures, lorsque le logarithme est népérien, c'est-à-dire a pour base l'incommensurable e. Le logarithme népérien de P se représente soit par LP, soit par J^P, soit par log P.
Ainsi, les logarithmes ne sont cpie les résultats fournis par notre septième opération fondamentale. C'est ce (pie montre immédiatement la définition exponentielle qu'en a donnée Euler; mais ce que ne montrait point la définition fondée sur les progressions. V^oilà pourquoi les anciennes Arithmétiques, même celles qui consacrent un Chapitre aux logarithmes, ne parlent aucunement de notre septième opération.
