SIGNES DE FONCTIONS

Notion de fonction.

213. La nolion de fonction est difficile à définir. Certains la définissent d'une façon négative ('). Une c|uantité, disent-ils, est fonction d'une autre lorsque, cette deinière ne vaiiant pas, la première ne varie pas; une quantité est fonction de plusieurs autres lorsque, aucune de ces dernières ne variant, la première ne varie pas non plus.

Le plus souvent, on en donne une définition positive. On se borne alors à dire qu'une quantité variable est fonction d'une ou plusieurs autres lorsqu'elle dépend d'une manière quelconque de celles-ci ou de celle-là. La notion de fonction est ainsi ramenée à la notion de dépendance, qu'on regarde comme primitive et que, par conséquent, on ne définit pas.

Quant aux mots constant, variable, ils se comprennent d'euxmêmes. Les variables évidemment sont dépendantes ou indépendantes. Les variables dépendantes ne sont autres choses que les fonctions; mais il serait désavantageux, selon nous, de remplacer le mol fonction par la locution variable dépendante.

Fonctions explicites.

214. Les fonctions les plus simples sont celles qui nous sont données immédiatement à l'aide de la variable ou des variables dont elles dépendent, de certaines constantes appelées souvent para-

(') H. Laurent, Traité d'Analyse, in-8, Paris, iS85, t. I, p. i.

^8 PREMIÈRE PARTIE. — ÉNUMERAïION.

meures, et de quelques signes d'opération et de groupement. Telles sont les expressions

(x^rMa — x), '■ — ^^i s/ax'^-^ -ïbx -^ c,

qui dépendent des variables x et y; telles sont, en général, toutes les expressions que nons avons appris à écrire.

Ces fonctions sont les plus simples, non point objectivement, mais subjectivement; c'est-à-dire non point en elles-mêmes, mais par rapport à nous. Étant écrites, en effet, d'une manière bien correcte, il nous suffit de les regarder attentivement [)Our en pénétrer la composition et pour savoir, dans chaque cas particulier, par quels procédés on en peut calculer la valeur nutnérique. On pourrait dire qu'elles s'expliquent d'elles-mêmes : de là le nom de fonctions explicites qu'on leur donne communément.

215. Elles sont, d'ailleurs, bien écrites dès que l'on a, en les écrivant, observé fidèlement les règles données plus haut louchant la forme, la grandeur et la disposition des éléments dont elles se composent. Pour faciliter l'écriture et le langage, nous pouvons, à de certains moments, les désigner par une lettre unique; dire, par exemple, que nous appelons u le trinôme ax- -\- bx -{- c. Quelquesunes ont un nom qui leur est propre : telles sont la somme, le produit, la moyenne arithmétique, géométrique ou iiannonique de deux ou plusieurs nombres. En général, h-s fonctions explicites ne possèdent ni noms parlés, ni symboles écrits, et il est inutile de leur en assigner.

Toutefois, sans rien sacrifier de la clarté ni de la précision, on peut représenter sous forme condensée ou abrégée celles de ces expressions qu'il serait long, difficile ou impossible d'écrire in extenso. Nous reviendrons plus tard (814) sur ces repiésenlations condensées ou abrégées.

Variantes.

216. Parmi les fonctions cpii se présentent en Mathématiques, il en est dont les variables ne peuvent recevoir (pu- des valeurs numériques entières. Elles se rencontrent à chaque instant. M. Méraj