CHAPITUE VII. — SIGNES DE FONCTIONS

les a nommées des variantes ('), pour les distinguer des fonctions proprement dites; il a appelé les variables dont elles dépendent indices, parce que ces variables, dans l'écriture, se représentent d'ordinaire par les indices dont nous avons parlé (136).

217. Une variante à un indice se représente par une lettre affectée de cet indice, placé toujours à droite et en bas. Le terme général d'une série s'écrit ainsi Un. — Une variante à deux indices se représente par une lettre affectée de ces deux indices, placés tous deux encore à droite et en bas. L'élément général d'une Table à double entrée, celui d'un déterminant, par exemple, s'écrit ap^q. — On peut imaginer des variantes à trois, à quatre, à un nombre quelconque d'indices. Le ternie général d'un déterminant cubicjue est une variante à trois indices. Il s'écrit ap^q^,-

Dans le premier de ces exemples, l'indice n est un numéro d'ordre; dans le deuxième, les indices p el q en sont encore deux, se rapportant lun à une ligne, l'autre à une colonne; dans le troisième, les indices /?, ^, /• en sont trois se rapportant à trois directions rectangulaires entre elles. Mais il n'en est pas toujours ainsi. Le nombre, en effet, des permutations de m lettres s'écrit ?„, ; le nombre des arrangements simples de n leltiesyo à p s'écrit A,i^p et, ni dans l'une ni dans l'autre de ces variantes, les indices ne sont des numéros.

218. Dans le cas de deux indices, on place très souvent l'un des deux en exposant. Comme nous l'avons fait déjà remarquer, cet usage est fautif puisqu'il peut faire naître des confusions. Il ne deviendrait tolérable que si, dans la question traitée, ces confusions étaient impossibles, ou cpie si l'on avertissait, par l'écriture même, que l'indice ainsi placé n'est point un exposant. Un auteur

a imaginé de mettre cet indice, non point à la droite et en iiaut,

p mais au-dessus même de la lettre principale : il écrit ainsi B^. Le

plus souvent, sans changer la place de l'indice supérieur, on le met

entre parenthèses. C'est entre parenihèses aussi qu'il convient de

mettre le symbole d'une variante à un ou deux indices, avant de

(') Charles Meray, Aouveau précis d'Analyse infinitésimale, in-8°, Paris, 1872, p. I.

8o PRKMIKRE PARTIE. — ÉNUMÉRATION.

l'élever à une puissance : le cube du nombre dm,p des combinaisons simples de m objets/? -a p s'écrira donc {(^m,pY-

219. Les diflerents symboles que nous venons de considérer se composent tous d'une lettre, majuscule ou miniiscide, qui en paraît être la partie principale, mais qui n'y sert, en réalité, que de support aux indices. On supprime parlois cette lettre et l'on se borne à mettre l'indice ou les indices entre parentbèses ou entre

crochets. On écrit ainsi, sous l'une des formes (/7<, /»), f 1> >

en changeant parfois l'ordre des deux indices, la variante représentée plus haut par le symbole C^,/;- Dans un Mémoire déjà ancien ('), j'ai représenté par (m, p)^^ le nombre des combinaisons régulières, d'ordre to, de m objets/; à />, nombre qui constitue évidemment une variante à trois indices. Ces derniers modes de représenlation des variantes sont commodes et souvent emplo^'és.

Fonctions indéterminées.

220. Les fonctions proprement dites sont celles où il est permis de donner à la variable toutes les valeurs (pi'on veut. Ces fonctions peuvent être définies d'une manière quelconque : soit à l'aide des notations mathématiques, soit en langage ordinaiie, soil, comme il arrive dans les sciences d'observation, d'une façon purement empirique. Elles peuvent exprimer une grandeur, un nombre, la limite d'une série, la limite du produit d'une inllnité de facteurs, etc., etc. On peut aussi considérer des (onctions d'une ou plusieurs variables qu'on ne délinil point et qu'on laisse absolument indéterminées, afin de leur donner le plus haut degré possible de généralité.

221. Ces fonctions très générales se représentent d'ordinaire par une lettre unique qu'on fait suivre, le plus souvent entre parenthèses, des lettres désignant la ou les variables. On écrit ainsi,

(') Mémoire sur les combinaisons régulières et leurs applications (Annales scientijiques de l'École Aormale supérieure, 2° série, t. V, 1876, p. lôô-igS).

CHAPITRH Vil. — SIGNES DE FONCTIONS. 8l

pour les fonctions indéterminées d'une variable,

fKX), o{x)', pour les fonctions indéterminées de plusieurs variables.

Evidemment, lorsqu'il j a plus d'une variable, ces variables doivent être placées entre parenthèses; évidemment elles doivent être, comme nous l'avons dit, séparées les unes des autres par des virgules. L'absence de séparations pourrait amener des confusions fâcheuses, celle par exemple de la fonction /"(or, y.^ 5) des trois variables x., y, z, avec la fonction fi^xyz) du seul produit xyz.

222. On marque fréquemment, non seulement la variable ou les variables, mais certaines constantes, ceriains paramètres dont la fonction dépend. 11 est bon de séparer alors d'une façon nette l'ensemble des variables de celui des constantes. On y parvient en plaçant entre eux soit un point-et-virgule, soit un trait droit vertical. On écrit ainsi G{x,y; a, b) dans le cas de deux variables et deux paramètres ; f^tt , t-y^ ...,;„; a, , ao, . • • , ci-m) dans celui de n variables et m paramètres, Les fonctions elliptiques jd, a-, H s'écrivent respectivement p{u; g^, g-^)., o(f^|o), cd'), H(«|K, /K'), lorsqu'on j indique à la fois la variable et les deux périodes.

Il peut arriver aussi qu'on ait en même temps deux groupes de variables; on les sépare encore de même : on écrit, par exemple,

•^( M,, ll-i, .... U,.\ Xi, X-2, . . ., X,i ).

On n'indique parfois ni varialjles, ni constantes. On dit, par exemple, la fonction /', les fonctions ç,, cpo, 03. Quelquefois, au contraire, sans déterminer la fonction, on en exprime certaines pro-

priétés. Les expressions C5,„(a7, jk), /"'"(.r), /^(U, z) représentent ainsi respectivement : une fonction homogène, du degré m, de x ey y, une (onction du degré m de x '^ une fonction du degré m par rapport à U et du degré k par raj)port à ;. 11 va sans dire que, dans celle dernière expression, les lettres m et k doivent être placées bien exactement au-dessus des lettres CJ et ;.

223. Quoi qu'il en soit, on indique en général les fonctions A. 6

indéterminées par les minuscules latines y, «■, h on les minuscules grecques cp, y, <]j\ mais on peut les indiquer aus-^i |)ai' des lettres quelconques, majuscules ou minuscules, droites ou penchées, même rondes, même golhiqiu^s, même hébraïques on arabes. On peut encore, pour représenter les fonctions indéterminées, se servir de la notation des variantes : c'est ce qu'on fait lorsqu'on représente une fonction de x par P^ ; et une fonction de x cl de y par Qx,^.

Fonctions déterminées.

22i. Les ïoncûonyi particulières, c"esl-à-dire les fonctions bien définies, bien déterminées sont en nombre illimité. Les plus fréquemment employées ont reçu des noms qui leur sont propres et ont été désignées [>ar des symboles qui correspontleni à ces noms et, le plus souvent, les rappellent. Telles sont, parmi une (bnle d'autres, les logarithmes, les lignes Irigoiiométriques, 1rs fonctions hyperboliques, \e^ fonctions elliptiques, ('omme nous l'avons déjà vu, le logarithme népérien de x se représente par log^ ou \^x; le logarithme vulgaire par log\r, ; le logarillime dans la base a par haX,\o^aX ow même '^logx; le cologarithme par cologa:. 11 faut évidemment dans chaque cas indiquer la notation qu'on choisit, à l'instant où on la choisit; puis n'en plus changer.

225. Les six lignes t ri goîiomét riques de l'arc a se représentent ordinairement par sina, cosa, tga, cotga, séca, coséca. Il est inutile d'écrire cos-sina, ou cosina; il l'est aussi d'écrire tanga; mais les notations tan a et cota, surtout lorsqu'elles sont manuscrites, paraissent insuffisantes.

Les fondions hyperboliques s'écrivent ch:r, sha?, tha:, et se prononcent respectivement cosinus hN perbolicpie, siuiis hyperbolique, tangente hyperbolique de x. On sait qu'elles se déduisent de la considération de l'hyperbole équilatère à la façon dont les fonctions trigonométriques se déduisent de la considération du cercle.

Dans la théorie des fonctions elliptiques, se rencontrent un assez bon nombre de notations diverses : siw/, eu a, dn;/; H (m), H, (m), 0(//), 0, (w), Z(;/), . . ,] '7U.'tu, pu, \\x, .... Ces der-