CHAPITRE VII. — SIGNES DE FONCTIONS

nières sont dues à Weierstrass (* ) ; les précédentes H, 0, Z, . . . , où H et Z figurent des majuscules grecques, sont dues à Jacobi; quant aux fondions sn ;^, cnw, dn m, qu'on énonce en nommant leurs trois lettres, on ne les a pas toujours écrites ainsi : Abel (-) les représentait par-^,/, F et Briot par A(.2;), uL(.r), v(.r). La théorie des fonctions elliptiques est encombrée de notations, ou plutôt de systèmes de notations, qui varient suivant les auteurs. Il faudrait évidemment remplacer tous ces systèmes par un système unique. On tentl à ce résultat : un Ouvrage paru récemment n'expose plus que deux systèmes de notations : celui de Weierstrass et celui de Jacoiji.

Caractéristiques des fonctions.

226. Dans les symboles qui précèdent, le signe écrit à la gauche de la variable constitue ce qu'on appelle la caractérisliqae de la fonction. Log, tg, sn sont ainsi les caractéristiques respectives du logarithme, de la tangente, du sinus d'amplitude. Ces caractéristiques sont composées chacune de deux ou plusieurs lettres. Mais on en rencontre, en assez grand nombre, qui sont formées d'une lettre unique. C'est ce qui a lieu pour la fonction générale y (j;), dont la caractéristique est la lettre unique /. C'est ce qui a lieu aussi |iour la fonction F (a;), pour la fonction Ô (.2;), et pour les fonctions nii^ Ç«, ^u.

Il existe même des notations de fonction où la caiactéristique manque. Elle manque par exem|)le lorsqu'on se contente de mettre les variables entre parenthèses, comme on le fait lorsqu'on représente par (/«, /?) le nombre des combinaisons simples de m objets p k p\ comme on le fait lorsqu'on représente une certaine fonction par(.r,jK; ç, Y|). Elle manque aussi dans la notation des déterminants, lesquels sont des fonctions de leurs éléments, représentées par le Tableau de ces éléments eux-mêmes, placés entre deux barres verticales.

Par contre, certaines caractéristiques sont doubles, c'est-à-dire se composent de deux mots, de deux signes. Telles sont arc cos,

(*) Né en i8i5, mort en 1897.

(-) Né en 1802, mort en 1829.

Lad,Ls, qui se prononcent respectivement arc cosinus, logarithme d'addition, logarithme de soustraction. 11 faut, entre les deux mots, laisser un vide assez petit, mais n'j placer ni virgule ni point.

227. Les caractéristiques, du moins pour la plupart, nous rappellent d'elles-mêmes leur signification. La caractéristique y* nous rappelle le moi fonction ; les caractéristiques log, sin, tang nous rappellent les mots logarithme, sinus, tangente. Pour former ces caractéristiques, on s'est évidemment inspiré de ces mots. Mais il ne faut point cependant les regarder comme n'en étant (|ue des abréviations. Elles sont, en réalité, des signes techniques spéciaux; des signes idéographiques où les lettres ne possèdent plus aucune signification phonétique, où elles ne sont plus, pour parler encore noire langage, que des éléments non significatifs.

Ainsi les caractéristiques des fonctions sont des signes simples, d'une nature particulière. Pour en bien montrer la nature particulière, il serait bon de n'y employer que des lettres empruntées à un alphabet particulier ou à une variété particulière d'alphabel : par exemple des lettres gothiques ou des majuscules rondes. Pour en bien montrer la simplicité, il serait bon aussi, lorsque la caractéristique se compose de plusieurs lettres, de lier toutes ces lettres ensemble, d'en former un véritable monogramme, analogue aux ligatures de la langue grecque, aux lettres doubles de l'alphabet allemand ou au signe abrégé de notre locution et cœtera. H faudrait en outre que la (orme de ce monogramme nous en lappelàt encore la signification.

Il ne (aul jamais lier entre elles les lettres qui constituent les facteurs d'un produit; il faut toujours lier celles qui composent une caractéristique. C'est une |)ren)ière manière de distinguer les lettres qui représentent des nombres de celles qui n'en représentent pas. Une seconde consiste à écrire les premières en italique et les secondes en caractères droits. Dans les expressions données en certains Livres pour les fonctions sn//, cnw, dn m, les caractéristiques sn, en, dn sont droites; la variable u est penchée.

La première lettre d'une caractéristique peut être à volonté majuscule ou minuscule. Mais il ne faut point qu'elle s'écrive tantôt d une façon, tantôt d'une autre. Il est mauvais que certains auteurs écrivent sin^r, cos^, tgx, . . . , et certains autres Sinjc, Cosx, Tg^, ....