CFIAPITRK VII. — SIGNES DE FONCTIONS

228. Quoi qu'il en soit, dans la notation des fonctions, c'est toujours après la caractéristique, quand elle existe, que se place la variable ou le groupe des variables. Il faut que la caractéristique en soit très rapprochée; mais il ne Îav\1 jamais, puisqu'elle n'est pas une abréviation, qu'elle soit suivie d'un point. On doit écrire logj;, sinx, et non pas, malgré beaucoup d'exemples, log..r, sin.:r.

Ici se pose d'elle-même une question importante. Dans la représentation d'une fonction d'une variable unique, faut-il mettre celte variable entre parenthèses? On écv'w. f(^x) et l'on écrit ?,'\nx : voilà deux usages contradictoires. Suivant nous, il conviendrait de toujours supprimer la parenthèse, et d'écrire fx comme on écrit 0"?^, î^w, pu. Il n'en résulterait aucun inconvénient si la caractéristique possédait une forme telle qu'on ne pût jamais la prendre pour un facteur, qu'on ne put jamais confondre une expression telle que fx avec le produit dey par x. Cette confusion serait impossible si Ton écrivait la caractéristique comme nous avons conseillé de le faire; ou si l'on marquait d'un point, d'un trait, d'un diacritique spécial quelconque, la lettre ou le monogramme qui la représente.

Mais il est bien certain que la parenthèse devient indispensable, lorsque la caractéristique est suivie de deux ou plusieurs lettres. On écrira donc/(x, y., z), cp(.r -t-y, -^y)-! sin(a + Z> + c), ....

229. On appelle fonction de fonction, dans le cas le plus simple, une fonction d'une autre ("onction. Si u est une fonction de X, l'expression f{u) désigne une fonction de fonction. Pour prendre des exemples particuliers, log(sinx), tang(e^), . . . sont des fonctions de (onction. Il peut arriver que l'expression renferme plusieurs fois la même caractéristique. C'est ce qui a lieu pour

f\^f{x)^.i pour log(log.r), etc., etc. Dans toutes ces expressions, on peut, sans inconvénient, supprimer les parenthèses et écrire logsinj:*, lang e^ ., ffx, log log.r. Il faut, d'ailleurs, que les deux caractéristiques qui se suivent soient, non pas liées, mais très rapprochées.

Nombre dépendant d'un autre.

230. Dès le commencement de l'Arithmétique, on rencontre des nombres, constants ou variables, qui dépendent d'un ou plusieurs

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autres. On peut citer conime tels la partie entière d'un nombre, sa valeur absolue, son module, ses multiples; comme tels aussi le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres.

231. \.^ partie enlière d'un nombre, c'est le plus grand entier contenu dans ce nombre. Les parties entières de x^ de j-> de \^l a se

représentent respectivement par E(.r), E ( j \i E( \^l a ). On supprime parfois dans ces notations soit la parenthèse, soit la caractéristique. On écrit, dans le premier cas, E.r, E j-, Ey/a; dans le second (^),

La valeur absolue d'un nombre réel n'est autre chose que ce nombre lui-même, pris avec le signe +. Pour la représenter, on met le nombre entre deux traits verticaux, ou l'on place, au-dessus de lui, un trait horizontal. On écrit ainsi |::| ou :;. On opérerait de même pour indiquer la valeur absolue d'une expression, celle par exemple de « — b. Il nous semble inutile, ou plutôt très mauvais, d'avoir créé un signe nouveau pour cette valeur absolue.

Le module du nombre a + bi, c'est le nombre \^a'-—b- pris avec le signe +. Il se confond avec la valeur absolue lorsque b est nul, c'esi-à-dire lorsque le nombre est réel. Il s'indique comme elle : le module de z s'indiquera donc par \z\ ou z. Lorsque l'imaginaire u se présente sous la forme p(costo -h / sinoj) son module est p. Quant à l'angle co, c'est V argument de u : on le désigne par arg?/. Il faut d'ailleurs se garder avec soin des notations un peu compliquées; et ne pas écrire par exemple p.r.w pour indiquer la partie réelle de l'imaginaire u.

232. On appelle multiples d'un nombre les produits qu'on obtient en multipliant successivement ce nombre par les entiers consécutifs 1,2,3, .... Tout nombre possède une induite de midtiples. Un midtiple quelconcpie de a s'écrit à volonté nuilt. de a. ni^ de a ou m^a^ Ma ou OÏL a. Le mieux serait de le représenter par le produit m. a ou ma^ dans lequel le facteur ju serait un entier indéter-