CHAPITRE VII. — SIGNES DE FONCTIONS

miné. Lacroix a représenté un multiple de p par Eyo, où E est un entier : cette notation a le tort de rappeler /;«/-^/e entière de p.

Les locutionsp/M5 grand commun diviseur el plus petit commun multiple sont l'une et l'autre assez longues. Beaucoup d'auteurs les remplacent par les abréviations pgcd et ppcm. Certains représentent le plus grand commun diviseur par la majuscule A el le plus petit commun multiple par la minuscule [ji. Ces notations sont excellentes, les lettres A et a rap|)elant, par leurs significations phonétiques, les mots diviseur et multiple; par leurs tailles, les locutions plus grand et [)lus petit.

Fonction dépendant d'une autre.

233. Il existe des fonctions qui ne sont pas, à proprement parler, des fonctions d'une autre fonction, mais qui ne sont définies que par rapport à cette autre fonction. Telles sont la différence, la différentielle, la dérivée, l'intégrale, le résidu d'une fonction donnée,

234. Soient les nombres Uf. Wo. U:^, • • • ; leurs di[férences premières se représentent par A^^,, A;^o, AM3, ... ; leurs différences deuxièmes, par A-«,, A-Woi -^''^s? •••; leurs différences troisièmes, par 1'^ U\ , A^;/2i -^^ "3^ ... ; et ainsi de suite. Les différences successives de la fonction t^ de .r s'écrivent Af, A'-c, A^^', ... ; si la fonction était donnée sous la forme /(x), ces différences s'écriraient \f(jc), \-f(x), l^/{x)^ .... Dans tous ces exemples, les caractéristiques sont les lettres A, affectées ou non d'un indice supérieur.

Les différentielles successives de la fonction :■ de x s'écrivent dz^ d'-z^ d^z, .... Leurs caractéristiques sont d, <i-, d^ , .... La notation des différentielles est tout à fait analogue à celle des différences.

23o. La dérivée de la fonction u de x se représente, presque indifféremment, par

ctx

La dérivée defi^x), par

88 PREMIÈRE PARTIE. — ENCMERATION.

Dans les premières de ces notations, la dérivée s'indique par un accent; dans les deuxièmes, elle s'écrit à la façon d'un quotient,

mais l'on pourrait presque dire (|ue sa caractéristique est -i-; dans

les troisièmes, cette caractéristique n'est j)as douteuse, c'est la majuscule D.

Les dérivées successives s'indiquent d'ordinaire par des accents. Pour la fonction f{x), les quatre premières dérivées s'écrivent f [x)^ f" (x), f" [x), /"'(.r). On continue, à l'aide des indices supérieurs, écrits d'abord en chiffres romains, ensuite en chiffres arabes mis entre parenthèses. D'une manière générale, la dérivée /i"^""^ de f{x) s'écrit à volonté sous l'une ou l'autre de ces formes

cl" f( T )

/("'(:r), —i-—, DV(-r).

hesjluxions de Newton sont des vitesses et non point des accroissements. Les premières fluxions de .r, y^ z se représentaient par .r, j, z] les secondes, par x, j, i; et ainsi de suite. Ce que nous

appelons la dérivée dejK par rapport k x s'écrirait^- Cette notation est analogue a -~- ; mais, quoi (pi ou en ait dit, y el x n y sont point

des différentielles. Au reste, le mot et le signe de fluxion sont aujourd'hui complètement inusités.

236. La définition initiale de la dérivée suppose que la fonction ne dépende que d'une variable. Lorsfju'elle dé|)end de plusieurs, on imagine que chacune de celles-ci varie à son tour, mais est alors seule à varier. De là les dérivées partie/les, puis les dérivées partielles de ces dérivées part ieUes, et ainsi de suite, c'est-à-dire les dérivées partielles de tous les ordres. La fonction /"(.r, j^, z) des trois variables x, ) , z possède les trois dérivées partielles du premier ordre y^., f'., f'^; les six dérivées |>artlelles du deuxième ordre y^j, />, f":^, f"y^, f"^^, f"jcy\ elc, etc. D'une manière générale, la dérivée d'ordre /?, [)rise a fols par rapport à x, puis |5 fois par rapport à y, puis Y fois par rapport à z, s'écrit indilléremment

l'entier n étant toujours la somme des trois entiers a, ^3, y.