CHAPITRE I. — NOMBRES ENTIERS
Numération écrite.
o. Les nombres qui ne dépassent pas neuf s'écrivent chacun à l'aide du chiffre qui le représente, c'est-à-dire à l'aide d'un chiffre significatif unique. Les nombres supérieurs à neuf s'écrivent chacun, au contraire, à l'aide d'un assemblage de chiffres, parmi lesquels se rencontre fréquemment le zéro.
6. Ces assemblages sont constitués conformément aux règles de la numération écrite. Celle-ci, comme la numération parlée, suppose les unités qui composent les nombres préalablement réunies en groupes de di\ en dix fois plus considérables. Ces groupes se nomment unités des différents ordres; ce sont : les unités simples ou unités du premier ordre, les dizaines ou unités du deuxième ordre, les centaines ou unités du troisième ordre, etc.
Les règles de la numération écrite peuvent se résumer ainsi : pour écrire un nombre, on marque par un chiffre significatif combien ce nombre contient d^unités de chaque ordre, en prenant soin de placer, à partir de la droite, au premier rang, le chiffre des unités du premier ordre; au deuxième rang, celui des unités du deuxième ordre; au troisième rang, celui des unités du troisième ordre ; etc.; et en prenant soin aussi de combler à mesure, par des zéros, les places ou rangs laissés vides.
7. Dans l'assemblage de chiffres représentant ainsi un nombre quelconque, les chiffres sont placés à la suite les uns des autres sur une même ligne horizontale; chaque chiffre placé à la gauclic d'un autre représente des unités dix fois plus grandes; chaque chiffre aussi possède deux valeurs : une valeur absolue, qui est liée à sa forme, une valeur relative, qui dépend de sa position; et le nombre représenté n'est autre chose, évidemment, que la somme des valeurs relatives de tous ses chlfi'res.
Base de la niimération.
8. C'est parce que les unités des différents ordres sont de dix en dix fois plus grandes que notre numération est appelée décimale cl
que le nombre lo en est appelé la base. Sans aucun doute, on a choisi 10 parce qu'il est le nombre de nos doigts. On eût pu prendre comme base 2, 8, 12, et la numération eût été binaire, octavale, duodécimale. Il semble que, pour la pratique, 12 eût été avantageux, parce qu'il est exactement divisible par 2, 3, 4 et 6. Au dire de Voltaire, Charles XII aurait proposé comme base le nombre 64 qui est à la fois un carré, un cube et, par conséquent, une sixième puissance. A une époque assez reculée, on a compté chez nous par vingtaines, comme en témoignent les archaïsmes quinze-vingts, six-vingts, quatre-vingts, soixante-dix, quatre-vingtdix, etc., dont les derniers persistent encore, en dépit de la logique et du bon sens.
9. En tout système de numération écrite, le nombre des chiffres, y compris le zéro, est juste égal à la base. De là la nécessité de la bien choisir puisque c'est du nombre des chiffres que dépendent, au moins pour la plupart, les avantages et les inconvénients du système.
Quand la base est grande, le nombre des chiffres l'est aussi; il en est de même du nombre des éléments, soit de la Table d'addition, soit de la Table de multiplication et, par suite, du nombre des résultats que le calculateur doit apprendre et retenir. Quand elle est petite, le nombre des chiffres est petit : dans la numération binaire, qui possède la plus petite base possible, il n'y a que deux chiffres, i et o; comme Leibniz l'a fait remarquer, l'opération nommée multiplication n'y existe pour ainsi dire plus, et les logarithmes y sont inutiles.
10. Plus la base est grande et moins il faut de caractères pour écrire un nombre donné. Dans la base 2, le nombre io25 exige onze caractères; dans la base 64, il n'en demande que deux.
Si l'on tenait à écrire les nombres de façon que chacun d'eux ne présentât que peu de chiffres, il conviendrait de choisir une base assez grande. Il serait commode de prendre pour base le nombre aS des lettres de notre alphabet, en prenant comme chiffres ces ih lettres elles-mêmes.
