CHAPITRE I. — NOMBRES EXTIERS

exercices sur les changements de base, on représente par des lettres latines ou grecques les chiffres supérieurs à 9. Si, par exemple, la base est 12, on représente par a et |5 les chiffres significatifs réj)ondant res[)ectivement aux nombres 10 et 11 : on écrit ainsi le nombre 3a5 j. Parfois même, pour bien montrer que ce nombre est écrit avec la base 12, on le met sous cette forme 3a53|o, l'indice n'étant autre chose que la base, écrite bien entendu dans le système décimal.

12. D'ailleurs, dans tous les systèmes qu'on vient de voir, et quelle que soit la base choisie, les unités des différents ordres forment une p?'ogression piéométrique; aussi pourrait-on dire que ce sont des systèmes à f^roiipement régulier. On en a imaginé d'autres, où celte régularité n'existe point, qui ne s'emploient que pour certaines recherches, mais qui y rendent parfois les plus grands services. Telle est la numération factorielle (*), qui a été inventée par M. Laisant, et qui facilite grandement l'étude des permutations.

Supériorité de la numération écrite.

13. Notre numération écrite actuelle, la seule dont nous nous occupions ici, nous vient des Arabes ou plutôt des Indous. Elle ne s'est guèie répandue en Europe avant la fin du xii*" siècle (-). Ce n'est même qu'au xvi^que ses chiffres ont pris une figure uniforme. Elle a été déduite de la numération parlée, nous ne savons au juste ni où, ni quand, ni comment; mais il est certain qu'elle lui est très supérieure.

14. La numération parlée, qui est décimale depuis l'aïuiquité la plus reculée, présente, en effet, une foule d'irrégularités, d inconvénients, les uns inhérents à sa nature, les autres provenant de l'usage, mais dont pas un ne se rencontre dans la numération écrite.

D'abord, la numération parlée varie, comme les langues, d'une nation à une autre : c'est un ensemble de systèmes locaux. La

(') Bulletin delà Société mathématique de France, l. XVI, 1888. (-) LiBRi, Histoire des Mathématiques en Italie, t. I, p. laô.

6 PREMIÈRE PARTIE. — ÉNUMÉRATIOX.

numération écrite, composée de signes idéographiques, est la même chez tous les peuples : c'est un système universel.

Ensuite, la numération parlée ne tient aucun compte des ordres d'unités qui man(|uent; elle supprime parfois le mot un; elle exige, lorsque le nombre devient très grand, qu'on invente de nouveaux mots. La numération écrite tient compte, par ses zéros, des ordres d'unités manquants; elle ne supprime jamais le chiffre i; et, si grands que les nombres deviennent, elle n'exige jamais de caractères nouveaux.

Enfin, la numération parlée condense parfois deux mots en un seul, comme lorsqu'elle dit douze pour dix-deux, cinquante pour cinq dizaines ; elle cesse parfois d'être décimale, comme lorsqu'elle remplace octante par quatre-vingts, nonanle-un par quatrevingt-onze; eWe énonce parfois les unités avant les dizaines, comme dans le latin septem-et-decem, dans l'allemand ein-und-zwanzig. J^a numération écrite ne réunit jamais deux ordres d'unités; ne cesse jamais d'être décimale; n'intervertit jamais l'ordre de ses chiffres.

Avantages de la numération écrite.

la. Notre numération écrite ne comprend, on vient de le voir, qu'un petit nombre de règles, très courtes, très simples, qui ne souffrent aucune exception. A chaque nombre correspond toujours un signe écrit, simple ou complexe, mais unique. A chaque chiffre ou groupe de chiffres correspond toujours un nombre et un seul. Quand on connaît les dix caractères a|)pclés citijj'res, il suffit de (piehpies minutes pour apprendre à lire les plus grands nombres; et, ce qui est la marque d'une écriture excellente, dès qu'on sait les lire on sait les écrire.

16. Sous la forme où ils sont écrits en chiffres, les nombres sont décomposés en leurs unités des dilfércnts ordres, et le sont d'une façon régulière, uniforme. K la lecture, les unités qui s'y présentent les premières sont les plus irn|)()rlanles ; dans les calculs, on n'a jamais, en dernière analyse, à considérer de nombres supérieurs à neuf; et il suffit, pour ainsi dire, de rapprocher les nombres écrits pour que leurs unités des mêmes ordres se placent les unes sous les autres.