CHAPITRE IX. — NOTATIONS DE LA GEOMETRIE. Il

Livres, dus à des géomètres éminents ('), on n'emploie que des minuscules.

293. Combien faut-il mettre de lettres sur une figure, pour la nommer et l'étudier? S'il ne s'agit que de la nommer, il suffit souvent d'une lettre unique. S'il s'agit de l'étudier, il faut assez de lettres pour pouvoir désigner non seulement l'ensemble de la figure, mais aussi, séparément, chacun des éléments qu'on y doit considérer. Il existe, dans chaque cas, un nombre de lettres nécessaire et suffisant. On peut dire, d'ailleurs, que ce nombre de lettres, nécessaire et suffisant, dépend, à la fois, et de la figure et des circonstances où on la considère; et qu'il diffère, en général, du nombre des conditions analytiques simples qui la déterminent. 11 est rare qu'il faille marquer 4 lettres sur une parabole, ou 5 sur une ellipse.

Géométrie sans figure.

294r. Dans les espaces d'ordre supérieur, il est, nous l'avons dit, impossible de tracer les figures. Dans les espaces ordinaires, il est difficile de dessiner celles qui sont un peu compliquées. Aussi emploie-t-on des images stéréoscopiques pour montrer certaines lignes, certaines surfaces. Même sur le plan, il peut arriver qu'une figure, ou trop particulière ou imparfaitement dessinée, trompe l'observateur, et le conduise à de faux raisonnements. Pour ces différentes raisons, on se dispense parfois de tracer les figures. C'est ce qu'on fait sinon toujours, du moins très souvent dans quelques Ouvrages élémentaires; dans plusieurs Cours de Géométrie analytique; dans certains Traités de Géoméirie projective; et, surtout, dans la Géométrie analytique supérieure de Monge et de Gauss.

Celte suppression de tout tracé a encore d'autres avantages. Elle épargne à l'auditeur, au lecteur la peine de recourir sans cesse à la figure dessinée. Elle empêche qu'une partie de l'attention nécessaire pour bien entendre une démonstration ne soit employée à démêler un ensemble de lignes et de points. Elle débarrasse la chaîne des raisonnements de l'encombrement des représentations graphiques.

(') Par exemple : Bobillier, Cours de Géométrie, ii" édition, in-8", Paris, 185-. A. 8

Il4 PREMIÈRE PARTIE. — ÉNUMÉRATION.

Elle laisse l'esprit en face de la définition abstraite de la figure, sans le troubler par une image concrète, forcément particulière. Elle donne enfin le moyen d'obtenir dans le langage une grande brièveté et, par conséquent, une grande clarté.

293. N'est-il pas tro|> long de désigner une droite par 2 lettres, un angle par 3, un quadrilatère par 4, • • • ? Lorsqu'on ne trace pas de figure, on désigne chacun des objets dont on s'occupe de la façon la plus courte. Quand l'objet est simple ou regardé comme tel, on lui assigne une lettre unique, afin que le signe soit simple, et rappelle par sa simplicité celle de son objet. On dit ainsi le point a, la droite D, la distance <?, la longueur /, la parallèle P, l'angle o), le triangle T, l'aire A, la surface S, la courbe gauche C, le volume V. Très souvent la lettre ainsi employée se place entre parenthèses; on écrit : la ligne (L), la surface (S), le faisceau de courbes (C), le système de surfaces (S).

Le langage se trouve ainsi notablement abrégé et simplifié. On arrive à des phrases comme celles-ci : les angles ^et ^ sont égaux; — le point a est situé sur le cercle (C); — la droite (D) est tangente à la courbe (T); — les surfaces (S) et (2) se coupent orthogonalenient ; — la surface (C) reste tangente à une enveloppe [C]; — telle portion de la surface (2) est limitée par un contour (C).

Les énoncés des théorèmes prennent aussi des formes simples et nettes. Je n'en citerai que cet exemple : Si Von peut tracer, sur une surface algébrique S, une série de courbes C, de même genre p et de mêmes modules, on peut y tracer une seconde série de courbes C, de même genre p' et de mêmes modules (').

296. Quant aux figures complexes non tracées, elles se désignent par des signes complexes, formés d'éléments sim|)les correspondant aux éléments simples des ligures. Ces figures étant infiniment nombreuses et variées, leurs signes sont infiniment nombreux et variés. On les forme d'une manière régulière, systématique (707), par des procédés uniformes que nous exposerons plus loin.

(') Geouges ïlvymEWT, /iendicon II del Circolo mateniatico di l'alermo. l. III. 1889, p. 277.