CHAPITRE X

SIGNES Dl- LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

Coordonnées.

297. La Géométrie analytique proprement dite est due à Descartes; elle représente et étudie les figures à l'aide des équations; elle est fondée sur l'emploi des coordonnées.

On appelle coordonnées, certaines quantités qui déterminent, toutes ensemble, la figure prise comme élément. Pendant longtemps, on n'a pris pour élément que le point; on a pris plus lard la droite, le plan, la sphère, etc., etc.

298. Sur un axe fixe X'X, portant un point fixe O, on détermine la position d'un point quelconque M, en faisant connaître la longueur du segment OM, et en alléctant cette longueur du signe -|ou du signe — suivant que, sur cet axe X'X, le point M est situé d'un côlé ou de l'autre du point O. Cette longueur, avec son signe, se désigne par x : c'est la coordonnée du point M; on dit plus particulièrement que c'en est l'abscisse; l'axe X'X est Vaxe des x ou des abscisses; le point O en est \ origine.

Suv un plan, un point quelconque M est parfaitement déterminé lorsqu on connaît ses projections sur deux axes fixes qui se coupent. On désigne respectivement ces axes par X'X et T'\ ; on appelle O leur point d'intersection; et l'on projette le point M sur chacun d'eux, |)arallèlemenl à l'autre. On détermine la position de la projection sur X'X par sa distance x au point O, prise avec son signe ; on détermine de même la position de la projection sur Y'Y par la longueur positive ou négative)'. Le point est complètement déterminé par X el y qui en sont les coordonnées; x Vabscisse, y Vordonnée.

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — ÉNUMÉRATION.

Dans Vespace, on considère irois axes fixes X'X, \'Y, Z'Z, passant par un même point et non situés dans un même plan, l^our déterminer un point quelconque M, on le projette sur chacun de ces axes, parallèlement au plan des deux autres, et l'on donne les longueurs ^, K, z, positives ou négatives, qui font connaîlre la position de chaque projection sur son axe. Ces trois longueurs sont les coordonnées du point : x en est V abscisse ; y, X ordonnée ; r, la cote.

On dit, d'ailleurs, que ces coordonnées, dans l'espace comme sur le plan, sont rectangulaires ou obliques, suivant que les axes sont rectangulaires deux à deux, ou ne le sont pas.

299. Les coordonnées que nous venons de définir se nomment coordonnées rectUignes ou coordonnées cartésiennes. Le système qu'elles forment est le plus employé et ordinairement le plus commode. Mais il en existe une infinité d'autres.

Tels sont les systèmes bi-polaire el tri-polaire, où un point est déterminé : dans le plan, par ses distances ii el v k deux points ou pôles fixes; dans l'espace, jiar ses distances w, <^, w à trois points ou pôles.

Tels sont surtout les systèmes des coordonnées /?oZat/'e5 proprement dites, où un point est déterminé : dans le plan par une longueur et un angle; dans l'espace, par une longueur et deux angles. Dans le plan, on considère un point fi\e O appelé pôle et une demi-droite fixe OX, ap|)elée axe polaire ; les coordonnées du

point M sont la longueur du rayon OM et V angle polaire XOM : on les désigne tantôt |)ar p et to, tantôt par /• et G. Dans l'espace, on considère une demi-droite (ixe OZ qu'on suppose verticale; un plan fixe passant par O, perpendiculaire à OZ, par conséquent horizontal; et, dans ce plan, une demi-droite OX; les coordonnées du point M de l'espace sont : le rayon vecteur OM ; Vazimut, c'està-dire l'angle de OX avec la projection de OM sur le |)lan horizontal ;

enfin la dislance zénithale qui n'est autre que l'angle ZOM ; le rayon vecteur se désigne par p, l'azimut par z> ou •!», la distance zénithale par T ou 6.