CHAPITRE X. — SIGNES DE LA GEOMETRIE ANALYTIQUE. II

Généralités sur les coordonnées.

300. Un système de coordonnées est homogène, lorsque les coordonnées de chaque point j sont toutes des quantités de même nature. Le système des coordonnées rectilignes, les systèmes bipolaire et tri-polaire sont homogènes, car les coordonnées de chaque point y sont toutes des longueurs. Le système polaire ne Test pas, puisqu'il nous présente à la fois des longueurs et des angles.

Un système de coordonnées est parfait lorsque, à tout point déterminé, correspond, pour chaque coordonnée, une valeur numérique unique, et que, réciproquement, à tout groupe donné de valeurs numériques des coordonnées, correspond un point unique. Des différents systèmes de coordonnées dont nous venons de parler un seul est parfait : celui des coordonnées rectilignes.

301. De la manière la plus générale, les systèmes de coordonnées, soit sur une surface, soit dans l'espace, peuvent se définir ainsi. Considérons, sur une surface, deux familles de lignes, dépendant respectivement des paramètres "k et jj., et telles que, par chaque point, passe une ligne de chaque famille, mais une seule : les valeurs numériques des paramètres X et |ji, qui correspondent aux deux lignes se coupant en un point, sont les coordonnées de ce point. Dans Vespace, on considère de même trois familles de surfaces, dépendant respectivement des trois paramètres X, u, v, et telles que, |)ar chaque point, passe nne surface de chaque famille, mais une seule; les valeurs numériques des paramètres répondant aux trois surfaces passant par un point sont les coordonnées de ce point. Telles sont les définitions, soit sur une surface, soit dans l'espace, de ce qu'on appelle les coordonnées curvilignes.

302. Quelles que soient les coordonnées employées, nous voyons que, pour déterminer la position d'un point, il en faut : une sur une ligne, deux sur une surface, trois dans l'espace. Pour des raisons que nous dirons plus tard (1010), on en prend parfois un plus grand nombre, lesquelles alors, évidemment, ne sont pas indépen-

Il8 PREMIÈRE PARTIE. — ÉNUMÉRATION.

dantes les unes des autres. C'est ce qu'on fait dans les coordonnées homogènes, dans les coordonnées trilatères, dans les coordonnées tétraédriques; c'est ce c|u'on fait surtout, d'une manière systématique, dans les coordonnées surabondantes de Bobillier et de Paul Serret ( ' ).

303. Lorsque l'onconsidère lepointcommel'élémentdel'étendue, on n'a besoin que de définir les coordonnées du point. C'est ce que nous venons de faire. Quand on considère comme élément la droite, le plan, la sphère, ,.., on doit définir leurs coordonnées, c'està-dire les quantités qui les déterminent. Ces quantités sont, pour la droite : dans la géométrie plane, au nombre de deux; dans la géométrie de l'espace, au nombre de quatre. Elles sont pour le plan, au nombre de trois; pour la sphère, au nombre de quatre; etc., etc.

Des lettres en Géométrie analytique.

30i. En Géométrie analytique, on désigne d'ordinaire un point quelconque par une lettre majuscule ou minuscule, latine ou grecque, laissée telle quelle ou alTectée soit d'indices, soit d'accents. C'est l'usage d'employer la lettre M pour \e point qui décrit une courbe; la lettre P, pour le pied de l'ordonnée ou de la cote; la lettre C, pour \e centre d'un cercle; la lettre F, pour \q foyer d'une parabole; etc., etc. Parfois aussi, on emploie des chiffres : les sommets d'un triangle se numérotent i, 2, 3.

305. Sur la figure, la tangente à une courbe en un point M se désigne par MT et parfois |)ar T'MT, les points ï' et ï étant toujours placés de part cl d'aulrc du point M. i^a normale en M à une courbe plane ou à une surface se désigne de même par MN ou N'MN.

On sait ce (pi'il faut entendre, en géométrie plane, soit dans le cas des coordonnées rectilignes, soit dans celui des coordonnées polaires, par les mots sous-tangente, sous-normale, tangente, normale. Ce sont quatre segments de droite. On les désigne j)ar Sf, S„, T, N.

(') Mé en 1S27, mort en 1898.