CIUPITRE X. — SIGNES DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. II

306. La longueur de Varc d'une courbe plane ou gauche se désigne par 5; le rayon de courbure en un point par R; le rayon de torsion par T; la courbure et la torsion elles-mêmes, qui sont les inverses de ces rayons, par /• et t. L'angle de contingence se nomme presque toujours t.

En tout point d'une courbe gauche existe un trièdre trirectangle remarquable, celui qui a pour arêtes la tangente, la normale principale et la bi-normale. La tangente se désigne toujours par MT ; la normale principale, par MN ; la bi-normale, par MB.

Une courbe de l'espace s'appelant (C), ses projections sur les plans des coordonnées s'appellent respectivement (Ca;), (Gj), (C-). Une aire A de l'espace a pour projections sur ces mêmes plans A^,

Il est enfin certaines notations, relatives aux courbes du second degré, que l'usage a pour ainsi dire consacrées, et que nous ne pouvons taire : a et 6, pour les demi-axes des coniques à centre; c, pour la distance du centre au fojer; e et/?, pour V excentricité el \e paramètre.

Points; coefflcients directeurs.

307. Les coordonnées du point qui décrit une courbe sont ce qu'on ap|)elle les coordonnées courantes. On les désigne sur le plan par X., y. et quelquefois par X, Y; ce dernier mode offrant cet avantage de laisser disponibles, pour les coordonnées d'un point particulier fixe, les minuscules x^y. On fait de même dans l'espace : X, Y, Z étant les coordonnées courantes, et x, y., z celles d'un point particulier. Quand on représente les coordonnées courantes par x, r, ^, celles d'un point fixe particulier se désignent souvent par Xq., j/qî Sq. Les coordonnées courantes ne s'affectent jamais ni d'indices, ni d'accents.

On désigne souvent un point par ses coordonnées; on dit : sur le plan, le point (.r, y), le point (a, b); dans l'espace, le point (x, y., z), e point (rt, b, c).

Sur le plan, en coordonnées polaires, les coordonnées du point qui décrit la courbe se désignent tantôt par p et w, tantôt par /-et 0; celles d'un point particulier se désignent par ces mêmes lettres

affectées d'un indice, po et Wo ou bien /'o et 80. On dit aussi : le point (p, to), le point (po, '-O0).

308. Une direction se détermine, en général : dans le plan, par deux coefficients a, P; dans l'espace, par trois. Ces coefficients ne sont que les coordonnées d'un point pris sur une demi-droite, parallèle à la direction et issue de l'origine. Quand les axes sont rectangulaires, ce ne sont que des nombres proportionnels aux cosinus des angles que fait la partie positive de la direction avec les parties positives des axes; et, très sonvenl, que ces cosinus eux-mêmes. On dit : sur le plan, la direction (a, [3); dans l'esjiace, la direction (a, |3, y).

Si nous nous reportons au trièdre trirectangle remarquable (306) dont nous avons parlé : on désigne les cosinus directeurs de la tangente par a, ^, y; ceux de la normale principale, par a', ^', y'; ceux de la binormale, par a", ^", v"- ^e sont ces notations qu'on emploie dans les formules si utiles de Frenet (').

Équations de la Géométrie analytique.

309. La différence profonde qui existe entre les points d'une ligne et les points d'une surface, c'est que les coordonnées des premiers sont fonctions d'une seule variable indépendante ou, comme on dit, d'un seul paramètre, tandis que celles des seconds sont fonctions de deux variables indépendantes, de deux paramètres. Si l'on désigne le paramètre unique par f, les deux paramètres par u et v, on représente : une courbe plane par les deux équations

une courbe de l'espace par les trois équations

une surface par les trois équations

C'est là ce qu'on appelle la représentation paramétrique de ces

(') Né en i8no, mort en 1900.