CHAPITRE X. — SIGNES DE LA GEOMETRIE ANALYTIQUE

courbes et de cette surface. Ce mode de représentation est le plus naturel; il est aussi le plus commode pour l'étude du lieu que l'on considère, et pour sa construction.

310. Mais on peut, entre les équations précédentes, éliminer le ou les paramètres arbitraires. On arrive ainsi à représenter : une ligne plane, dans son plan, par l'équation

o(j", y) = o; une ligne dans l'espace par les deux équations

une surface |)ar Téquation unique

qu'on suppose, très souvent, résolue par rapport à z.

En certains Livres et Cours, cette dernière façon de représenter les lignes et les surfaces est la seule employée; la représentation paramétrique n'y figure point.

311. Si l'on désigne toujours par a et v les deux variables indépendantes dont dépendent les coordonnées de chaque point d'une surface, toute ligne tracée sur cette surface sera représentée par une relation entre u et v, telle que

Il en sera amsi des lignes de courbure, des lignes asymptotiques, des réseaux conjugués; etc., etc.

Les familles de courbes se représentent, sous forme ordinaire : dans le plan par

/(>•, y; a) = o; dans l'espace par

sous forme paramétrique par

ou par

x=f[t;a), y = g{.t;a), z ^ hi^t; a).

lli PREMIERE PARTIE. — ENUMERATION.

hes familles de surfaces se représentent par f{x,y, z\ a) = o ou, sous forme paramétrique, par

X = '-^{n-i f ; Cl), ^ = / ("i ^'^ ^)i z = 'J>( M, v\ a).

312. Comme nous l'avons dit, on peut prendre pour élément géométrique, soit la droite, soit le plan.

Si Ton représente : en géométrie plane, la droite par l'équation

px -\- q y = I ;

en géométrie de l'espace, le plan par l'équation

px-i-qy-^rz^\,

les coelficients p et q de la première sont les coordonnées de la droite; les coefficients />, q^ r de la seconde sont les coordonnées du plan.

Toute ligne plane peut être regardée soit comme la trajectoire d'un point, soit comme Venveloppe d'une droite. L'équation

qui exprime que le point (x^y) appartient constamment à la ligne, en est l'équation ^o/?c///e//e; l'équation

ffip, g) = o,

qui exprime que la droite (/:>, q) est constamment tangente à la ligne, en est l'équation tangentielle.

De même, si l'on désigne par x^y^ z les coordonnées d'un point, et par /j, ^, /• celles d'un plan, les équations

f(x,y, z) = o, gip, q, r) = o

représentent respectivement la surface lieu de ce point et la surface enveloppe de ce plan.

313. Les lignes usuelles, les surfaces usuelles possèdent chacune un nom : ellipse, cissoïde, strophoïde, hjperboloïde, paraboloïde, tore, etc., etc. Ce nom n'est qu'un signe abrégé destiné à remplacer la définition, ordinairement trop longue, de la courbe ou de la surface.