CHAPITRE X. — SIGNES DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

L'équation de l'ellipse

celle du paraboloïde hyperbolique

peuvent être regardées comme étant cette définition même. L'équation, soit d'une courbe plane, soit d'une surface, joue donc un double rôle : elle en est le signe, et elle en est la définition. Lorsqueje dis : soit la courbe

y^ — ax {x^^ y^) =^ o^

je nomme la courbe que je considère et je la définis. On pourrait dire aussi que je la représente par un signe écrit qui en contient implicitement toutes les propriétés. Il en est de même quand je représente, par des équations entre les coordonnées, soit une ligne gauche, soit une surface. Ces équations sont des signes très bons, mais qui ont en général cet inconvénient grave d'être trop longs et trop compliqués.

314. On considère souvent, outre les lignes et les surfaces, des ensembles d'éléments qui en contiennent chacun une infinité multiple. Tels sont les complexes et les congruences de droites. Un complexe est l'ensemble des droites de l'espace dont les 4 paramètres satisfont à une relation donnée; une congruence, l'ensemble de celles où ils satisfont à 2 pareilles relations. Si l'on représente les droites ])ar les équations générales si usitées

X = az -f-/^, y ^^ bz -\- q,

il suffit d'écrire la relation unique, ou les deux relations entre les 4 paramètres «, b, /?, q pour achever de définir le complexe ou la congruence.

Hyperespaces.

315. Nous ne connaissons que trois sortes d'espaces ou d'étendues : l'espace à une dimension, c'est-à-dire la ligne; l'espace à deux dimensions, c'est-à-dire la surface; l'espace à trois dimensions,

c'esl-à-dire le volume. Nos sens ne nous donnent nulle perception d'un ordre plus élevé.

On a imaginé cependant de considérer des espaces à 4: à 5, à 6, ... dimensions. De même que, dans les espaces à i , 2 ou 3 dimensions, il nous faut, pour déterminer un point, i, 2 ou 3 coordonnées; dans les espaces à 4? 5, 6? ••• dimensions, il nous en faudra 4, ^1 6, .... Ces nouveaux espaces sont les espaces supérieurs ou hyperespaces. Certains peuvent croire à leur réalité objective et, par conséquent, à la réalité objective de la géométrie à n dimensions. Pour nous, qui n'y croyons nullement, ces conceptions ne laissent point que d'avoir leur utilité. Elles permettent à l'algébriste de donner à certains faits généraux, purement analytiques, des énoncés géométriques, des énoncés en quelque sorte pittoresques.