CHAPITRE X. — SIGNES DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. laS

dans l'espace à 2 dimensions, qu'un seul être géométrique : la ligne. Dans l'espace proprement dit, c'est-à-dire dans l'espace à 3 dimensions, il en existe deux : la ligne et la surface. Dans l'espace à 4 dimensions, il en existera trois : la ligne, la surface, le volume. Dans l'espace à 5 dimensions il en existera quatre; dans l'espace à 6 dimensions, cinq ; et ainsi de suite.

Représentation intrinsèque des courbes.

318. Une imperfection de la Géométrie analytique proprement dite, c'est de mêler dans les équations ce qui dépend de la nature de la ligne ou de la surface, et ce qui dépend de la position des axes ou, plus généralement, de la position des bases fixes de coordonnées. On a imaginé des systèmes de représentation analytique où ces bases fixes n'existent plus. Le plus simple d'entre eux est le système de représentation intrinsèque des courbes, où l'on ne considère que des éléments pris sur les courbes elles-mêmes : l'arc, la courbure, la torsion.

Ce mode de représentation ne suppose aucunes coordonnées et représente les courbes abstraction faite de leur position soit sur le plan, soit dans l'espace. Toute courbe plane s'y détermine par la relation qui fait connaître la courbure en l'un (juelconque de ses points en fonction de l'arc aboutissant en ce point; la longueur de l'arc se désigne ordinairement par 5; le rayon de courbure par R

et, par suite, la courbure par—; ['équation intrinsèque est donc

Les lignes gauches s'v représentent par les relations qui font connaître, en fonction de l'arc aboutissant en un point quelconque, la courbure et la torsion en ce point ; cet arc se nomme toujouis 5; le rayon de courbure et le rayon de torsion se désignent respectivement par R et T; la courbure et la torsion sont tt' t^î les équations intrinsèques de la courbe s'écrivent

126 PREMIÈRE PARTIE. — ÉNUMÉRATIOX.

319. Pour construire sur le plan ou dans l'espace la courbe représentée par son équation ou ses équations intrinsèques, on peut se donner à volonté : \e point de la courbe que l'on prend pour origine des arcs, la direction de la tangente en ce point et, s'il y a lieu, la position du plan oscillateur. De là une multiple infinité de courbes. Ces courbes ne diffèrent entre elles que par leur position dans l'espace : elles sont toutes identiques de forme, toutes superpo sables.

Géométries analytiques sans coordonnées.

320. Les autres modes de représentation, indépendants des coordonnées proprement dites, me semblent reposer tous sur la considération des quantités complexes, des quantités dirigées, des vecteurs.

321. La théorie des équipollences, due à Bellaviiis, prend pour élément géométrique le vecteur même, c'est-à-tlire le segment de droite considéré en grandeur, direction et sens. Le vecteur se distingue du segment en ce que aa position n'est pas déterminée. Le vecteur AB a pour origine A, pour extrémité B. Il se représente ^•àx vecteur AB, ou vect.KS». Sa grandeur, abstraction faite de sa direction, se représente souvent par AB, ou par gr. AB. Des vecteurs en nombre quelconque se peuvent désigner par m,, jAo, ..., u,i- Sur le dessin, on représente le vecteur par un segment de droite que l'on termine en pointe de flèche pour en indiquer le sens. L'inclinaison du vecteur AB sur une droite fixe prise arbitrairement se désigne par incl. AB. Deux vecteurs sont équipollents lorsque, ayant même grandeur, direction et sens, ils peuvent se remplacer l'un l'autre. Nous avons déjà dit que cette théorie des écjuipollences comprend un signe particulier de relation, qui n'est autre que le signe astronomique de la Balance. Elle nous offre, en outre, un caractère particulier, qui a été imaginé par Bellaviiis et nommé par lui ramuno : il équivaut à notre symbole /, c'est-à-dire à^' — i.

322. La considération des vecteurs conduit d'iiilleurs à différentes notions nouvelles : celle du produit géonictrique de deux