CHAPITRE II. — PRÉCISION DU SIGNE

notations employées pour les dérivées (236). Si u est une fonction

de la seule variable .r, l'expression -j- exprime la dérivée ordinaire,

la véritable dérivée de u par rapport à ^; le rapport indiqué est un véritable rapport, dont les deux termes peuvent être séparés. Si u

est une fonction de x et de y, l'expression -y- n'est plus une dérivée

proprement dite ; c'est une dérivée partielle; le rapport indifpié est toujours un vrai rapport, mais il ne doit pas être traité comme tel : les deux termes n'en peuvent être séparés, isolés. Voilà donc un

même signe -y- qui représente deux objets différents. Pour faire disparaître celte faute, on a imaginé de remplacer, dans la notation des dérivées partielles, les d droits par des d ronds; écrivant

toujours -r~ pour la dérivée ordinaire, on représente la dérivée par-

du

ôx

Cet emploi du d rond conslilue un perfectionnement réel; il est assez récent; il a été universellement adopté; mais il ne suffit pas à empêcher toutes les confusions possibles. Supposons, par exemple, que u désigne une fonction des variables indépendantes x e.1 y eX, d'une fonction z de ces variables, et cpie l'on demande la dérivée partielle de u par ra|)port à x. En appliqviant la règle de dérivation des fonctions composées, on arrive à l'égalité

du du du dz Ox Ox Oz Ox

• , , uu

tieile par — -•

qui paraît absurde. II est clair que — y figure avec deux significations différentes. Peut-être, pourrait-on indiquer par — u le calcul

à effectuer et par — l'un des termes du résultat? L'égalité devien- ^ dx "

drait alors

d du du àz

dx dx àz dx

Mais cette nouvelle manière d'écrire, même associée comme ici à l'emploi du d rond, ne serait pas toujours suffisante. On se demande s'il est possible de créer, pour les dérivées, un système de notations qui ne soit jamais en défaut.

Seconde règle fondamentale.

4-2o. Que le même objet soit toujours représenté pcw le même signe. Que deux signes différents représentent toujours deux objets difjérents. Ces deux énoncés sont équivalents et expriment chacun notre seconde règle fondamentale.

Cette seconde règle correspond tout à fait à la première; elle en est la contre-partie et, pour ainsi parler, le pendant. Les fautes qu'on peut faire contre elle sont tout aussi faciles à éviter. Elles n'en sont pas plus rares.

4î26. La multiplication s'indique tantôt par le signe X, tantôt par un point, tantôt par le simple rapprochement des facteurs; la division, tantôt par deux points superposés, tantôt par une barre horizontale; l'identité, tantôt par le signe i^:, tantôt par le signe jï^, tantôt par le signe de congruence; le logarithme népérien, tantôt par un L majuscule, tantôt par le groupe log.

Il faudrait garder les mêmes notations pendant tout le cours d une même question, surtout (l'un même calcul. Ne pas écrire, par exemple, pour un angle unique, tantôt A, tantôt ABC. Ne pas employer à la fois pour une même grandeur des unités différentes; ne pas désigner, par exemple, dans un même problème, l'angle droit

tour à tour par i'', par -, par 90". Pour les notations même qui,

par leurs objets, se peuvent rencontrer en la plupart des questions traitées dans un Ouvrage, on ferait bien de les conserver dans cet Ouvrage tout entier, de même qu'on garde constamment, en Géométrie descriptive, les mêmes façons de ponctuer.

427. Tl serait bien à désirer que tous les auteurs, soit d'un même pays, soit de pays différents, employassent, pour les mêmes objets, les mêmes signes idéographiques. Ils le font déjà pour les nombres, qu'ils écrivent tous à l'aide des mêmes chiffres ; mais ils sont loin de le fane pour tous les objets, expressions, fonctions qu'ils ont à représenter. La factoriellc n se désigne en France par n\\ en Allemagne, par (/i); en Angleterre, par \'K La fonction inverse de sinjc se représente chez nous par arcsinx, chez les Anglais par