IV OTE S

j,OS

5320 très aigre.

4120 très aigre. 3324 assez doux.

Moyennes.

Moyennes par lignes circulaires.

326Iiv-

3oo

Moyennes idem en kilogrammes.

l6l ki1.

kil. Moyennes par millimètre carre'.

kil. Moyennes par millimètre 1

circulaire.

Fer carrillon, même

qualité.

5 lignes 9 points carre's.

4 lignes carrées. 3 lignes carrées.

nos

1 2840 doux.

6520 un peu

aigre. 5480 très doux.

11160 doux.

604» aigre.

4280 doux.

1 2600 très doux.

6520 doux.

4920 doux.

1 1400 très doux.

5720 aigre.

5ooo doux.

11160 aigre.

7000 doux.

5o8o très doux.

1 1 1 60 doux.

6680 un peu

aigre. 484° doux.

1 2680 très doux.

5o8o aigre.

4600 aigre.

1 388o très doux.

6520 aigre.

388o doux.

i444° très aigre.

4280 doux.

i3o8o doux.

4280 doux.

14680 très doux.

3g6o très doux.

8840 assez doux.

5ooo très doux.

Moyennes.

12327 Uv'

Moyennes par ligne carrée.

Moyennes en kilogramme.

Moy

ennes par millimètre.

Voyez le Traité de la résistance des fers , par Duleau. Paris , 1820 , pages "jO, 71 , 72.

NOTES

Note 6, page 23.

La manière dont résistent les corps solides, lorsqu’on leur applique une force perpendiculaire à leur longueur, a fait depuis long-temps l’objet de la méditation 'des physiciens et des géomètres fa), qui ont épuisé, on peut dire , tout ce qu’on pouvait écrire sur cet intéressant sujet. Je renverrai donc à leurs écrits ceux qui voudront là-dessus de plus amples détails, me contentant de donner une idée de ce qu’on doit entendre par un solide d’égale résistance , en partant d’une supposition inexacte à la vérité , mais qui suffit pour les besoins ordinaires de la pratique; savoir, que l’axe d’équilibre passerait par le centre de gravité (b) : cela posé, la surface AB ( Fig. XV), pour offrir une résistance qui soit en équilibre avec un poids P, devant être nécessairement une fonction de la longueur du levier BC, au bout duquel il agit, nous donne le moyen de déterminer la forme que doit avoir un levier, pour que toutes ses sections AB, A;B; A/;B/y résistent également à l’action de la puissance P , et pour cela , supposons d’abord que la dimension seule de la hauteur soit sujette à varier. Si l’expérience a démontré que la section AB d’un levier résiste à un poids déterminé Q, en tirant dans le sens de sa longueur , il est évident qu’en appliquant ce poids en P, il fera un effort sur chacun des points de AB, dépendant de la longueur des bras de levier a B , a'B , a" B, comparés au levier BC; la cohésion de la section

(a) Voir sur ce sujet le beau travail de M. Girard. Paris, 1798

( b ) Voyez la note 7.

NOTES

AB, supposée la surface de rupture, sera donc égale au moment de la surface AB, multipliée par la cohésion du fer , et divisé par BC , ce qui nous indique que pour produire par le moyen d’un levier sur une barre de fer, un mur , etc. , de figure symétrique , le même effet qu’en appliquant la force perpendiculairement à la surface résistante, ou de rupture , il faut employer un levier qui soit égal à la distance de l’axe d’équilibre à la base de la surface de rupture, ou en prenant le centre de gravité pour centre de l’axe d’équilibre («), dont la hauteur soit la moitié de la base.

Les autres dimensions A' B', A" B" étant relatives aux longueurs des bras de levier B'Cf, B"C" doivent présenter une résistance décroissante, ou croissante comme ceslongueurs : or ; cette résistance étant composée, i°. de la surface en contact; 2°. de la distance du centre de gravité à la base de cette même surface, ou surface de rupture; en nommant s l’élément variable de la première , x la seconde, nous aurons en désignant par L le levier AB , L — sx ; mais, comme les quantités s et x varient suivant la même loi , on pourra mettre ce rapport sous la forme de L = a x % équation de la parabole, et qui nous indique que les leviers, ou solides d’égale résistance d’une épaisseur uniforme, chargés par le bout, doivent en avoir la figure.

Si l’on suppose, au contraire, que la hauteur du levier ne varie pas, mais bien la largeur, il est évident que la génératrice du solide devient un triangle, puisque la position du centre de gravité reste toujours la même.

(a) Voyez la note 7.

NOTES

Enfin , si le levier était un solide de révolution , ou ayant pour élément varié une surface quelconque, la cohésion variant comme les carrés des dimensions, et les distances du centre de gravité comme leurs premières puissances, l équation ci-dessus deviendrait L — a x3, dans laquelle la constante a désigne la cohésion du corps, ainsi que le rapport de la distance du centre de gravité de la surface de rupture avec un des côtés de la figure.

Note 7 , page 1 5.

J’ai chei’ché à déterminer par l’expérience le rapport qui existe entre la résistance de la fonte de fer, dont le plan de rupture est une surface symétrique, lorsqu’on la tire perpendiculairement ou parallèlement à sa longueur par les expériences suivantes.

J’ai fait séparer à la scie les uns des autres des barreaux d’un fourneau en fonte de fer, qui ma produit cinq prismes quadrangulaires de 5 pouces de long , que j’ai fait limer avec soin jusqu’à ce qu’ils eussent exactement 3 lignes de côté, soit g lignes carrées; la fonte était très douce, susceptible de se scier et limer facilement ; la cassure d’un grain fin , gris de perle , et blanche comme du fer lorsqu’on la limait.

Expériences.

On saisit la tête d’un des barreaux avec un étau que l’on assujetti, ainsi que la barre, dans une position horizontale ; la surface de rupture est indiquée par un

NOTES

épaulement présentant une section plus considérable que celle du reste de la barre ; on charge avec du sable que l’on met dans un baquet suspendu au barreau, à 4 pouces de distance de la surface de rupture. Un fil de fer, dont la pointe coïncide avec l’extrémité du barreau , est destiné à mesurer la flexion.

Le barreau casse sous le poids de 17,80.

La flexion, au moment de la rupture, est d’environ une ligne.

Même disposition que le n° I.

ui.

Le barreau casse sous le poids de 18,80.

La flexion est d’environ une ligne et demie.

ta.

Moyenne des deux expériences précédentes, i8,3o.

La même barre tirée dans le sens de la longueur a supporté 448 kilog.

Même disposition que le n° III, 5o4 kilog.

fcil.

Moyenne des deux expériences, 47b kil. soit 52,90 par ligne carrée.

Ces expériences , si elles étaient plus nombreuses , pourraient servir à déterminer, avec exactitude, la constante qui convient à la fonte de fer, pour trouver la longueur du bras de levier, qui , suivant le principe de Galilée, est une fonction de la dimension verticale du

g4 NOTES.

solide dans son plan de rupture; mais comme cette constante varie avec les diverses qualités de fonte, et qu’il convient d’ailleurs, dans ces évaluations, de se trouver toujours au delà du besoin , je m’en suis tenu et j’ai donné une approximation un peu élevée , engageant les lecteurs qui désireront là-dessus plus de détails , à consulter les ouvrages des mathématiciens qui ont traité cette matière. ( a )

Cherchons donc, dans le plan de rupture, la position d’un point dont la distance à la base de ce plan sera la longueur du levier, qui, multiplié par la surface de rupture et divisé par la longueur du levier , à l’extrémité duquel agit le poids qu’a soutenu la barre chargée perpendiculairement à sa longueur, nous représente la cohésion de la fonte lorsqu’elle agit de cette manière. En observant que la cohésion de la fonte par ligne carrée = 52,90, et désignant par L la longueur du levier,

52,90 XgXL oqt a f /

nous aurons — - = 18,00 L = i,844-

Comme cette quantité ne s’éloigne que d’un cinquième environ de i,5o qui serait donné par la position du centre de gravité, et que d’ailleurs l’erreur est à l’avantage de la solidité, en prenant pour base du calcul la ténacité de la fonte tirée parallèlement à sa longueur, je l’ai indiquée comme pouvant être employée dans la pratique, et j’en ai étendu, par analogie, l’application au fer aigre, comme étant le cas le plus désavantageux de l’emploi de ce métal.

(a) Girard, Résistance des solides. Paris, 1798. — Duleau, Résistance des fers. Paris , 1820.

NOTES

Note 8, page 29.

Le câble fixé du côté du terrain {Fig. XVI ), et passant librement sur le haut de la culée, formera un angle dont les deux côtés auront la même tension , et que la résultante divisera en deux parties égales. Mais comme cette résultante doit en général, vu la grande ouverture de l’angle, peu différer de Tune des composantes, j’ai supposé, pour plus de simplicité, qu’elle lui était égale. Pour avoir sa véritable expression , ainsi que la manière dont elle agit sur la culée , nous supposerons l’effort dans la direction de la tangente SC, représenté par la ligne SC , et nous déterminerons la résultante SQ au moyen des deux lignes AQ, CQ. Cette résultante ellemême devra être décomposée suivant SO, dont l’une SO tendra à renverser la pile avec le levier SP, égal à sa hauteur , et l’autre SP à augmenter sa masse et lui donner de la stabilité : le moment de la première sera donc SO X SP, que l’on pourra remplacer par SQ

x PR.

Note g, page 3o.

Lorsque l’on amarrera à la culée elle-même, le moment pour la renverser sera égal à l’effort dans la direction de la tangente, au point d’attache multiplié par la perpendiculaire abaissée du pied de la culée sur cette même tangente; il deviendra donc indifférent de l’amarrer par le pied ou à la partie supérieure, si l’on regarde la culée comme une masse homogène; mais si l’on avait égard au manque de liaison des parties, il est évident qu’en amarrant à une hauteur quelconque «

NOTES

l’effort pour désunir les matériaux employés à la construction de la culée ne devrait être calculé, pour les parties supérieures à l’amarre, que comme nous l avons fait dans la note 8 pour entraîner la culée.

Note io, page 3o.

L’effort des amarres des culées étant décomposé en deux forces RQ, RP ( Fig . XVII'), l’une horizontale et l’autre verticale, si l’on a disposé les choses de manière que la masse ne puisse glisser en avant, soit au moyen de pilots enfoncés en terre, ou que le sol antérieur fût assez ferme pour que l’on ne craignît pas sa déflexion, il est évident qu’il suffira de faire équilibre à la seconde RP. J’ai supposé cependant , pour éviter d’entrer dans ce calcul , que l’on rendrait ce massif égal à la somme totale de la traction , vu le peu de dépense que cet excès de charge occasionnera, et pour compenser son manque de cohésion.

Note 1 1 , page 32.

Pour simplifier l’opération, j’ai supposé {Fig. XVII ), vu la petite inclinaison des câbles à l’horizon, que l’on peut prendre la hauteur AB de la pile pour la perpendiculaire BD, abaissée de sa base sur la tangente AD. Si la corde est fixée en A, il est évident que les tensions des cordes AC , AD deviendront proportionnelles aux longueurs des leviers CB , DB.

NOTES

]\ote 12, page 3a.

Expériences faites par Bujjon sur la résistance des bois de chêne chargés debout.

Longueur.

Largeur.

Épaisseur.

Poids sous lecfuel

pieds.

pouces.

liçnes.

pouces.

lignes.

la pièce s’est brise'e.

livres.

Note

page 4 o.

Pour évaluer l’allongement ( Fig. XFlIf produit par un rapprochement ou un éloignement des points de suspension, ce qui revient à un changement dans la valeur de y , il faudrait chercher les valeurs de x dans la supposition où s restant la même, y varie d’une quantité quelconque ; mais on peut sans entrer dans le détail de ce calcul , y parvenir d’une manière très approchée , en observant que pour de petites variations, on peut regarder la valeur des cordes A C , A'C' comme sensiblement proportionnelle à celle des arcs de chaînette

iNoTiïs.

AC, A C' qu elles soustendent ; partant de là, la résolution des deux équations, ■>

BC2 =: AC* — AB2 BC'2 = A'C'2 — A'B2, donnera cette différence ;

Si la distance AB = 5o BC' = 5 BC = 5,i

On trouvera en effectuant le calcul , et observant que AC = AC', A'C' = ( 5o)2 -j- ( 5i )2 = 2026,01.

A/B2 = 2526,01 — ( 5 )2 =: 2 5o 1 ,0 1 , dont la racine 5o,oii = AB, nous indique qu’il faudra éloigner le point A d’environ onze millimètres, ou augmenter le rayon de la poulie de manière à produire cet allongement.

Note 14, page 4* •

Pour chercher la limite des différences qui peuvent exister entre les longueurs des fds dans la confection des câbles , nous supposerons que l’on emploie du fil de fer qui peut soutenir 5oo kilog. , son poids étant de 68 grammes le mètre; un fil de 33 mètres pèsera 2,25 ; un seul homme en le tendant sur les poulies , et déployant une force de i5 kilog., lui procurera une courbure dont la flèche x sera exprimée à peu de chose près

par — — X 2,25 = i5 , x — 0,62; il sera facile dans cet 8 x

état d’égaliser les diverses révolutions de manière à ce qu’elles ne se dépassent les unes les autres au plus que de o,3o mètres. Il ne s’agit donc que de calculer quelle