DU NUAGE

Nous avons vu qu'en observant avec les théodolites il arrive rarement que les deux lignes de visée se rencontrent exactement dans le point vise. Il faut pourtant, pour que Tobservation soit bonne, que les deux lignes de visée passent très près du point visé, c'est-à-dire que le point milieu de leur plus courte distance doit être très voisin du point visé. Admettons que ce point milieu

Fig. 10.

représente la position la plus probable du point visé et nous allons en calculer les coordonnées.

Prenons pour origine le point T^ (Fig. lo).

Soient P^ et P^ les points où les deux lignes de visée, T^P^ et T^P^, sont le plus proches l'une de lautre;

Soient x^^y^^ z^ et x^^y^^ z^ les coordonnées de ces deux points, et JT, v> z celles de leur point milieu P\ X^^ /^j, %\ et X^^ /tj, Vg les angles que forment avec les axes les deux lignes de visée;

Soit ê Tangle qu'elles forment entre elles; ri = TiPi, r^ = Posons

11^ = COS X^ f 4 = ^^S ^2

m^ ^ cas jÂi I m^ = cos ^g

Retenant du reste les symboles précédemment adoptés (page 1 1 ) on aura, d'après des formules connues de la géométrie analytique ou de la trigonométrie sphérique:

1/^ =: cos Aj cos â5^ m^ = cos Aj sin a^ //j = sin A^

1^ = cos ^2 cos a^ m^ ^ cos ^2 sin a^ n^ — sin ^2 et

(3) cos ^ = sin /^j sin Ii^ + cos A^ cos h^ cos (â;2 — a^ ) .

Cette dernière équation peut être transformée en la suivante, plus commode pour le calcul;

(4) sm^ — = sm^ -r^^ + cos h, cos ae» sm^ r-^ î- .

De plus, en projetant les lignes brisées T^T.^T^P.^ et T<^T^T^P^ respectivement sur les droites T^P^ et T^P^^ on obtient:

{t^^bl^Arcn^'\-r<^ cos ^ rg = — i 4 — ^ ^2 + ^1 ^os ^

et par addition et soustraction:

{ - (4— 4) + ^ («1 — «2) } cbséc2 -

^^ = {^(4 + 4)+^K + ^2)}séc2j.

Ces deux équations jointes aux précédentes qui donnaient /, ffi, n et b suffisent pour calculer r^ et r^.

On trouve ensuite les coordonnées d'après les formules suivantes :

Enfin, la plus courte distance est donnée par la formule

(7) A = i{x,-xJ + (.y,-y,y+(z,-z,r.

Calcul de V erreur moyenne de la hauteur z. Pour ce calcul nous admettons que les erreurs angulaires commises dans chacun des plans de g^rand cercle menés par r^ et rg sont de la même grandeur et égales à e.

Il suffit pour cette discussion d'admettre que ' les lignes de visée se rencontrent exactement. Nous aurons alors

b sin L

' sini?

Par dififérentiation logarithmique de ces équations et de réquation

z^ = r^ sin \ on trouve après élimination

-^ = cot \d\ + cot & dX^ — (cot •» — cot X^ )dX^,

En représentant par m^ Terreur moyenne de z^ et en observant que nous avons selon notre supposition

,^==(MJ = (dXJ = (dkJ-

on obtient, d'après la méthode des moindres carrés:

m\ = z\{coeA^ + coeû + {cotû~cotX^y}€\

De la même manière on trouve:

fn\ = ^,{ cot' A, + cot' i> + (cot û + cot k^ y)€\

Par conséquent, en représentant par m l'erreur moyenne de 2,

m=z±^^m\ + ml.

Or comme z^ et ^^ ne différent que peu Tun de l'autre, on pourra le.s remplacer par la valeur moyenne z. On pourra aussi, sans commettre une erreur sensible, remplacer k^ , k^ et X^ , X^ par les valeurs moyennes à et X, On obtient alors :

^ pi^z ^ cot- '& + i (cût^ Â + cot2 ;) , £ .

Pour la plupart des observations nous pourrons même négliger tout à fait les deux derniers termes sous le radical. Notre formule se réduit alors à

Dans chaque cas on peut admettre

r étant la valeur moyenne des deux rayons r^ et r^ .

Remarques géncrales stir les calculs à faire. Il faut avant de commencer contrôler approximativement la valeur des observations à calculer. On se sert pour cela des équations simples (voyez p. Il):

b sin a^ tan h,

isin^, tan^* sin [a^ — ^i)

A supposer que -r- soit une petite quantité on a approximativement, en égalisant les membres droits de ces équations: sin «1 tang ^^ — sin a^ tang k^

On doit rejeter définitivement toutes les observations dans lesquelles la différence logarithmique des deux membres dépasse o» 1 , Dans les observations exactes elle dépasse rarement quelques centièmes.

Pour calculer les équations (4) et (5) il est commode d'employer les logarithmes, d'addition et de soustraction. Nous recommandons les tableaux logarithmiques à quatre décimales publiés par MM. Ekhooi, Charuer et HagstrôM.*} En général des logarithmes à quatre décimales suffisent; seulement, en calculant log {l^ + 4) ^^ ^^K (^i ^ 4) ^^ ^^ ^ quelquefois besoin de cinq pour que la quatrième du logarithme de soustraction soit exacte.

^] Fyrstalliga logaritmisk-trigoDometriska tmudiabeUer. Upsala iSBj.

Pour faciliter le calcul de la parallaxe ^ on peut se servir avantageusement d'un tableau qui donne immédiatement, pour un

argiiment A, la fonction log sîn"— , (Tab. I), dont on se sert aussi

pour calculer log sîn

— et log stn- -^

En outre on n'a

pas besoin de connaître Tangle ^, car, en prenant pour argument le log coséc- * i^ calculé à Taide de la formule (5), on tire le log séc^ 1 û d'une table de logarithmes de soustraction.

Le calcul des r^ et r^ d'après' les formules (5) a été abrégé aussi à Taide de deux tables. En effet, les quantités entre crochets peuvent s'écrire

~{K --?.) + !(«. -«0}et^{{/. + /.) + ^(«. +«,)}.

et comme -7- n'est qu'une petite fraction, les termes

le sont aussi, et Ton peut les traiter en corrections à appliquer respectivement aux deux termes (/^ — /J et (Z^ + A)-

La première quantité peut se mettre sous la forme