Q = 9 COS 2 CO

dot d

c'est-a-dire 1'equation (61). Si Ton eliminait de meme 9 ? on trouverait

f 1 ) M. C. GUICHARD est le premier qui ait etudi< les Equations aux d^rivees partielles de la forme (6r). Voir le Mmoire intitule : Sur ime classe particuliere donations aux derivees partielles dont les invariants sent egaux (Annale* scientifiques de HEcole Normale superieure, 3 serie, t. VII, p. 19; 1890), ainsi que celui qui a paru au meme Recueil et au meme tome (p. a33) sous le tilre : ftecherches sur les surfaces a courbure totale consta?ite et sur certaines surfaces qui s'y rattachent.

c'est-a-dire 1'equation (61) ou to serait remplace par to,. Comme cTailleurs on pent toujours, lorsqne 9 est donne, de*duire, par de simples quadratures, la valeur de 9j verifiant les deux equations (63), on voit que toute solution de Pequation (61) fournira, avec nne constante arbitraire, une solution de 1'equation (64). On peut done e'noncer la proposition suivante :

Lorsqu'on sail resoudre te probleme de la deformation infiniment petite pour une surface a courbure constante, on salt le resoudre aussi pour toutes celles qu'on en derive par la transformation de M, Bianchi.

Ce resultat etait evident par la Geome'trie. II nous a paru bon de le mettre en lumiere, On comprend ainsi comment le probleme dela deformation infiniment petite doit de"pendre de 1'equation (61). Car, si Ton considere une surface a courbure constante infiniment voisine de la surface proposed (S), to sera, pour cette surface, remplace'e par une fonction CD -f- 6 infiniment peu differente de w. En substituant to H- 6 a la place de <o dans Tequation (09) et se bornant aux termes du premier degre* en 9, on retrouve bien Fequation (61) ( H ).

De la remarque que nous venons de faire, on peut deduire im~ mediatement trois solutions particulieres de 1'equation lineaire

(61). Soit, en efTet,

co = cp(a, P).

Nous avons vu que, si a , [3 , m sont trois constantes, oj' = cp (i -hwi)a-*-a , 7r ~- PO

I I ~T~ Tftf J

sera encore une solution de 1'^quation (5g). En d^veloppant suivant les puissances de ces constantes, on aura

d'ou 1'on voit, en se bornant aux termes du premier degre, qu'en

( J ) La proposition precedente s'applique aussi aux transformations de MM. Lie et Backlund.

prenani pour 6 une des trois foactions

on aura une solution de 1'equation (61).

88'i. Nous terminerons ce Chapitre en indiqnant comment on pout obtenir des formulas analogues a celles de M. Lelieuvre quand les variables independantes auront ete choisies d'une mamere quelconque.

Soient u et 9 ces variables et conservons toutes les notations dii Livre VII, Chapitre III [III, p. 242 et suiv.]. On peut toujours determiner des coefficients A ; A ; tels que Ton ait

Lt les ibrmules analogues obtenues en soumettant x,y, z] c, c', c' r i une permutation circulaire. La multiplication de deux dekerminants nous conduit d'ailleurs a Fidentite

d JL !?' dc "

du du du

dc dc r dc"

I dv dv ~dv

dsc dy dz

du du du

dx dy dz

dv dv dv

c'est-a-dire, en tenant compte des formules (4) [III, p. 248],

dc dc' dc"

du 'du da

dc W d

dv dv dv

aux

Cela pose, multiplions liquation (65) par ^ et ajoutons-la deux equations qu'elle donne par une permutation circulaire. Nous trouverons, en tenant compte de la relation (67),