D'2DD
Si Ton echange enfin u et 9 dans la formule (65), on pourra ecrire
el les formules analogues en y et sj A" ayant pour valear
("0 Aff = D'a^uD""
Si Ton suppose que u et y soient les parametres des lignes asymptotiques, A, A" deviennent nuls etl'onretrouve les formules (B 7 ) donnees plus haul.
Effectuons dans les formules (65) et (70) la substitution definie par les equations
(72) cv/x = e!, c'^A = ej, cVA = e 3 ,
elles se changeront dans les suivantes
TV /^ ^ 3 ft ae 'A /fl ae * ft de ^
= JbJ ( 9 t) 3 -r ) J5 Do -T ua -r- 1 3
* du du ] \ dv dv J
ou 1'on aura
Les d^rivees dey et de z s'obtiendront par des permutations effectuees sur 9< , 6 2 , 3 , de sorte que la surface sera d&finie par les formules suivantes
j LIVRE Vni. CHAPITRE II.
Si nous determinons A en particulier par la condition ,-j B' 2 -BB"=i,
qui donne
on. en substituant les valeors de A, A', A"
9,, 9>, 9;j seront identiques aux quantites de meme determination qui figurent dans les formules (B). Mais, sans fixer des a pr&-
xent la valeur de A, exprimons que les deux valeurs de -^j- ob-
renues par la differentiation des deux equations (78) sont egales, nous serons conduits a la relation
fl d 2 2
d'ou il suit, en repe*tant le raisonnement employe au n 870, que 1'on peut trouver une certaine fonction K telle que 9 < , 6 2 , 6 3 soient Irois solutions particulieres d'une equation de la forme suivante
La fonction K variera suivant la valeur de X -que Ton aura choisie. Ellea une expression particulierement simple lorsqu'on a pris A egal a runite,c'est-a-direlorsque liquation prec^denteadmet c, c ; , d r comme solutions particulieres. En effet, si, apres Favoir multipliee par 9, Pon j remplace 9 par c, d, d' successivement, en ajoutant les trois equations ainsi obtennes, on trouvera
ou encore
DEFORMATION INFINIMENT PETITE. DEIJXIEME SOLUTION. 45
Lesvaleurs des trois sommes contemies dans cette relation se eduisent de la formule (82) [III, p. 249]. En les substituant insi que les valeurs de A, A', A", on trouve
I et R' designant les rayons de courbure principaux (n 701).
Remarquons que, dans tous les cas, Pequation (77) est celle jue Ton obtiendrait en egalant a zero la variation de iouble
et que la surface (S^) correspondant a (S) avec orthogonalite des elements lineaires se trouverait ici definie par la formule
ou co serait une solution quelconque de L'equation (77).
Si it et 9 sont les parametres des lignes asymptotiques, on a
Si, en outre, \ est definie par la condition (76), on a
ce qui permet de prendre
et Ton retrouve les formulas (C) ou a et {J seraient remplacees par u et v.
Le lecteur pourra rapprocher les formules generales qui prec&dent de celles qui se trouvent dans le Memoire cit^ plus haut [p. 8] de M. Weingarten. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant une demonstration de ces formules qui en fera sans doute mieux comprendre la veritable origine.
882. Designons toujours par c, c', c" les cosinus directeurs de la normale, etemployons les caracteristiques del S pour definir les ^'placements suivant deux directions conjugates quelconques. On aura les deux equations
c dx -r- c 1 dy -r- c" dz = o, oc dx -r- 8c' dy -f- 6c /; <^-s = o,
d'ou Ton deduit
A etant une quantite finie. D'ailleurs, D, D', D^ayant la m^me signification que plus haut, 1'equation
ou
(D du -t-
( D' rfa H- D' ;
exprimera que les deux directions definies par les caracteristiques del$ sont conjuguees. La relation precedente permet de poser
de sorte que les formules (81) nous donnent
La formule (26) [HI, p. 248] nous permettra d'aillcurs de d^terminer A. On a ici, en verlu du systeme pre'ce'dent,
dc dc' dc"
du du ~du
dc M dc n
dv dv "ST
(D rfai-h 2 D' du dv 4- D 7
DEFORMATION INFINIMEXT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. 4?
; qui donne, ea tenant compte de liquation (67),
i __ DP" D'a - H2
^~H " A HS ou A - DD"-TD'2 *
11 ne reste plus qu'a stibstituer cette valeur de h dans les ferules (83) pour obtenir 1'equivalent des relations (B"), ou 8,, 8 2 , , designeraient c, c 7 , c /; .
