MM
Or on sait que la relation precedente existe entre les rayons de courbure, en M^ et M 2 , de toute conique qui serai t tangente en
ces points aux droites MiMj, MM 2 , c'est-a-dire aux courbes decrites par Jes points Mj et M 2 . Par suite, celie de ces coniques qui aura en M, le rayon de courbure p, aura en M 2 le rayon de courbure p 2 . Comme les plans osculateurs aux deux courbes en M< et en M 2 se confondent avec le plan MM< M 2 , on pent enoncer la proposition suhante, generalisation de celle que M. Kcenigs a fait connaitre pour les reseaux plans dans la Communication citee plus haut :
Pour que I * equation ponctuelle relative a un systeme conjugue trace sur une surface quelconque ait ses invariants <>gaux, il faut et it suffit que, si Von construit les deux developpables circonscrites a la surface suivant les deux courbes du systeme conjugue qui se croisent en un quelconque de ses points et que Uon prenne sur chacune de ces developpables les points de contact de trois generatrices consecutives avec r arete de ?*ebroussement, les six points focaux ainsi obtenus appartiennent a une meme conique.
En transformanl par polaires reciproques, on voit de meme que :
Pour que I' equation tangentielle relative a un systeme conjugue ait ses invariants egaux, ilfaut et il suffit que les trois plans focaux, distincts des plans tangents a la surface, relatifs a trois tangentes consecutives prises sur chacune des deux courbes du systeme conjugue qui se croisent en un meme point quelconque de la surface, soient six plans tangents d'un meme cone du second degre.
879. Pour indiquer des a present au moins une application des formules de M. Lelieuvre, supposons que la surface proposed (S) ait sa courbure constante et e*gale a - i. II faudra faire 1= i ? et Ton voit que c, c 1 ', c 11 satisferont a Tequation
Ainsi, toutes les fois qu'une equation de la forme prdc^dente admettra trois solutions v^rifiant la relation
eiies fourniront une surface a courbure
constante.
D'autre part, les equations (82) nous donnent alors
de tig 5 ) Sf-dH '
1'ou Ton d&luil
Ecartons le cas ou Tune des quantites e, g serait nulle, qui ions conduirait seulement a la sphere efc aux surfaces reglees maginaires applicables sur la sphere. On pourra des lors, en ihoisissant convenablement les parametres, reduire e et g a 'unite; de sorte que Ton aura, en posant /== cos 2 to, les fornules suivantes
5^7 ) da- = da- -f- d$* 2 cos 2 u> da flfji,
58} <^5 2 = <^a 2 -r- G?P 2 -|- 2 cosao) <
pi sent d'accord avec celles du n772 [III, p. 379]. Pour obtenir 'equation a laquelle doit satisfaire to, il suffit d'exprimer que la sphere a tine courbure totale egale a i, ce qui donne
d- to
5 9 ) Comme on a ici, en vertu de Tequation (Si),
60) k / COS20),
'equation (19) en 6 deviendra
61) -T T77 = 6cos2w.
Telle est 1'equation qu'il faudra integrer si Ton veut r^soudre e probl&me de la deformation infiniment petite pour la surface a iourbure constante donne'e.
880. Le lecteur se rappelle la longue etude que nous avons coniacre'e a liquation aux derivees partielles (5g). Nous avons vu III, p. 4^2] que, si Ton considere le systeme
(^to i c/tu "do" "^ do" bii ) <
(<?(1>1 ^Ct>
"3fT "" Jp " !
[I permet de deduire de toute solution co de 1'equation (5g) une solution to, qui contiendra une constante arbitraire et verifiera encore la mme equation (5g). Nous allons montrer d'abord que, si Ton sail resoudre le probleme de la deformation infmiment petite pour la surface a courbure constante correspondante a la solution to, on saura resoudre le meme probl&me pour la surface correspondante a la solution co f , c'est-a-dire pour celle qui derive la premiere par la substitution de M. Bianchi. En d'autres termes (<), si Von sait resoudre I' equation (61) correspondante a La fonction to, on saura resoudre cette meme equation oil to serait remplac6e par to, .
Remplacons, en effet, dans lesformules (62), to et to, respectivement par to -f- 9 et to, -f- 9< ; et, developpant les deux membres des equations suivant les puissances de 9 et de 9 M bornons-nous a conserver les termes du premier degre' en 9 et 9^. Nous serons conduit aux deux equations lineaires
de OB
filiminons 6, entre ces deux equations : en egalant les deux va-
leurs de T 4; qu'elles peuvent fournir, nous aurons
