CHAPITRE III
LES DOUZE SURFACES. DEVELOPPEMENTS GEOMETRIQUES SE RATTACHA1NT AUX PRECEDENTES SOLUTIONS.
Etant donnees deux surfaces (S) et(SJ qui se correspondent avec orthogonality <fcs elements lineaires, au reseau des lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces correspond, sur I'autre, un reseau conjugal a invariants ponctuels egaux. - On deduitdu premier couple deux nouvelles surfaces ( S) et (A) qui se correspondent, elles aussi, avec , orthogonality des Elements lineaires. Definition de (S):c'est 1'enveloppe des plans menes parlous les points de(S) perpendiculairement aux directrices de la deformation. On sail resoudre le probleme de la deformation infinimenl petite pour (S) lorsqu'on sait resoudre ce probleme pour (S). Les lignes asymptotiques se correspondent sur (S) ct sur (S). Reciproque : theoreme de M. Guichard. Relation geome"trique entre Jes deux nappes de la surface focale d'une congruence rectiligne, ddns le cas ou les lignes asymptotiques se correspondent sur ces deux nappes. Proprie'tes qui rattachent la surface (A) a la surface (S t ) : les plans tangents aux. points correspondents sont paralleles et le systeme conjuguc commun a ses invariants ponctuels egaux, sur les deux surfaces. Reciproque : theoreme* de MM. Koenigs et Cosserat. Les trois re"seaux I, II, III formes par les lignes usymptotiques de (S), de (S,) et de (A) sont harmoniques deux a deux. Introduction de huit nouvelles surfaces qui, jointes aux quatre premieres, forment un ensemble de douze surfaces que I'on peut grouper deux a deux dc telle maniere qu'elles se correspondent avec orthogonalite des dlements lineaires, ou bien par plans tangents paralleles, ou bien par polaires reciproques relativement a une sphere concentnque a 1'origine, ou enfin comme locales d'une meme congruence rectiligne sur lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent. Sur chacune de ces douze surfaces, les trois reseaux I, II,III deja signales sont, 1'un forme des lignes asymptotiques, 1'autre conjugue i invariants ponctuels egaux, le dernier enfin conjugue" a invariants tangeutiels egaux. Quand deux surfaces se correspondent avec orthogonality des elements Imeaires, le systeme conjugue commun a ses invariants tangentiels egaux. Lorsque, sur une surface, unre*seau conjugue" a ses invariants ponctuels (ou tangentiels) egaux, le reseau conjugue qui lui est harmoniquea ses invariants tangentiels (ou ponctuels) e"gaux.
883. Nous revenons au probleme de la deformation infinimenl petite pour developper les nornbreuses propriete's glomgtriques que Ton peut rattacher a la solution developpee dans le Chapitre
>recedent. La surface (S) etant defame par les formules
)u 9 i? 9o? QS sont des solutions d'une meme Equation aux derivecs jartielles
2t sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale a la surface (S), nous avons vu que les fonctions les plus generates 3^ , ^, z { verifiant la relation
3) , dx dx\ -\- dy dy\. + dz dzi o
sont determinees par les formules suivantes
ou co d^signe la solution la plus generale de Tequation (2). An n 8S6 nous avons deja etabli Texistence d'un systeme de relations de la forme
i dx = c dyi b dz^ , / dy = a djSi c d&i ,
dz =
entre les differentielles rf^r, rfy, dz; da^^ dy^ dz^. On determinera sans peine les valeurs de a, 6, c, qui sont
CO
5o LIVRE VIH. - CHAPITRB III.
Je sorte que les formules(4) sont equivaientes aux suivantes
dont nous ferons plus d'une fois usage dans la suite.
Si nous eliminons a entre les deux premieres de ces equations, rns
nous aurons
ou, en developpanl,
(Ma ( 8 )
llest clair que y { et z\ v^rifient la meme equation. Done, sur la surface (S 4 ), a et ^ sont les parametres d'un systeme conjtigu^ et ['equation ponctuelle relative a ce systeme conjugu6 a ses invariants egaux. Ainsi :
Ouanddeux surfaces (S) et (S, ) se correspondent avec ortho- <fonaliti des elements lineaires, au reseau des asymptotiques de rune quelconque de ces surfaces correspond sur Vautre surface un systeme conjugue, et t' equation ponctuelle relative n ce systeme conjugue a ses invariants egaux.
884. Reciproquement, supposons que Ton connaisse ? sur une suriace (S { ), un systeme conjugue dont 1'equation ponctuelle ait ses invariants egaux. Cette equation pourra toujours etre mise sous la forme (8). Les formules (^) nous fourniront ensuite des fonctions a, 6, c par des quadratures telles que la suivanle
Puis, les relations (6) nous feront connai tre des fonctions ^ , 9 2 , 8 8 . Ces trois fonctions satisferont, on s j en assure aisement, a I'equation
LES DOUZE SURFACES. 5l
par suite, en les substituant dans les formules (i), on obtiendra s surface (S) qui correspondra a (S,) avec orthogonalite des e*lents. On peut done e*noncer la proposition suivante :
SI I' on connatt, sur une surface (S,), unsysteme conjugue nl r equation ponctuelle ait ses invariants egaux, on pour r a lerminer, par de simples quadratures, une surface (S) cor- \pondant a(S { ) avec orthogonalite des elements line air es et lignes asymptotiques de (S) correspondent aux deux fa- 'lles du reseau conjugue trace sur (S/j.
II faut meme remarquer que, comme les fonctions <7, 6, c sont terminees par des quadratures, la solution contiendra trois nstantes arbilraires, et Ton pourra ajouter aux Ibnctions 6,, 6 2 , la fouction to multiplied par des constantes quelconques. Cela v'ient, on s'en assure aisement, a composer les formules qui de- 'minent(S) avec celles qui donnent un plan et qui correspondent, n plus a une deformation infiniment peiite de (S/), mais a un placement infiniment petit de cette surface (n 806). On peut nc dire que :
A chaque reseau conjugue a invariants egaux trace sur une rface correspond une deformation infiniment petite parfaiteent detenninee de cette surface.
885. Revenons aux formules (5). En faisant passer tous les rmes dans le premier membre et remplacant les diflferentielles ; r les fonctions, on est amene a considtrer la surface (S) lieu du >int (X, Y 7 Z) defini par les relations
Z = z bx-^^r ay
\ Ton differentie ces valeurs de X, Y, Z en tenant compte des lations (5), on trouvera
dY = O7j dc z 1 da, dZ = Yi da Xi ah.
de sorle que Ton a identiquement
, ,3 > dX.da + dV db +- dl dc = o.
Cette equation, toate pareille a 1'equation (3), nous donne ime solution nouvelle du probleme de la deformation infiniment petite. La surface (S) lieu du point (X, Y, Z) et la surface (A) lieu da point (a, &, c) se correspondent, elles aussi, avec orthogonality des elements lineaires. Nous allons etudier les proprietes geometriques qui rattachent cette nouvelle solution a Tancienne. Cherchons d'abord a definir la surface (S).
886. fitant donne*e la surface (S), menons par Tun de ses points (x 9 y,s) la directrice de la deformationj c'est-a-dire la droite dont les parametres directeurs sont # y^ z\ (n 852). La perpendiculaire a cette directrice situe*e dans le plan tangent sera e"videmmetit definie par les equations
ou X ? Y. Z d^signent pour un instant les coordonnees courantes. Ces equations, evidemment verifie'es quand on y rem place X, Y 7 Z par leurs valeurs deduiies des equations (i i), nous montrent done que cette perpendiculaire va passer par le point de (S) defini par ces equations (u). Nous allons montrer de plus qu'elle est, en cc point, tangente a (S).
En effet, les formules (12) nous donnenl 1'identite
d'ou il resulte que la normale a (S) a pour parametres directetir.s JM, y\, z\ et, par suite, qu'elle est parallele a la directrice de la deformation. Elle est done perpendiculaire a la droite definie par les equations (i4)
D'apres ceia, si M designe le point (#, y,s)de (S),P le point correspondant (X, Y, Z) de (S), la droite MP est tangente en M a (S) et en P a (S). Le plan tangent a (S) en P est perpendiculaire a la directrice de la deformation en M ; et, $i Von considere la deformation infiniment petite de (S) definie par
Jes fo notions a, b, c, qui figu rent dans V Equation (i3), le plan tangent en M a (S) est perpendiculaire a La directrice de la deformation de (S) en P. On le voit, la relation entre (S) et (S) est reciproque.
Les surfaces (S) et (S) s'ont done les focales de la congruence engendree par Ja droite MP. On peut aj outer encore une autre proprie*te essentielle:
Les lignes asymptotiques se correspondent sur(S) et sur (S).
Ce point resulte immediatement des transformations suhantes. Les formules (7) et (12), rapprochees les unes des autres, nous donnent des equations telles que la suivante
Si done on pose
on trouvera
et les formules analogues en Y, Z. Ces relations sont toutes pareilles aux formules (i) et s'en deduisent en remplacant 6 i? 9 2 , 9 3 par x\jy\ , z\ respectivement. Done a et j3 sont les parametres des lignes asymptotiques de (S) comme ceux des lignes asymptotiques de (S). On peut d'ailleurs verifier, bien que ce ne soit pas necessaire, que x\,y\, z\ sont solutions particulieres d'une equation de la forme (2), qui est ici
de sorte que Ton passe de (S) a (S) en echangeant 9 i5 6 2 , 6 3 , to en x\, y\, z {1 - Comme d^ailleurs, d'apres le theoreme de
M. Moutard, on sait inte*grer completement liquation precedente lorsqu'on sait integrer 1'equation (2), on voit que Von saura resoudre completement le probleme de la deformation infiniment
petite pour (S) des qu'on saura le resoudre pour (S), et reciproquement.
887. On pent encore indiquer une des proprietes de la correspondence entre les deux surfaces (S) et (S) en disant qu'd tout svsteme conjugue trace sur I' une des surfaces correspond un systeme conjugue trace sur la seconde. Nous avons deja remarque (n 600) que lorsqu'une correspondence point par point est etablie entre les points M et P de deux surfaces, le rapport anharmomque de quatre tangentes au point M de la premiere est egal au rapport anharmonique des quatre tangentes correspondantes au point P de la seconde. D'apres cela, supposons qu'a deux tangentes conjuguees de la premiere correspondent toujonrs deux tangentes conjuguees de la seconde : il sera necessaire que la correspondance subsiste lorsque ces deux tangentes conjuguees se confondront entre elles, c'est-a-dire se reuniront en une direction asymptotique. Et, reciproquement, si les tangentes asymptotiques se correspondent sur les deux surfaces, a deux tangentes conjuguees de Tune, c'est-a-dire a deux tangentes divisant harmoniquement Tangle forme par les directions asymptotiqnes de la premiere surface, correspondront necessairement deux tangentes de Fautre surface divisant harmoniquement Tangle forme par les tangentes asymptotiques de cette surface, c'est-a-dire encore deux tangentes conjuguees.
Par suite, a tout reseau conjugue sur la premiere surface correspond ra un reseau conjugne sur la seconde.
La congruence des droites MP definies par les formulas (i4) jouit done d'une propri^te sur Jaquelle nous avons, a deux reprises deja, appele Pattention (n 8 483 et 765). Les asymptotiques se correspondent sur les deux nappes (S), (S) de la surface focale. Reciproquement, nous allons etablir avec M. Guichard (<) que toute congruence jouissant de cette proprie'te s'obtient par les methodes que nous venons de faire connaitre.
(') GUIGBARD (C.), Determination des congruences telles que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale ( Comptes rendus des seances de I'Academie des Sciences, t. CX., p. 126; Janvier 1890).
Considerons, a cet eflfet, une telle congruence et prenons pour variables independantes les parametres des lignes asjmptotiques sur les deux nappes de la surface focale, nappes que nous designerons encore par (S) et par (S); elles seront respectivement definies par des formules telles que les suivantes :
oft Q j, 63, 83 sont solutions particulieres d'ime equation de la forme suivante
et ou c- 1? or 2 , <7 3 satisfont a une autre equation de forme analogue
On aura d'ailieurs, en designant par p un facteur de proportionnalite, les relations
0*3 9j 6jO"2 ffj 6
par lesquelles on esprime que la droite de la congruence est tangente aux deux nappes (S), (S).
Differentions par rapport a a ['equation
obtenue en egalant a p le premier rapport. LI viendra, en rem-
plagant j- 7 ~- par leurs valeurs de"duites des formules (19) et (20).
Multiplions par 6 4 et ajoutons liquation ainsi obtenue a celles
- t j LIVRE VIII. CHAPITRE III.
que Ton obtient en effectuant des permutations circulaires sur les indices i ? 2, 3. Nous aurons
A = pA',
A et A' designant, pour abreger, les deux determinants
Multiplions maintenant liquation ( 24 ) par a-, et op^rons de mme : nous aurons, cette fois,
A'=pA.
II faut done que Ton ait
a moins que les deux determinants A, A' ne soient nuls. Mais alors
on aura it f
dx fy dz _____
en repetant un raisonnement analogue sur la variable (3? il fau-
drait joindre a ces deux equations les suivantes j
Envertudeces quatre dernieres relations, les deux surfaces '(S) et (S) auraient leurs normales constamment parall&les, ce qui est absurde.
On doit done supposer
et, comme il est permis de changer le signe de tous les <r ou de tous les 6, on fera
L'equation (24) deviendra done
LES DOUZE SURFACES. 5j
II re"sulte de la que, si jx designe une fonction auxiliaire, 6/ et 07 satisfont a Fequation
pour = i, 2, 3.
En operant de mme pour la variable [3, on verra que les memes fonctions satisfont a liquation analogue
Diff^rentiant Tequation (26) par rapport a p et tenant compte des relations (21), (22), (26), nous trouvons
ou
et, par suite,
(27) A Rt'-jf=o, *,- W '*^=o.
La differentiation 4e 1'equation (26) par rapport a a nous conduirait de mme aux relation*
(28 ) Ar-^-^^o, Ai-^'H-^^o.
La comparaison des equations ainsi obtenues, i 27) et (28), nous donne
oe qui permet de poser, co ^tant une fonction auxiliaire,
i ^o> , i do>
W. = -r > Lt = -T75"
II vient ensuite
Le reste du calcul s'acheve sans difficulte et nous fournit la
solution a laquelle nous avait conduit le probleme de la deformation infiniment petite.
889. En etudiant un cas particulier des congruences pre"cedenles, nous avons rencontre* (n 763) une relation entre les courbures des deux nappes de la surface focale que nous allons maintenant generalises
Si nous designons par c, c', c" les cosinus directeurs de la norraale a (S), par R et R' les rayons de courbure principaux de cette surface, nous avons vu (n os 870 et 873) que Ton a
Si c n c",, c], R 1? R< designent les monies grandeurs pour la surface (S), nous aurons de me'me
<3i) cri^c-RjR;, ff^c'-Kitti, cr s = cj - RI R'i -
Lesformules(23)nousdonnent, p devant y tre remplace* par i^ des relations telles que la suivante
X - x = v^^RR 7 V^RTRT (c'cj - c\ c"}, d'ou Ton deduit pour le segment focal MP 1'expression
V designant Tangle des plans focaux. Elevant au carre, nous obtenons la relation
(3a) MP* = RR f R 1 R' 1 sin*V
comprenant comme cas particulier celle que nous avons obtenue
aun763( 1 ).
C 1 ) Dans des Notes prtSsentees en 1894 ^ 1'Academie des Sciences, M. A. Demouiin et M. E. Cosserat se sont occupes recemment de cette relation, signatee en premier lieu par Ribaucour dans son fitudc des tflassoides, demontree ensuite par M. Bianchi dans le Memoire insere au t. XVIII, 2 se"rie, des Annali di Matematica pura ed applicata et intitule : Sopra.alcune nuove classi di superficie e di sistemi tripli ortogonali. M. Demouiin Pa de'raontre'e de nouveau par une methode elegante et M. Cosserat a (kabli qu'elle constitue une pro-
890. Apres avoir etudie la surface (S) passons a la surface (A), lieu du point (a, 6, c), qui correspond a (S) avec orlhogonalite des elements lineaires* II resulte immediatement des formules (6) que le rayon vecleur de(A.) est parallels a la normals de (S), etdes formules (7) quW/e correspond a (S f ) avec parallelisms des plans tangents.
Ces formules (7) expriment, en effet, que ? sur les deux surfaces (A) et (Si ), les tangentes aux courbes de parametre [3 et aux courbes de parametre a sont constamment paralleles. De la resuite la propriel^ annonce*e et Ton volt de plus que les deux families de courbes de parametres a et (3 sont conjuguees a la fois sur les deux surfaces. Nous retrouvons la correspondence par plans tangents paralleles si souvent employee dans les Livres precedents [II, p. a34 el suiv.]. Ce qu'il importe de niettre en lumiere, ce sont les caracteres distinctils du cas special que nous renconlrons ici.
Nous pouvons faire d'abord la remarque suivante : les lignes de parametres a et (3, qui correspondent sur (A) aux lignes asjmptotiques de (S), correspondent par cela meme aux lignes asymptotiques de (%) et doivent former par suite, sur (A), un reseau conjuguedont Tequation ponctuelle ait ses invariants egaux (n 883). Ainsi, sur (A) et sur (Sj ), les deux systemes cotijugues formes des courbes de parametres a et (3, courbes dont les tangentes correspondantes sont paralleles, ont leurs invariants ponctuels egaux. Au reste cette proposition se ve" rifle immediatement a 1'aide des formules (7); car si Ton elimine successivement a entre les deux equations
,^ QN dvi da
priete caracteristique des congruences dont nous nous occupons ici. M. E. Waelsch 1'a ratlachee, avec d'autres propnetes, a la tlieorie que nous lui devons des invariants projectifs pour les congruences rectilignes.
Voir A. DEMOULIN, Sur une propriety metrique commune a trois classes particulieres de congruences rectilignes (Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. CXVIII, p. 242).
E. COSSERAT, Sur des congruences rectilignes et sur le probletne de Ribaucour (meme tome, p. 335).
E. WAELSCH, Sur le premier invariant dijfe'rentiel projeciif des congruences rectilignes (meme tome, p. 786).
on obtient, dans Tun et 1'autre cas, une equation line'aire du second ordre a invariants egaux.
Examinons maintenant les propositions ge'ometriques qui se rattachent a cette notion purement analytique de I'egalit^ des invariants. Et, pour cela, considerons d'abord les systemes tels que le suivant
dx\ i da dcci da
qui convient a la correspondance la plus generale par plans tangents paralleles entre deux surfaces : (Si), lieu du point (x { ,y^ 3,) et (A), lieu du point (a, &, c). Le systeme (33) s'en deduira en supposant
Parmi les elements ge'ometriques qu'il convient d'associer anx surfaces (A) et (Si), nous signalerons en premier lieu le suivant.
Par les differents points de 1'une des surfaces, de (S,) par e\emple, menons des paralleles aux rayons vecteurs correspondants de (A). Ces droites engendrent une congruence (G). Nous savons deja (n 426) que les developpables de cette congruence correspondent aux courbes du systeme conjugue commun. Au reste,on le verifieimme'diatementcommeil suit. Les deuxpointsF, F< , definis par les formules
Z = Z\ AC, ( Zj = Z\ (J.C,
sont evidemment situes sur la droite de la congruence; et ils decrivent, le premier lorsque a varie seul, le second lorsque (3 varie seul, des courbes tangentes a cette droite. Ges deux points F, F, sont done les points focaux situe*s sur la droite de la congruence; etles developpables de cette congruence correspondent aux courbes de parametres a et p. De plus, si M< de*signe le pied (^i? y\i ^0^ e ^ a droite sur (Si), on a, cTapres les formules prece*dentes,
LES DOUZE SURFACES. Gl
Par suite si, comme il arrive dans les formules (33), on a }, = p., le point A!* sera le milieu du segment FF i el la surface (S i ) sera ce que nous avons appele (n 260) la surface moyenne de la congruence (G).
On pourrait substituer a la congruence (G) la congruence (G''i formee par les droites qui joignent les points correspondants de (A) et de (S< ). Le lecteur demonirera aisement que les points focaux de chaque droite de cette congruence divisent Harmon iquement le segment forme* par ces points correspondants. Getlr proposition comprend meme la prec^dente comme cas particulier : il suffit de supposer que la surface (A) grandisse indefiniment en demeurant homothetique a elte-meme.
891. Revenons a la congruence (G). Si 1'on remarque que le rayon vecteur de (A) est parallele a la normale au point correspondant de (S), on voit que la congruence est susceptible d'unr nouvelle definition : elle est engendree par nne parallele a la normale en un point quelconque de (S), cette parallele etant menee par le point correspondant de (S{). Les resultats precedent peuvent done s'enoncer comme il suit :
Si deux surfaces (S) et (84 ) se correspondent avec orthogunalite des elements lineaires, la droite menee par im point de Vune (S< ) 7 parallelemenl a la normale au point correspondant de V autre (S), engendre line congruence dontles developpablex correspondent aitx Lignes asymptotiques de (S) et dont la surface moyenne est la surface (S< ).
En d'autres termes, la representation spherique des developpables de la congruence est identique a celle des lignes asymptotiques de la surface (S) ; et : par suite, les plans focaux relatifs a chaque droite de la congruence sont perpendiculaires aux tangentes asymptotiques de la surface (S), construites pour le point de (S) qui correspond a cette droite de la congruence.
C'est la proposition de Ribaucour, deja demontree par la Ge'ometrie au n 861.
892. On voit que les developpables de la congruence (G) inter-
(h LiVRE VIII. CHAPITRE III.
ceptent sur la surface moyenne (S<) le reseau forme des courbes de parametres a el 4 S, c'est-a-dire un reseau conjugue. Proposonsnous, a\ec M. Cosserat ('), de definir toutes les congruences rectilii;nes jouissant de cette proprigte. Cherchons meme d'une mamere plus generale, avec M. Kcenigs, toutes les congruences dont les developpables interceplent sur deux surfaces (S) et (T) des reseaux eonjngues et qui sont telles en outre que les points focaiix de chaque droite divisent harmoniquement le segment de cetle droite compris entre les deux surfaces (S) et (T). 11 suffira ensuite de supposer que la surface (T) se reduit au plan de 1'infini pour obtenir les congruences plus particulieres que nous avons
en \ue.
Or, nous avons deja consicle're les congruences don ties developpables interceptent sur deux surfaces (S)et(T) un reseau conjugug et nous avons vu (n 422) que, si Ton designe par a et [3 les parametres des developpables, les coordonnees homogenes #, y, 5, l et a, 6, c, h des points M et P ou la droite de la congruence coupe (S) et (T) peuvent etre choisies de maniere a satisfaire a des equations de la forme
da
dy , db
dy. da
dz , dc
dy. dy.
dt , dh
dx dy
dz dff dt
da
dc
1 d% " ' dh
II est clair ici que les points focaux de la droite MP sont definis par des equations telles que ies suivantes
et correspondent, le premier aux developpables de parametre p, le second a celies de parametre a. Par consequent, le rapport
(*) COSSERAT (E.), Sur les congruences de droites et sur la the'orie des surfaces (Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, p. N.I; 1893).
anharmonique des deux points focaux et des points M et P sera egal au quotient de X par p.. Done, pour que ce rapport soit egal a i, il faudrait que Ton ait
Des lors, les equations ponctuelles relatives aux syst ernes conjugues traces sin* (S) et sur (T) seront a invariants egaux, puisqu'on obtiendrait ces equations en eliminant, soit 37, soit a entre les deux suivantes
, , x dx . da dx , da
La question que nous nous proposions est ainsi completement resolue.
Pour revenir an cas particulier ou (T) se re'duit au plan de 1'in-
fini, il faut fa ire
alors les deux dernieres formules (38) et (3g) donnent
t = const.
On pent prendre t = i ; alors les equations (38) et (89), ou x, y, z deviennent les coordonnees ordinaires, et ou Pon a p A, reproduisentle systeme (7). On obtient done la proposition suivanle due a M. Cosserat (M :
Les congruences dont les developpables decoupent sur la surface moyenne(Si) un reseau conjugue ont mme representation spherique de leurs developpables que les lignes asymplotiques d'une autre surface (S) qui correspond a la surface moyenne avec orthogonalite des elements lineaires.
893. On pent, sans avoir recours a une congruence auxilialre, indiquer d'autres proprietes caracteristiques du systeme (33). Designons par M i et par A deux points correspondants sur les
( J ) Pour la generalisation que nous en avons donne*e, on pourra consulter une Note de M. KoENias*: Sur les systemes conjugues a invariants egaux (Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. CX1II, p. 1022; 1891).
surfaces (S 4 ) et (A). Soient (fig. 82) M, 1, M< u les tangentes aux courbes de parametres a et p sur (S^; A*', A^ les tangentes aux courbes correspondantes de (A), tangentes necessairement paralleles aux premieres. A une direction arbitraire M 4 h de la premiere surface correspondra non plus la direction parallel e A k' de la se-
Fig. 82.
conde, mais la conjuguee harmonique A A 7 de cette direction par rapport aux deux tangentes Az', Az/; de sorte que, a deux directions Mi A, Mi A", divisant harmoniquement Tangle des tangentes M^, Mi/, correspondent, mais en sens inverse, deux directions paralleles dela seconde surface.
Analytiquement, cette propriete correspond a la transformation suivante que 1'on pent faire subir au systeme (7). Ecrivons-le comme il suit
dxi dx { I
dx d$ \
da da -- n
dot, d
f da da\ co 2 ( m - h n -r~ - \ dy. d$J
En prenant comme nouvelles variables les parametres des deux families de courbes definies par la double equation differentielle
on lui donnera la forme (40 ^1 =
da
dont Interpretation geometrique fournit la proposition deja obtenue.
894. Cette proposition comprend comme cas particulier la suivante :
Les lignes asymptotiqaes de Vune quelconque des surfaces (A) et (S,) correspondent a un systeme conjugue trace sur I'autre surface,
que Ton peut verifier comme il suit. Ecrivons Inequation differentielle des lignes asymptotiques. Si Ton pose, pour abreger,
da da d^a \ 5a dS
da da
et, si Ton tient compte du systeme (7), on trouvera que les lignes asymptotiques de (A) sont definies par Tequation differentielle
et celles de (Si) par la suivante (44) L<fa*
et de ce resultat analytique decoule la proposition annoncee. En effet, sur une surface qnelconque ou les coordonnees d'un point seraient des fonctions de a et de (3, les equations (43) et (44) d^finissent deux reseaux de courbes telles que les tangentes aux courbes du premier divisent harmoniquement Tangle des tangentes aux courbes du second. Nous rencontrerons souvent cette relation dans la suite de ce Chapitre et nous dirons cp.i'alors les reseaux se^divisent harmoniquement. Par exemple, un reseau conjugue divise harmoniquement le reseau des asymptotiques et vice versa. Si les equations precedentes sont privies du terme en dadfi, c'est que les asymptotiques divisent harmoniquement le reseau conjugue forme des courbes de param&tres a et (3.
D'apres cela, considerons les trois reseaux delinis par les equations
