III
Sur chaque surface ces trois reseaux se divisent harmoniquement. Sur la surface (S) le premier est forme des lignes asymptotiquesj les deux autres sont conjugues. Sur la surface (S,) le systeme it donne les lignes asymptoliques; I et III definissent des reseaux conjugues. Enfin, sur la surface (A) les systemes I et II sont conjugues, le systeme III est compose" des lignes asymptoliques.
895. Pour obtenir des rSsullals plus complets encore/ nous sommes conduit a adjoindre aux qualre surfaces (S), (S,), (S), i A) deux nouvelles surfaces (S 4 ) et (A, ) qti'on definira de la mamere suivante.
La relation entre (S) et (S,) etant parfaitement reciproque, on pent faire corresponds au systeme (5) le suivant
bi dz,
dyi = a\ dz Ci dx^ dz\ = b\ dec #1 dy,
que Ton en deduira par 1'echange de x\, y\ , z\ en ^?, y, z. D'apres cela, si Ton introduit, comme au n 885, les nouvelles variables definies par les formules
X 1? Y i} Z { seront les coordonnees d'un point P i decrivant une surface (S^ dont la relation a (S { ) sera la me'me que celle de (S) a (S). C'est-a-dire que (S { ) et (Si) seront les deux surfaces focales de la congruence engendree par la droite qni joint leurs points correspondants; a tout systeme conjugue trace sur (S^) correspondra un systeme conjugue' sur (S<); et, de plus, les Equations (46) nous donneront par la differentiation les suivantes
d'ou Ton deduit
(4) ^Xi dai-+- dYi db^-^r dZi dc^ = o.
Ainsi la surface (S 4 ) correspond a la surface ( A< ) avec orthogonalite des elements lineaires. Remarquons que, si Ton echange (S) et (S^, il faut, pour conserver les relations geometriques, echanger (S) et (S<), (A) et (A<).
896. Mais les surfaces (A) et (A 4 ) sont liees par une relation geometrique des plus remarquables. Elles sont polaires reciproques rune de I'autre par rapport a la sphere de rayon Y' i ay ant pour centre Vorigine des coordonnees.
Si Ton porte, en effet, les ^ 7 aleurs de dx^ dy^ dz\ tirees des formulas (4^) dans les Equations (5) en tenant compte de la relation evidente
a dx +- b dy -h c dz = o, il vient
({9) aai +- bbi-+-
D'autre part, si ; dans la relation
<%i dx -4- b\ dyi -}- GI dzi = o,
on remplace les derivees de .2^, y^ z { par leurs valeurs deduites du systeme (7), il vient
da , db dc da , db dc
d'ou Ton deduit
(5o) a-i da -4- b db -+- GJ dc = o.
Cette relation differentielle, rapprochee de requatioii (4g), acheve de demontrer la proposition que nous avons enoncee. Remarquons d'ailleurs que, les deux surfaces (A) et (Aj) 6tant polaires reciproques 1'une de Tautre, il y a correspondance entre feur*s lignes asymptotiques et leurs reseaux conjitgues.
La relation entre les surfaces (A) et (A { ) se deduit encore tres simplement des remarques suivantes.
En vertu de la relation d'orthogonalit6
dx dxi 4- dy dy t + dz dz^ = o,
il existe une droite (D) dont les coordonnees (n 139) sont d&i, dyi, dzij dx, dy, dz,
gg LIVRE VIII. CHAPITRE III.
et les formules (5) expriment que cette droite passe par le point (0, b, c). Cette droite, ayant ses cosinus directeurs proportionnels a dx^ dy^ dz { , est necessairement tangente a la surface (A) dScrite par le point (a, b, c).
Pour le m^me motif, la droite (D { ) dont les coordonn^es som
doc, dy^ dz, <&?i, dy^ d&i,
est tangente a la surface (A<) lieu du point (a l5 b^ c^)- Et, comme les deux droites (D), (DO so nt polaires reciproques par rapport a la sphere de rayon i admettant pour centre Torigine des coordonnees, il doit en etre de mme des surfaces (A) et (AO-
897. Nous avonsd^jk six surfaces (S), (SO, (S), (^), (A), (A^). Mais nous pouvons continuer Tapplication de notre methode de deduction et nous allons obtenir six nouvelles surfaces.
La relation difFerentielle (i3) peut etre remplac^e par le systeme (12); mais elle peut Tetre aussi par le suivant
da = Z 3 dY Y 3 <^Z, db = X 3 d'L Z 3 <aX,
ou X 3 , Y 3 , Z 3 designent des fonctions auxiliaires, et qui est nouveau, Operant comme au n 885, on introduira les fonctions
qui conduisent a la nouvelle relation
( 53) da 3 ^X 3 -h db z ^a-H dc z d1 z = o,
tout a fait semblable a celles, (i 3) et (48), qui ont te deja deduites de la relation fondamentale (3). Mais ici il se presente une circonstance nou^elle : on peut obtenir algebriquement les valeurs de X 3) Y 3 , Z 3 et, par suite, celles de <z a , b^ c 3 . On deduit, en effet, du systeme (5i), la relation
(54) X 3 da -4- Y 3 db -H Z 3 dc = o,
et, si on la compare a liquation (5o), on voitque X 3 , Y 3 , Z 3 sont proportionnels a a 4j b^ c { .
D'autre part, de me*me que la comparaison des systemes (5) el (45) nous avait montre que (A), (A,) sont polaires reciproques, de meme la comparaison des systemes toutsemblables (12) et (5i) nous montre que la surface (S 3 ) lieu du point (X 3 , Y 3 , Z 3 ) et la surface (S<) sont aussi polaires reciproques . On a done
(55) X 3 a7j4- YsjKi-t-Zs^-t-i = o;
et, comme X 3 , Y 3? Z 3 sont proportionnels a a { , b^ c i? on a
Portant ces valeurs dans les formules (5a), on trouve
On a done deux nouvelles surfaces, (S 3 ), deja definie, et (A 3 ), lieu du point (a 3 , 6 3 , c 3 ), qui se correspondent encore avec orthogonalite des elements lin^aires, en vertu de la formule (53).
Les formules analogues
< Do ) - = -7- = =
be ax ->r by -T- cz
definiront de me*me deux nouvelles surfaces (A 2 ) et (So)? donnant naissance aux systemes
(60) < db = X 2 cLTLi Z 2 6?Xi, (61)
r a$= &i ZaYi-4-YoZi, * t> 2 = bi XgZj-i-ZoXi,
g Zj
et a la nouvelle relation 63 ) & 2 ^X 2
On peut continuer encore et remplacer cette relation par le
s\steme
qu
i conduit a introduire les nouvelles variables
etdonne deux nouvelles surfaces, (S 2 ), lieu du point (^ 2? j 2j ^ et (S a ), Heu du point (# 8 ,^3, ^s)- La differentiation donne encore
dy*
et, de la, on deduit la nouvelle relation ( 67 i flfoa
Mais ici il faut s'arreter. Le cycle est ferme. Si Ton calcule, par un precede analogue a ceux qui ont ete employes, les valeurs de 3? on a
( } %i yi JSi x y z
de sorte que ces equations ne changent pas si Ton echange les indices 2 et 3, o et i. Par suite, si Ton voulait continuer 1'application de notre methode a la relation (53), on retrouverait les deux surfaces (So) et (S 3 ).
On verifiera aisement les relations
toutes pareilles au systeme (66).
Ainsi se trouve constitue 1'ensemble des douze surfaces
IS), (SO, (2), (A), (St), ( Al ), (S 8 ), (A,), (2 2 ), (A,), (S 2 ), (S 3 ), que nous avions annonce. On pent les grouper comme il suit :
Couples de surfaces qui se correspondent point par point.
i a vec orthogonal ite -2 par plans des tangents
elements
lineaires.
paralleles.
(Sj);
