OM / 1 OP = A

En d'autres termes, M 7 sera le pole, par rapport a la sphere de rayon k 7 du plan mene par le point M perpendiculairement au rayon vecteur OM^ et de meme M*, sera le pole du plan mene par M! perpendiculairement au rayon vecteur OM.

Voici maintenant quelle est la propriete fondamentale de la transformation. Associons au couple M, M< un second couple N, NI axiquel correspondront les deux points N', N^ ; on aura la relation geometrique

OM ON OMt ON t cosMOMj cosNONi

Si I'on ddsigne, en effet, par \, /), ?; ? -/,,, ;, ; ?, ^ ?;

TRANSFORMATIONS DIVERSES. 8l

'. , 7/r T, les coordonnees des points N, N j? N', N, cette relation geometrique se traduit par Fegalile

J , . Crr

dont la verification se fait presque immediatement. II suit de la que, si les deux segments MM i5 NN< sont tels que MN soil perpendiculaire a M 4 ]NV, il en sera de meme pour les segments transformes.

Si Ton suppose que le segment NN\ soit infiniment voisin de MM i, en posant \ = x-\- dx, . . . , $, x\ + dx { , . . . , precedente nous donnera

et Ton reconnait ainsi que Finversion composee conserve toute correspondance entre deux surfaces qui a lieu avec orthogonalite des elements lineaires infiniment petits.

90-4. Les resultats que nous avons etablis relativement aux donze surfaces nous rev^lent encore une propriete remarquable de Tinversion composee. D'apres la troisieme colonne du Tableau de la page 7 1 on voit que la surface (S 2 ) est lapolaire reciproque de la surface (S). Or nous avons tabli (n 886) que 1'on saura resoudre par des quadratures le probl<hne de la deformation infiniment petite pour (S) des qu'on saura resoudre ce prol)leme pour (S) ; (S^) etant la polaire r^ciproque de (S), on peut done enoncer la proposition suivante :

Des qu'on salt resoudre le probleme de la deformation infiniment petite pour une siwface (S), on salt aussi le resoudre par de simples quadratures pour la surface (S 2 ) qui en derive si on applique V inversion composee au couple forme de (S) et de toute surface (S) qui lid correspond avec orthogonalite des elements lineaires infiniment petits.

90o. Revenant a Tensemble de nos douze surfaces, nous vojons D. IV. 6

g 2 LIVRE VIII. CHAPITRE IV.

qu'il resulte des propositions pnScedenles qne Ton saura r^soudre le probleme de la deformation infinimenl petite pour les quatre surfaces (S), (S), (S a ). (S), dont les lignes asymptotiques sonl formees par le r^seau I, des qu'on saura le resoudre pour Turn d'elles. La premiere de ces surfaces est d^finie par les formulei (i), [p. 49], ou 9 i? 9o, 9 3 sont trois solutions particulires de F equation (2) [p. 4g]- Pour obtenir la seconde (S), il faudrait nous 1'avons vu au n 886, remplacer 9 i? 9 2 , 9 3 respectivemen, Dar i,il, fi, eL Tequation a invariants egaux correspondant i

cette surface admettrait la solution - Un calcul facile montren de meme que, pour obtenir la polaire r^ciproque (S 2 ) de (S), i faudrait remplacer 6< , S 2 ? 9 3 par

el Fequation correspondante admettra la solution

Enfin, pour la surface (S 2 ), les nouvelles valeurs de 9 H , 8 2 , seraient - X<d ff Yco Zco

et 1'equation correspondante admettrait la solution