DJ

("es resuliats sont resumes dans le Tableau suivant :

e,a?-i- 6^ + 8,5 Xw

Ti w

Yw

Zco

Les quatre Equations a invariants egaux qui correspondent aux quatre surfaces peuvent etre integrees des que Ton a integre Tune d'elles. C'est ce qui r^sulte de F Analyse precdente et ce que Ton pourrait d^duire aussi du theoreme de M. Moutard. Mais, tandis que toute deformation infiniment petite de (S) donne sans aucune quadrature, comme nousl'avons vu, une deformation infiniment petite de la polaire r^ciproque (S 2 ), il faudra, au contraire, eflectuer des quadratures pour trouver une deformation infiniment petite de Tune ou Fautre des deux surfaces (S), (S 2 ), polaires r^ciproques Tune de Pautre.

906. A la transformation homographique, a la transformation par polaires reciproques, a Tinversion compos^e on peut joindre encore une derniere transformation, celle qui est definie en prenant pour #, y, z, x\>>y\ , z\ des fonctions lineaires & coefficients constants de nouvelles variables x^ y r , s', x\, y\, z { , assujetties a la condition de reproduire, a un facteur constant pres, la forme

quadratique

dx dx i H- dy dy\->rdzdz^

c'est-a-dire a donner

dx dxi 4- dy dyi -H ds dsi = h ( dx' dx\ 4- dy' dy\ H- dz r dz\ ).

Le lecteur, familiarise avec cette th^orie, reconnaitra sans peine que pour obtenir, de la maniere la plus gen^rale, de telles transformations il suffira de soumettre 9 i9 2 , 6 3 , co a la transformation lin^aire et homogne la plus generate, c 7 est-a-dire de poser

hi, ki, It, nn d^signant des constantes quelconques. La surface (S 7 ) qui correspond ainsi a (S) aura sa deformation infiniraent petite dependante de la meme equation aux derivees partielles que la surface (S). Cette transformation generate, dont nous ne dirons qu'un mot, comprend <videmment, comme cas particulier, celle que nous avons consider^ au n 900. Remarquons d'ailleurs

qu'elle correspond purement et simplement, d'apres les equations (6) du n 883, a une transformation homographique aussi generale que possible de la surface (A).

907. Nous n'insisterons pas davantage sur toutes ces transformations; il nous parait bon cependant de montrer quelle est la veritable origine de Finversion composee, et comment elle petit etre rattachee a quelques notions tres familieres aux geometres, relatives aux formes quadratiques dont les coefficients sont constants.

Etant donnees deux surfaces (S), (S<), lieux des points

On aura idenliquement

de sorte que, si les surfaces (S), (S<) se correspondent point par point avec orthogonalite des Elements Kneaires, les deux surfaces ^U), (Ui) ? lieuxdespointsa(i,Ti : ^),a / (i l3 r H ,j; i ) 3 sont applicables 1'une surl'autre. Cela pose, considerons la forme quadratique

. 3i) F = 4'-4- drp + dp- dft - dtfi - dft,

qui peut^tre mise sous la forme d'une somme de six carres :

Si Ton considere, dans Fespace a six dimensions, le point u.

dont les coordonn^es rectangulaires sont

il sera represente dans Fespace ordinaire, soit par le couple des points M, Mi , soit par celui des points a, a'. Or la forme F se reproduit lorsqu'on effectue, dans Fespace a six dimensions, un deplacement quelconque, c'est-a-dire lorsqu'on soumet |, r l7 ^ '5o 'Tii f "si a une substitution lin^aire orthogonale quelconque. Elle se reproduit m^me a un facteur constant pris si Ton combine

ce emplacement avec une transformation homotbe'tique arbitraire. Cela donne, dans Fespace a trois dimensions, la transformation du numero precedent et Ton voit que la forme F ne cessera pas d'etre nulle, apres cette transformation, si elle Fetait auparavant. Ainsi se trouvent <tablis les re*sultats des n os 900 et 906.

Mais la forme F se reproduit aussi, a un facteur pres, lorsqu'on soumet les mmes variables , Y\, ... a une inversion; c'est-a-dire lorsqu'on efFectue une substitution de la forme

Si done elle e*tait deja nulle, elle ne cessera pas de Petre. Par suite, la transformation definie par les formules prece*dentes transforme un couple de surfaces applicables en un autre couple de mme nature.

Si Ton prend partout le signe et si Ton introduit les variables x, y, z, x { , y\ , z\ , les formules precedentes deviennent

Ce sont celles que nous avons donnees au n 903 et qui conserventla propriety de deux surfaces de se correspondre avec ortbogonalite des elements Uneaires.

908. En terminant ce Ghapitre, nous montrerons que les formules precedentes comprennent, comme cas-limite, celles qui ont ete donnees au n 902.

Remarquons d'abord que, dans la forme

dx d&i -h dy dyi +- dz dz^

on peut toujours remplacer x { par ax^ et x par - - > a desi-

gnant une constante. Si Ton remplace en outre x 1 par x f a el A* 2 par a, les formules se pr^sentent sous la forme suivante

Faisant croitre a indefiniment, on trouvera