CHAPITRE V
Etude du cas particulier ou la surface (S a ), qui correspond a (S) avec orthogonalite des elements lineaires, se reduit a un plan. Ce que deviennent alors les douze surfaces. Application la question suivante : determiner toutes les congruences rectilignes pour lesquelles la surface moyenne est un plan. On determine, parmi ces congruences rectilignes, celles qui sont form6es des normales a une surface. fitude du probleme plus etendu : determiner toutes les surfaces pour lesquelles les d veloppables forme'es par les normales decoupent, sur la developpee moyenne, un re"seau conjugue. La solution de ce probleme se ramene a la determination de la deformation infiniment petite des surfaces minima. Cette determination se ramene d'ailleurs a 1'integration d'une Equation lineaire harmonique. C'est de la meme Equation aux derivees partielles que depend la determination des surfaces ayant m&me representation sphe*rique de leurs lignes de courbure que la surface minima adjointe a la proposed. Comment on retrouve les surfaces minima dans 1'etude de la deformation infiniment petite de la sphere. Developpement des calculs. Deformation infiniment petite d'une surface a courbure constante negative. L'une des douze surfaces devient alors une de ces surfaces, considerees en premier lieu par M. Voss, et sur lesquelles il y a un reseau conjugue exclusivement compose de lignes geodesiques. fitude des developpantes de ces surfaces. Elles constituent Tune des nappes d'une congruence rectiligne pour laquelle les developpables correspondent aux lignes de courbure sur les deux nappes de la surface focale. Demonstration geometrique des tbeoremes de M. Guichard, relatifs a ces surfaces. Le Chapitre se termine par la demonstration d'un lemme dont il a ete fait usage dans la demonstration precedente, et qui est susceptible de nombreuses applications a la tbeorie des congruences rectilignes.
909. Nous avons ddja signal^ plus haul une solution evidente du probleme des elements rectangulaires : c'est celle ou, la surface (S) etant quelconque, la surface (S<) est un plan. II est interessant de rechercher ce que deviennent, dans ce cas special, les douze surfaces de"finies au Chapitre pr<$cdent. On a alors
gg LIVRE VUI. CHAPITRE V.
a*, b Q , c Q ] a { , b { , d designant six constantes quelconques. D'apres nos tableaux et nos formules, on reconnait sans peine que les quatre surfaces (S,), (A), (S 3 ) 7 (A 2 ) se reduisent a des plans, tandis que leurs polaires reeiproques, ]es surfaces (S 4 ), (A,), (S 3 ), (A 3 ), se reduisent a des points. II reste done a examiner seulement les trois surfaces (S), (So), (S a ) qui, avec (S), competent le systerae cherche. Or, la surface (S) est, en general, 1'enveloppe du plan defini par 1'equation
qui devient ici
Le lecteur reconnait Tequation du plan forme* par toutes les droiies qui appartiennent a un complete lineaire, et passent par le point (x, y, z). La surface (S) est done la polaire reciproqne de (S) par rapport au complete lineaire defini par les six constantes # 0? 6 ? c o, a \i bi> c <- C'est un resultat qu'il etait aise de prevoir. Nous savons, en effet, que, dans le cas qui nous occupe, il ne s'agit pas (n 8S6) d'une veritable deformation de la surface (S), mais d'un simple de"placement d'ensemble de cette surface. Pour chacun de ses points, la directrice de la deformation devient la direction de la vitesse du point, dans ce deplacement, et le plan perpendiculaire a cette directrice, plan qui enveloppe la surface (S), n'est autre que le plan du complexe lineaire engendre par toutes les droites qui, dans le deplacement considere, sont normales a la vitesse d'un de leurs points. Ainsi se trouve confirmee la relation e"lablie par le calcul entre (S) et (S).
Quant aux surfaces (S 2 ) et (So), elles sont, d'apres le Tableau dela page 71, les polaires reeiproques de(S) et de(S) par rapport a la sphere de rayon i ayant Torigine pour centre. Cela suffit a les definir et a montrer qu'elles sont, entre elles, dans la mme relation dualistique que (S) et (S), pourvu que Ton substitue au complexe line*aire defini plus haut son polaire re*ciproque par rapport a la sphere de rayon i. Les surfaces (S) et (So) sont evidemmenten relation homographiquepuisqu'elles sont les polaires reeiproques d'une mme surface (S) Tune par rapport a un com-
plexe lineaire, 1'aulre relativement a une sphere. La mme remarque s'applique aux surfaces (S), (S 2 ), qui sont les polaires reciproques de (S).
Cette solution tout except! onnelle du probleme propose s'oblient en prenant pour to dans les formules (C) [p. a5] une combinaison lineaire a coefficients constants des solutions particulieres 6 QJ 9a * savoir
(3) to = arfi 6,82 Ms-
Si le lecteur voulait en de"duire des couples de surfaces applicables conform 6inent a la methode du n 854, il reconnaitrait aise*ment qu'on obtient seulement ainsi deux positions differentes d'une m^me surface ou deux surfaces symetriques. On peut rattacher cette remarque a un beau theoreme de Ghasles relatif au solide milieu dans le deplacement fini d'une figure invariable quelconque. Dans un article publi en 1 83 1 ( { ), 1'illustre geometre enonce la proposition suivante :
Quand on a dans Vespace deux corps parfaitement egaux, et places d } une maniere quelconque, si Von joint par des droites les points da premier aux points homologues du second, les points milieux de ces droites formeront un second corps solide qui sera tel qu'on pourra lui donner un mouvement injiniment petit dans lequel tons ses points se dirigeraient sidvant ces memes droites ( 2 ).
II suffit evidemment d'appliquer cette proposition au cas ou les deux corps gaux se reduiraient a des surfaces egales pour retrouver le cas particulier de la deformation infiniment petite etudiee au commencement de ce numero.
( J ) CHASLES, Note sur les proprietes generates du systeme de deux corps semblables entre eux, et places d'une maniere quelconque dans Vespace et sur le deplacement fini ou infiniment petit d f un corps solide libre; communiquee & la Society Philomathique, stance du 5 fevrienSSi (Bulletin de Fe'russac 3 t. XIV, p. 32i-3a6).
( 3 ) Si les deux corps dont il est question dans le the*oreme de Chasles, au lieu d'etre parfaitement e"gaux, ^taient symetriques } le solide milieu se reduirait & un plan.
q LIVRE V1IJ. CHAPITRE V.
910. Ce cas particulier que nous venons de considerer intervient de la maniere la plus simple dans la solution de la question suivante :
Determiner toutes les congruences rectilignes pour lesquelles la surface moyenne est unplan.
Si, en effet, la surface moyenne est un plan, le re*seau inlercepte sur ce plan par les de"veloppables de la congruence est ncessairement conjugu, comme tous les reseaux plans, et il n'y a plus qu'a appliquer la proposition generate des n os 891 et 892 en supposant seulement que la surface (S< ) se reduise a un plan (P).
Acet effet, on prendra arbitrairement la surface (S), et Ton adjoindra au plan (P) une droite fixe (d) perpendiculaire a ce plan. On fera tourner la surface (S) de 90 autour de (d] ; puis on projettera tous ses points sur le plan (P). A chaque point M de la surface primitive (S) correspondra ainsi un point M' du plan(P). La correspondance etablie par cette construction sera e*videmment telle qu'a tout element lineaire de (S) corresponde un elment line'aire orthogonal de (P), et 1'on reconnaitra sans peine qu'elle devient la plus generate de toutes celles qui satisfont a cetle condition, si, dans la construction, on substitue a (S) une de ses homothe'tiques par rapport au pied de la droite (d) sur le plan (P).
Si Ton applique maintenant aTensemble des deux surfaces (S) et (P) la proposition du n 892, on voit que, pour obtenir la congruence cherchee, il suffira de mener par chaque point M' du plan (P) une droite qui soit parallele a la normale mene en M a la surface (S). On peut aj outer que, d'aprs la proposition gne*rale indique au n 891, les plans focaux de cette droite de la congruence seront perpendiculaires aux tangentes asymptotiques relatives au point correspondant de la surface (S) ( 1 ).
.911. Cetle solution generate du probleme pose nous conduit
(') Cette construction a e"t6 donne par M. C. GUICHARD dans une Note : Sur /w congruences dont la surface moyenne est un plan, inse're'e en 1892 au tome CXIV des Comptes rendus, p. 729. M. Guichard dit aussi quelques mots du cas ou les droites de la congruence sont les normales d'une surface.
a examiner le cas particulier ou Ton exige, non seulement que la surface mojenne soil un plan, mais aussi que la congruence soil formee des normales a une surface. D'apres la construction precedente des plans focaux, il sera n^cessaire et suffisanl qu'en chaque point de (S) les tangentes asymptotiques soient rectangulaires, c'est-a-dire que (S) soit une surface minima.
Ainsi, pour obtenir toutes les congruences de normales dans iesquelles la surface moyenne est un plan, il suffira d'etablir, comme on Va indiqueplus haut, une correspondance avec orthogonalite des elements entre une surface minima quelconque et un plan, puis de mener, par chaque point duplan, une dj^oite parallele a la normale au point correspondant de la surface minima.
912. Plus g^n^ralement, proposons-nous le probl&me suivant : Determiner toutes les surfaces pour Iesquelles les developpables formees par les normales decoupent sur la developpe moyenne un reseau conjugue. Nous donnons ici le nom de developp&e moyenne a la surface d^crite par le milieu du segment forme sur chaque normale par les deux centres de courbure. Nous allons voir que la solution de cette question est liee a 1'etude de la deformation infiniment petite des surfaces minima.
Reportons-nous, en eflPet, a la construction donnee au n 891, et qui nous fait connaitre toutes les congruences pour Iesquelles les d^veloppables decoupent sur la surface moyenne un reseau conjugue. Pour que ces congruences soient formees de normales, c'est-a-dire pour que les plans focaux de chaque droite soient rectangulaires, il sera necessaire et suffisant qu'en chaque point de (S) les tangentes asymptotiques soient rectangulaires, c'esta-dire que (S) soit une surface minima. Ainsi :
Pour obtenir la congruence de normales la plus generale dans laquelle les developpables decoupent sur la surface moyenne un reseau conjugue, il suffira de determiner la surface la plus generale (S<) qui correspond avec orthogonalite des elements lineaires a une surf ace minima quelconque; puis de mener par chaque point de (S<) une parallele & la normale au point correspondant de (S).
913. Cela nous amene a dire quelques mots du probleme de la deformation infmiment petite des surfaces minima.
En nous reportant au n 20o, nous reconnaitrons aisement que, si Ton prend les equations qui definissent une surface minima sous la forme suivante :
la?=i I " TT/ I du i I - v/ * dv,
~li\ ^r,dll 211 -y,dv.
U, V designant des fonctions de u et de 9 respectivement, liquation differentielle des lignes asymptotiques prendra la forme
(5) du* dv* = o.
Les cosinus directeurs de la normale seront ici
U4-V , .V-U i UV
* ) C ~~ T i TTV* C * T i TTV J C
UV"
Si, au lieu d'introduire les parametres
des deux families de lignes asymptotiques, on conserve les variables uel 9) les trois fonctions 9<, 6 2 > 83 conside"rees au n 870 auront les expressions suivantes
et elles satisferont a 1'equation aux derivees partielles
du* dv*
qui remplacera Tequation (19} du n 870, et qui est celle qu'ii faudra integrer si Ton vent re"soudre le probleme de la de"formation infmiment petite de la surface minima. Or, cette Equation
APPLICATIONS DIVERSES. g3
appartient au type de celles que nous avons nominees harmoniques[I1, p. 198]. Ainsi :
La determination de la deformation infiniment petite d'une surface minima quelconque se ramene cc I' integration de V equation lin&aire harmonique la plus generate.
L'etude des equations harmoniques a ete faite au Livre IV, Chap. IX. Nous n'y reviendrons pas id.
Revenant au probleme du numero precedent, nous nous contenterons seulement d'indiquer comment on determine les surfaces normales aux droites dechacunedes congruences obtenues.
Si Ton pose
do)
on aura
et Ton reconnaitra ais^ment que 84 est encore une solution particuliere de 1'equation (9). Gela posd, la surface normale aux droites de la congruence sera definie par les formules
AD
ou Ton a
Jes coordonnees &t, y [: z\ de la surface (Si) etant d^finies par Jes formules analogues
Si Ton vent que la surface moyenne (S^ serMuise a un plan, on
pourra prendre
h designant une constante quelconque.
914. Dans le cas qui nous occupe, il y a lieu de signaler une proprieteinteressante du groupe des douze surfaces. D'apres la proposition generale qui a 6le etablie au n 895, la surface que nous avons designee par (A,) est la polaire reciproque de la surface (A) par rapport a la sphere de rayon i admettant pour centre Porigine des coordonnees; et elle est, par suite, Penveloppe du plan dont Pequation est
3 Z-hti) = o.
Elle correspond a la surface minima (S) avec parallelisme des plans tangents, et nous savons, de plus, que les lignes asymptotiques de (S) correspondent a un reseau conjugue* de (A<) (n897). Cela pose, introduisons la surface minima (S') qui est Padjointe de (S) (n 210). D'apres les relations 6tablies entre (S) et (S'), nous voyons que la correspondance entre (S ; ) et(A 4 ) aura lieu avec parallelisme des plans tangents et, de plus, que les lignes de courbure de (S 7 ) [correspondant, nous Pavons vu, aux lignes asymptotiques de (S)] correspondront a un reseau conjugue de (A|). Nous concluons de la que le reseau conjugue commun a (S') et a (A 4 ) sera forme des lignes de courbure de ce$ deux surfaces, et qu'elles auront Vune et Vautre la m&me representation spherique de leurs lignes de courbure. Ainsi :
Chaque solution duprobleme de la deformation injiniment petite d'une surface minima fait connattre une surface ay ant meme representation spherique que la surface minima adjointe et vice versa.
Ces deux problernes : deformation infiniment petite d'une surface minima, determination des surfaces ayantmme representation spherique de leurs lignes de courbure que Padjointe a la surface minima, se ramenent Pun a Pautre, et dependent de la meme Equation line*aireharmonique. Le lectenr etablira aisement ce resultat par Panalyse en remarquant que a=w^-petpr=^^ 9 sont les parametresdes lignes de courbure de Padjointe, et appli-
quant a ce cas particulier la solution du probleine de la representation sphrique indiquee au n 162.
9Io. On retrouve encore les surfaces minima en etudiant une autre application particuliere de nos propositions generales.
Supposons que la surface (S) soit une sphere definie par Pequation
(17) a ? 2 + iy s +3 ==[>
et reportons-nous a nos Tableaux [p. 71].
La surface (So) polaire reciproque de (S) sera aussi une sphere, identique a la premiere; etles deux points homologues de (S) et de (S 2 ) seront diametralement opposes.
Les surfaces (S i ) et(A 2 ) qui correspondent aux deux spheres avec orthogonality des elements lineaires seront (n 863) les sw*faces moyennes de deux congruences isotropes.
Pour indiquer ce que sont les huit autres surfaces, remarquons que, le systeme I etant form6 des lignes de longueur nulle de (S) et de (S 2 ), les reseaux II et III qui lui sont harmoniques sont formes n^cessairement, sur chacune de ces spheres, de lignes orthogonales. Ces deux reseaux auront leurs invariants ponctuels (ou tangentiels, ce qui est la mme chose dans le cas de la sphere et de toute surface du second degre) egaux; et, comme ils sont harmoniques 1'un a Pautre, les courbes appartenant a Tun d'eux bissecteront en chaque point Tangle forni6 paries courbes appartenant a 1' autre.
Comme la sphere (S) et la surface (A*) se correspondent par plans tangents parall&les, le systeme II, qui est conjugue sur ces deux surfaces, sera n^cessairement formd, sur (A<), des lignes de courbure ; et comme, sur (A< ) et sur (S), les tangentes aux courbes du systeme I sont paralleles aux points correspondants des deux surfaces ('), il en resulte que, sur (A<), le sjsteme I sera n6ces-
(*) En general, si Ton choisit parmi les douze surfaces deux quelconques de celles qui se correspondent par plans tangents paralleles, nous avons vu au n 893 qu'en des points correspondants de ces deux surfaces les courbes de Tun quelconque des reseaux I, II, III ont leurs tangentes paralleles. Seulement, tandis que, pour Tun d'eux qui est le re*seau conjugu commun, les courbes cor-
<ji; LIVRE VIII. CHAPITRE V.
sairement forme des lignes de longueur nulle. Ce sjsteme etant conjugue, (A 4 ) sera line surface minima; et la relation entre (A,) et (S) sera telle que les lignes de longueur nulle se correspondront sur les deux surfaces, les lignes asymptotiques de (A<) correspondant a un systeme rectangulaire de (S). Nous retrouvons les proprietes essentielles relatives a la representation spherique des surfaces minima.
Le raisonnement precedent s'applique a (S< ), qui derive de (So) comme (A,) de (S). Les deux surfaces minima (A^), (S,) se correspondent avec parallelisme des plans tangents, similitude des elements infinimenl petits; les lignes asymptotiques de Tune correspondent aux lignes de courbure de Fautre. Cela resulte des Tableaux de la page 71. Nous verrons plus loin que ce sont deux surfaces adjoin tes Tune a Fautre.
La definition des autres surfaces ne presente plus aucune diffieulte.
La surface (S), associee a(S), et la surface (So), associe'e a(S 2 ), constituent les deux nappes des surfaces focales de deux congruences pour lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes. Par exemple, les lignes asymptotiques de (S) correspondent aux generatrices rectilignes de la sphere (S).
Les surfaces (A) et(S 3 ) sont, d'apres les Tableaux, des polaires re*ciproques de surfaces minima. Enfin, les surfaces (S 3 ) et (A 3 ) sont les polaires reciproques des surfaces moyennes de deux congruences isotropes.
Sur toutes ces surfaces, on saura determiner les re'seaux 1, II, III par de simples quadratures.
Si Fon associe la surface moyenne (S<) a la surface minima (S<), on voit qu'elles sont les deux nappes de la surface focale d'une congruence a lignes asymptotiques correspondantes. Ainsi, les lignes asymptotiques de la surface moyenne (S<) correspondent a eel les de la surface minima (S 4 ).
II ne reste plus qu'a donner les resultals des calculs.
respondaates admettent des tangentes paralleles; pour les deux autres, qui sonl formes des lignes asymptotiques sur 1'une ou sur 1'autre des deux surfaces, ce sont les tangentes aux courbes non correspondantes qui sont paralleles (n 08 893 tit 894 )
916. Les coordonnees x,y, z d'un point de la sphere (S) seront definies en fonction des parametres a et ji des lignes asymptotiques, c'est-a-dire des lignes de longueur nulle, par les formules si souvent employees
Les quantites 6 1? 8 2 , 9 3 qui figurent dans le Chapitre precedent et sont reliees aux cosinus directeurs de la normale par les formtiles (17) du Chapitre II, ou \ est determine par liquation (27) du rneme Chapitre, auront ici pour expressions
Elles satisferont, comme x,y^ s, a Tequation du second ordre (20)
Si on les porte dans les forniules de M. Lelieuvre, elles donneront naissance aux identiles
] tte a.tj. =i d JL,
Oz
dy
dx Oz __ ,f)y Z ~~ X ~ li
auxquelles on pent joiodre les suivantes, qui s'en deduisent immediatement par differentiation,
[ d JL d d Z d J =
dz dx dz dx
Remarquons encore que #,y, ^ sont des solutions particulieres D. IV. 7
t)8 LIVRE VIII. CHAPITRE V.
des deux equations
(ai) sF + iHh^- '
ce qui permel de simplifier les calculs.
917. Pour trouver la surface (Si) qui correspond a la sphere (S) avec orthogonalite des Elements line*aires, il faut d'abord integrer Tequation aux d6riveespartielles(2o). L'integrale g<ne>ale de cette equation est
'f(a)et^(|3)designantdeuxfonctionsarbitraires. Mais, afm q lle la surface (S,) soit relle lorsque <p et ty sont des fonctions imaginaires conjugates, nous prendrons pour la solution w du Chapilre II, ['expression suivante
Remarquons les deux relations identiques
auxquelles satisfait 8.
Les coordonnees ar,,^,, 5| de (S,) sont alors defmies par des quadratures telles que la suivante
quadratures que Ton effectue sans difficult.
Si 1'on pose
(20), solution que Ton
deduirait de 6 en y remplacant respectivement cp(a), ^(,3) par iztx) et i 4(3). On trouvera
. , dx
.So a 6
On a vu que (S,) est la surface moyenne d'une congruence isotrope (n 863). Les ^jians focaux de celte congruence seraient definis ici par les equations
Apres (S 4 ), toutes les autres sui^faces s'obliennent sans aucune quadrature. Les coordonnees , b, c d'un point de (A) ont pour expressions
La polaire r^ciproque (A< ) de (A) est definie par les formules
on, en developpant les calculs,
cp' cp -f-
Oil trouvera de meme ? pour les coordonnees d'un point de (S)
IOO
les expressions
et pour celles du point (X i? "\ i, Z, ) de ( S, )
on encore
''y ) ' -\' * ' l ff It
ces valeursse deduisantde celles dea i: Z? t) c\ ou Ton remplaeera f) par ff, c'est-a-dire y et | par /cp et /i.
On trouve ensuite, pour les autres surfaces, les formulas stiivantes
2? <^a *'* d$' -VO=- 7 6-. ? J- a 4-,
el
2*odr lib dx { x
011 Ton a pose
Signalons encore les identites (89) aar-i-^-i-csrsI,
qui permettent de simplifier les calculs.
918. Nous terminerons ce Chapitre, consacrd a des applications, en indiquant plusieurs propositions interessantes relatives an cas ou la surface fondamentale (S) a sa courbure constante et negative. Nous supposerons, comrae toujours, que cette courbure totale ait la valeur i. En changeant un peu les notations et designant par Q la fonction que nous appelions to au n 879, nous aurons I'equation aux derivees partielles
a et [3 designant toujours les parametres des lignes asymptotiques. Avec ces notations, Telement lin^aire de la surface serait defini par la formule
de"j rappelee au menie endroit.
Les cosinus directeurs 9 i} 6 2 , 63 de lanormale satisferont maintenant (n 879) a Peqnation aux de*rivees partielles
et si designe la solution la plus generate de cette derniere equa-
100 LIVRE VIII. CIIAPITRE V.
tion, c'est cette solution qu'il faudra substituer a to dans les formulas (C) [p. a5] pour obtenir la surface la plus generale qui correspond a (S) avec orthogonalite des elements lineaires.
Conside'rons ici encore la surface (A f ) qui correspond a (S) avec parallelism e des plans tangents aux points homologues. Cette surface est, nous 1'avons deja remarque, 1'enveloppe du plan defini par Tequation
tout a fait semblable a celle qui a ete indiquee au n 914.
Nous avons vu d'une maniere generale (n 897) que les lignes qui, sur (A,), correspondent aux lignes asymptotiques de (S) forment dans tous les cas un reseau conjugue' de (A,). Nous allons demontrer qu'ici ce reseau est entierement forme de lignes geodesiques.
En eflet, pour obtenir le point de (A i ), il faut adjoindre a liquation precedente ses deux derivees par rapport a a et a ^
} dx doc
On pent joindre a ces equations les suivantes, bien souvent
rappelees,
ou x designe le signe de Lame. Diflerentions la dernire par rapport a A 3; nous aurons
S^9i d2X fo d$*
La deuxieme somme est nulle ; on le reconnait imm^diatement en remplagant les derivees secondes de 9 i? 9 2 j 9 3 p9 r leurs valeurs deduites de liquation (4a). II reste done la relation
APPLICATIONS DIVERSES. t lo3
Celte relation, rapprochee de la derniere des equations (4^) ? montre que la droite dont les parametres directeurs sont
(Jce. dy. dz
est normale a deux tangentes consecutives de la courbe de parametre a tracee sur (A<). C'est done la normale auplan osculateur de cette courbe.
Mais, comme on a
(\^\ 0? -f- Go + 6? = i,
\-\tf iiOJ
et, par suite,
on reconnait immediatement, dans le cas. special qui nous occupe, que cette normale est parallele an plan tangent de (Aj). Done toute courbe de parametre a, tracee sur ( A. d ), est une ligne geodesique de (A 4 ).
Comme rien ne distingue les parametres a et ft, la demonstration s'applique aussi aux courbes de parametre ft.
919. Les surfaces qui jouissent de cette propriety d'admettre iin r^seau conjugue form6 de lignes g^odesiques ont ete considerees en premier lieu par M. Voss ( l ). On pourra consulter aussi sur ce sujet un important Me"moire de M. Guichard que nous avons ddja cit^ [p. 4o] et sur lequel nous reviendrons plus loin [p. io5],
Reciproquement, proposons-nous de determiner toutes les surfaces (V) jouissant de la propri^te precedente. Designons maintenant par a, ft les parametres du systeme conjugal form de lignes geod6siques et snpposons que 9 9 2 , 9 3 soient les cosinus directeurs de la normale a la surface. Alors on aura
(48) Q2-He: : -h^ = T ?
(' ) A. Voss, Ueber diejenigen Flachen, aufdenen zwei Schaaren geodatischcr Linien ein conjugates System bilden (Sitzungsbe7*ichte der K. Akademie zu Milnchen, mars [888).
et la surface cherchee sera Penveloppe d'un plan defini par un equation de la forme
(fy) OiX-HGaYH-OjZH-0 = o,
ou 0, 9,, fK, 9 3 sont des solutions particulieres d'une certaine equation aux de*rivees partielles
A, B, C designant des fonctions de a et de p. On aura toujours les relations
qui s'appliquent dans tous les cas.
Pour exprimer que la ligne de parametre a est geodesique, il iaut ecrire que la droite definie par les parametres directeurs
dfl,
droite qui est parallele au plan tangent et qui est normale a la tangente de la courbe, est aussi normale a la tangente consecutive, c'est-a-dire que Ton a
D'apres cela, differentions la derniere des relations (01) par rapport a p, on voit que la relation pre*ce*dente pourra ^tre remplacee par la suivante
S<ft 9j dX dy.d$ ~d$ w0>
ou } enremplagant^Ji et les deux d^riv^es analogues par leurs
valeurs deduites de 1'equation (5o) et tenant compte des relations pr^c^dentes
Le coefficient de B ne saurait etre nul ? puisque les courbes de parametre a ne sont pas des lignes asjmptotiques. On a done
En considerant de mme les courbes de parametre {3, on trou-
verait
Done QO 2 ? 83 salisfont a une Equation de la forme (53)
ce qui caracterise les cosinus directeurs d'une surface a courbure constante; et Ton retrouve la generation de la surface qui nous a servi de point de depart.
920. Dans le Memoire auquel nous avons fait allusion plus haut ('), M. Guichard a ajoutd auxresultats precedents une proposition elegante et nouvelle que Ton peut enoncer comine il suit:
Designons toujours les surfaces precedentes par la lettre (V), et considerons les developpantes (G) des surfaces (V), c'esta-dire les surfaces normales aux tangentes de Pune ou Tautre des deux families de lignes geodesiques composant le reseau conjugue de (V). Si, par chaque point d'une surface (G), on mene la parallele a la normale au point correspondant de la surface (V) d'ou elle est deduite, cette parallele, qui sera necessairement tangente a (G), engendrera une congruence jouissant des proprietes suivantes :
i Si nous appelons (G) et (G x ) les deux nappes de la surface focale, les dveloppables de la congruence correspondront a une ligne de courbure de (G) eta une ligne de courbure de (G 7 ); par suite, les lignes de courbure se correspondront sur (G) etsur(G'), de telle maniere que 1' arete de rebroussement de Tune des deve-
(*) G. GUICHARD, jRechercfies sur les surfaces a courbure to tale constante et sur certaines surfaces qui s'y rattachent (Annales de VEcole Normale superieure, 3 srie, t. VII, p. a33, aotit 1890).
, 5 LIVRE VIII. CIIAPITRE V.
loppables de la congruence soit toujours uue ligne de courbure de la surface qui la contient.
2 Les lignes de courbure de (G) et de (G') ou, ce qui est la merne chose, les developpables de la congruence correspondent aux geodesiques du systeme conjugue trace sur la surface (V).
3 Les surfaces (G) obtenues, comme nous 1'avons indique, au mo\en des surfaces (V) sont les plus generates qui jouissent de la premiere propriete; de sortequ'ilrevient au meme de chercher les surfaces (G) on les surfaces (V). On passe des unes aux autr.es par de simples constructions geome'triques.
M. Guichard a e"tabli ces propositions par le calcul; il sera plus instruclif de les demontrer par la Geometric, et de les rattacher a un theoreme general dont nous aurons a faire usage plus loin.
Voici quel est ce theoreme :
Quand les developpables se correspondent sur les congruences engendrees par deux droites par alleles (d ), (d^ ) : i fes plans focaux de (d) sont par alle les a ceux de (d { ) ; 2 les droites (3), (3 4 ) qui joignent les points focaux correspondents de (d) et de(d i ) se coupent en un point qui est celui ou le plan des deux droites (rf), (d { ) touche la surface (0) qu'il enveloppe; 3 les deux droites (8), (8^ sont conjuguees par rapport a la surface (0); et les courbes conjuguees qu'elles enveloppent correspondent aux deux families de developpables des congruences considerees.
Admettons cette proposition que nous demontrerons plus loin et appliquons-Ia de la maniere suivante :
Soient (G,) et (Go) deux surfaces admettant (V) pour developpee et dont les normales soient tangentes respectivement aux geodesiques des deux families conjuguees Irace'es sur (V). Soient M^ M 2 les deux points de (G<) et de (G 2 ) qni correspondent au mme point M de (V) et soient (d { \ (rf 2 ) les normales en M l} M 2 au plan MM i M 2 , normales qui sont respectivement des tangenles principales de (G<) et de (G 2 ). II est clair que les de\eloppables engendrees par les droites paralleles (d { ] et (rf 2 ) se correspondent, puisqu'elles correspondent, les unes et les autres, au systeme conjugue" trace sur (V); soient (G,), (G' 3 ) les deux
nappes focales de la congruence engendree par (a?,)et(G 2 ), (G,) les deux nappes focales de la congruence engendree par (d 2 ).
D'apres le theoreme precedent, (Gi), (G'^se correspondent par parallelisme des plans tangents. Or le systeme conjugue commun a ces deux surfaces, systeme evidernment forme des conrbes qui correspondent aux de'veloppables des congruences engendrees par les droites (d t ) et(rfo), est forme* sur (G { ) des lignes de courbure; il en sera done de meme sur (G'J, puisque, sur ces deux surfaces, les courbes du systeme conjugue' commun ont, achaque instant, leurs tangentes paralleles.
Done, sur les deux nappes focales ( G',), (Go) de la congruence engendree par (rf 2 ), les lignes decourburese correspondent et correspondent aux developpables de la congruence.
La demonstration s'etend e'videmment a la congruence engendree par la droite (rf, ),
921. Reciproquement, considerons une congruence engendree par une droite (rf), et pour laquelle les lignes de courbure des deux nappes focales correspondent aux developpables de la congruence. Soient (G^, (Go) les deux nappes d^crites par les points focanx de (d). Designons par (V|) et(V 2 ) celles des deux nappes des developpees des surfaces precedentes pour lesquelles le plan tangent est normal a (d). Le systeme conjugue' commun a (V { ) et (V 2 ) est evidemment celui qui correspond sur ces deux nappes aux lignes de courbure de (G< ) ou de (Go), c'est-a-dire aux developpables de la congruence. Or, ce systeme est forme, nous le savons (n 426), de deux families de courbes se correspondant avec parallelisme des tangentes; nous savons aussi que, des deux courbes correspondantes a une m^me ligne de courbure de (G<) ou de (G 2 ), Tune au moins est une developpee de ligne de courbure et, par suite, une geodesique de la surface sur laquelle elle est tracee. II en sera done de meme de 1'autre, puisque les tangentes aux points correspondants et, par suite, les plans osculateurs des deux courbes son t paralleles. Done les deux surfaces (Vf) et (V 2 ) admettront, Tune et 1'autre, un re'seau conjugu6 form^ de lignes geode'siques, et ainsi nos propositions se trouvent completement de'montre'es.
M) ^ LIVRE VIII. CHAPITKE V.
Elles donnent naissance a plusieurs consequences, tant analytiques que geometriques. 11 nous suffira d'avoir monlr comment on peut les rattacher a Fetude de la deformation infinimenl petite des surfaces a courbure constante.
Nous terminerons ce Chapitre en donnant la demonstration du ilieoreme sur lequel nous nous sommes appuye" plus haut, et meme d\me proposition plus gen^rale.
922. fitant donnee une surface (S), soient (C), (C 7 ) deux congruences rectilignes distinctes dont les developpables se correspondent et interceptent sur (S) un meme systeme conjugue. L'ensemble des deux congruences et de la surface (S) donne lieu aux remarques suivantes.
Fig. RJ.
Designonspar(S), (S<)les deux nappes locales de la congruence (C), par (S') ? (S',) celles de la congruence ((7). Soient p, un point quelconque de (S) ( fig. 84)*, [xa, pjj les deux courbes du systeme conjugue' qui se croisent en [JL; jjiMM[ 4 la droite de la congruence (G), dont les points focaux seront M, M< ; jxM'M^ la droite de la congruence (C 7 ), dont les points focaux seront M', M' r
Les nappes (S), (S') ? (S f ), (S' f ) seront decrites par les points
M, M r , M l? Mj. On peut toujours supposer que les nappes (S), (S') soient celles dont les plans tangents en M, M' se coupent suivant la tangente [x t a la coiirbe jxa et alors les plans tangents en Mj , M' aux nappes (S d ), (S',) se couperont sutvant la tangente pn a la courbe up. Cela pos, nous aliens demontrer que ie plan des deux droites jx M, uM' louche sonenveloppe (E) au point de rencontre </<? flfew.r droites MM', M 1 M / i ; g^<? ces afew,r droites sont des tangentes conjuguees dfe(E); et en/in que les courbes' de (E) auxquelles elles sont tangentes correspondent aux developpables de V line ou I'autre des deux congruences (C) ou
En effet, lorsque le point [x se deplace suivant la courbe p.13, les
points focaux M, M' d^crrvent des courbes respectivement tangentes aux droites [xM, jxM'. Les deux plans tangents en M, M' a (S) et a (S ; ) et les deux plans tangents qui leur sont conseculifs ont un point commun. En effet, Fintersection des deux premiers est la droite JU, Fintersection des deux suivants est la droite consecutive a pt quand on se deplace sur la courbe [x^. Or, ces deux droites se coupent necessairement puisque les courbes aa, pfi sont conjuguees d'apres 1'hypothfese; et leur point commun sera le point focal ^, distinct de a, de la droite y.t dans la congruence engendree par cette droite. Done les quatre plans consideres ont en commun le point t. Prenons-Ies dans un ordre different : les deux plans tangents consecutifs a la nappe (S) se couperont suivant la conjuguee de MJJL qui sera M d'apr&s ce qui precede; el de meme, pour la nappe (S 1 ), la conjuguee de M'jx sera M'tf. Les deux nappes (S), (S') se trouvent done dans la relation definie aux n os 423, 424 [II, p. 229 et suiv.]. Les tangentes du systeme conjugal commun a ces deux nappes concourent, les deux premi^res en ix, les deux autres en t] et, par suite, les developpables de la congruence (D) engendree par la droite MM 7 correspondenl a celles de (C) ou de (C7). II en est de meme pour la congruence (D,) engendree parMiM',.
Considerons maintenant leplan jxMM' des deux droites. Quand le point jx decrit la courbe (x[3, sa caracteristique est evidemment la droite MM'. De mme, quand le point a decrit la courbe jxa, la caracleristique du plan est MiM',. Done il louche son enveloppe (E) au point de rencontre des deux droites.
110 LIVRE VIII. CIIAPITRE V. APPLICATIONS BIVERSES.
D'autre part, quand le point [*, decrit la courbe [AJ3, le plan focal de MM' se confondant avec le plan jxMM', le defacement du point a lieu necessairement dans ce plan. Mais le plan focal de UiU\ etant distinct de pi MM', le deplacement du point 0, qui se fait aussi dans ce second plan focal, ne pent avoir lieu que suivant son intersection OM\ M' f avec le precedent. Done, les droites OM, OM 4 sont conjuguees par rapport a (E) et les courbes auxquelles elles sont tangentes correspondent bien, comme il a ele annonce, aux developpables de Fune ou Pautre des congruences (C) ou (C').
923. Si Ton suppose maintenant que la surface (S) se reduit au plan de 1'infini, les deux droites correspondantes des congruences (C) et (C 7 ) deviennent paralleles, De plus, tout reseau plan etant necessairement conjugu^, la double condition que nous avons Jtnposee aux developpables de (G) et de (C') de se correspondre et de couper la surface (S) suivant les courbes d'un reseau conjugue se reduit a 1'unique condition que ces developpables se correspondent dans les deux congruences. Les nappes (S), (S') ontleurs plans tangents parall&les ainsi que les nappes (S^, (S 1 ,) et nous retrouvons le theoreme dont nous avons fait usage plus haul (n 920). Nous donnerons plus loin, n 08 941 a 944, une demonstration directe et des complements de ce theoreme.
924. Revenons a la proposition gdnerale. Si nous la transformonsparpolaires r^ciproques, elle se change dans la suivante :
Si les developpables de deux congruences se correspondent de Lelle manlere que les droites qui joignent les points focaux correspondents soient deux tangentes conjuguees d'une mme surface (3 ; ) les plans focaux correspondants se coupentsui9ant deux tangentes conjuguees d'une autre surface (E'),
qui n'est autre que la reciproque de la proposition primitive.
ROULEMEXT DE DEUX SURFACES I/UNE SUR L/AUTRE. Ill
