Soil

Tequation de la sphere donnee (S) et soit (S 4 ) la surface, lieu du point (x { ,y { , z { ], qui lui correspond avec orthogonalite des elements, de sorte que 1'on ait

f- dy dyt -h dx dz^ = o.

Designons toujours par M, M, deux points correspondants sur

DEFORMATION INFINIMENT PETITE. PREMIERE SOLUTION. l3

les deux surfaces et menons par le point M une droite M^H parallele au rayon de la sphere qui va aboulir en M. Nous aliens montrer que la droite M^U engendre une congruence isotrope, c'est-a-dire [I, p. 420] qu'elle est langente a deux developpables circonscrites au cercle de Pinfini.

Nous rattacherons cette proposition particuliere a une autre plus generale que nous retrouverons plus loin (n 891) et qui est due a Ribaucour.

Soient M, Mj deux points correspondants sur deux surfaces quelconques qui se correspondent avec orthogonalite des elements; menons par le point M, la droite M,H parallele a la normale de la surface (S) en M; et, de plus, effectuons la representation spherique de cette surface (S) sur une sphere de rayon i ayant son centre en un point 0; soit Om le rayon de la sphere parallele a la normale de (S) en M; nous allons determiner les plans focaux de la congruence engendree par la droite M, H.

A cet efiet, deplacons-nous de telle maniere queM i H engendre une des developpables de la congruence. Le point M viendra en un point infiniment voisin M 7 et de memeM, en M' t , m en m r . Le plan tangent de la developpable suivant M, H est parallele au plan determine par les deux rayons consecutifs de la sphere Om, O/n 7 ; et, par consequent, il en est de me'me de la direction MjM',. Or, cette direction MjM^ doit e*tre deja perpendiculaire a MM 7 . Elle devra done se confondre avec Om s'il y a dans le plan mO/n'une seule direction perpendiculaire a MM 7 . Comme il est impossible, on le recoiinaitra aisement (*), que M! M^ soit parallele a O/?? 3 il iaut que MM 7 soit perpendiculaire a deux droites distinctes dti plan ;?2 Om 7 , c'est-a-dire a ce plan. Or, ceci revient a dire que la tangente MM 7 de la surface (S) doit e"tre perpendiculaire a son image spherique, c'est-a-dire doit etre une tangente asymptotique [I, p. 201]. Done, aux developpables de la congruence engendree par MjH correspondent les asymptotiques de (S} ou, ce qui revient au me'me, les deux plans focaux de la congruence

( J ) Si MjM' tait parallele a Om, les plans tangents aux deux surfaces (S), (SJ en M et en M, seraient rectangutaires, ce qui est impossible, caralors a tous les emplacements s ? efFectuant autour de M correspondrait toujours le meme deplacement infiniment petit a partir de M t sur (Sj.

en<?e7idree par la droite M^H sont perpendiculaires aux tangentes asymptotiques de (S) en M.

Appliquons cette proposition, qui a ete enoncee par Ribaucour au n 188 de son Etude sur les Elassoides, au cas ou la surface (S) est une sphere de centre O. La droite M, H devient la parallele au rayon OM de la sphere (S); les tangentes asymptotiques de (S) sont les generatrices rectilignes de la sphere qui passent en M. Par suite, les deux plans focaux de la congruence engendree par la droite M, H, etant perpendiculaires a des droites isotropes, sont necessairement isotropes, c'est-a-dire tangents au cercle de Tinfini, et les deux nappes de la surface focale de cette congruence sont des developpables isotropes.

862. Le calcul suivant conduit au meme resultat. Les coordonn^es d'un point quelconque de M^H ont pour expressions

Pour determiner les developpables de la congruence, exprimons qu'il existe un deplacement dans leque] ce point decrit une courbe tangente a la droite. Nous aurons

ou, en introduisant une inconnue auxiliaire

xi-+- p dx = x cCK,

[ dsi-i- p dz z

Si Ton multiplie ces equations respectivement par dx, dy\ dz et si on les ajoute en tenant compte des relations (i4) et (ID), il vient

p (dx* -h dy* -f- dz*} = o.

Comme p ne peut ^tre nul, on voit que les developpables de la congruence correspondent aux lignes de longueur nulle de la sphere, ce qui dquivaut au resultat deja <tabli par la Geom^trie.