ROTJLEMENT DE DETJX SURFACES L ? UNE SUR. I/AUTRE
Rappel des formulas donnees au Livre VII, Chapitre III. Relations entre les quantites D, D', D" de Gauss et les rotations p, q, r, p l} q^ r t . Roulement d'une surface (0) sur une surface applicable (B,). Form ules donnees a u Livre I; formules complementaires. Comment on peut rattacher a la consideration du roulement une nouvelle methode de recherche des surfaces applicables sur une surface donnee. Tout mouvement particulier contenu dans le defacement g^ne'ral se ramene au roulement d'une surface reglee sur une surface de meme nature et applicable sur la premiere. Premier cas oil ces surfaces reglees sont developpables. Extension de la notion de reciprocite relative aux tangentes conjuguees. Second mouvement particulier dans lequel les surfaces regimes sont developpables. Systeme conjugue commun a () et a (8,) consider^ par Ribaucour. Theoremes de M. Kcenigs reiatifs a ce systeme conjugue" commun. La theorie des syslemes cycliques et le theoreme fondamental du n 761 rattaches a la consideration du deplacement etudie dans ce Chapitre. Proprie*te" relative aux congruences engendre"es par des droites paralleles et pour lesquelles les developpables se correspondent. Proprietds diverses des differents systemes cycliques que Ton peut ratiacher au meme deplacement. Comment la connaissance d'un couple de surfaces applicables peut conduire a une infinite de couples de surfaces admettant la m^me representation sphe'rique.
923. Les propositions que nous avons developpees dans les Chapitres precedents nous font connaitre un nombre illimite" de couples de surfaces (0), (0|) applicables Tune sur Tautre. Or, si I'on considere une de ces surfaces, ( 4 ) par exeniple, comme fixe, on peut ton jours araener la seconde () a etre en contact avec la premiere, de telle maniere que les deux surfaces se touchent par deux points homologues, et que les courbes homologues des deux surfaces qui passent en leur point de contact y admettent la meme tangente. On obtiendra ainsi une serie de positions de la surface (0), qui de"pendront de deux parametres ; et Ton aura ce cas particulier du deplacement a deux variables dont il a e"te* question aux u os 58 et suiv. [I, p. 69 et suiv.]. Le moment est venu d'etudier ce de"placement d'une maniere plus complete. Nous rappellerons
cTabord quelqaes re*sultats deja etablis au Livre VII, Chap. HI [III, p. a4a et suiv.].
Nous avons vu que, si x : }', z el c, c f , c" designent respectivement les coordonnees reclangulaires d'un point d'une surface (0) el les cosinus directeurs de la normale en ce point, ces quantites, considdrees comme fonctions des coordonnees curvilignes u et <-\ satisfonl a des equations de la forme suivante
d*x D doc
c H- A du
du Ov
du
ov dx
et a celles qu'on obtiendrait en y remplagant x et c par y el c' ou par^ et c". Dans ces equations A, A,, B, B i? C, G! dependent exclusivement de Felement lin^aire et sont determines par les Equations suivantes [III, p. 201]
