CH=G
\dv 2 du]
F dE
F <^E 2 dv
E dG 2 du
Quanta D, D', D", ce sont les determinants deTmis par les formules (6) [III, p. 244] et qui donnent naissance a I'identit6
' du dv -t- W
926. Les relations differenlielles entre D, D ; , D" sont elablics par les formules (24) et (25) [III, p. 248]. On ponrrait les de*duireaussidu systeme(i). Car, si Tonretranche la scconde
ROtLEMEXT DE DEUX SURFACES L'UNE SUR L'AUTRE. Il3
[on de ce systeme, differentiae par rapport a u, de la premiere iflerenti6e par rapport a p, si Ton remplace les derrve*es de c par eurs expressions (8) [III, p. 244] et l es derivees secondes de x par eurs valears de*duites des formules (i) elles-memes, on trouvera
me expression lineaire par rapport a c, ~, -^ dans laquelle les
;oefficients de ces trois quantite's devront evidemment tre nuls. n particulier, si on egale a zero le coefficient de c, on aura la )remiere des relations suivantes
1'ou la seconde se deduit par une permutation facile. En develop- 3ant on reconnaitra aise'ment que ces formules sont identiques a Belles qui ont ete donnees plus haut [III, p. 248].
927. Nous avons deja remarqu (n 700) que ces equations, ointes a la formule finie (21) [III, p. 246] peuvent remplacer les brmules de M. Codazzi. Au reste, si Ton veut etablir la relation mtre le systeme precedent et celui qui est developpe au Livre V, Chap. II, et qui repose sur la consideration du deplacement du ,riedre (T), il suffira de remarquer que Ton a
6) dx = a( du -+- %idv) -+- b(r t du -+- TQI^),
j) do = a(q du -j- q\dv] b(p du -- p^dv)
3t, par suite,
En comparant a liquation (4) donne"e plus haut, on voit que I'on doit avoir, conform^ment aux formules (43) [II, p. 878],
et de la on deduit, comme il fallait s'y attendre, (10)
u , L1VRE VIII. CHAPITRE VI.
Le rapprochement des formules prec^denles (4), (8) et de liquation (17) [II, p. 354] nous montre que I'on aura
o designant la courbure de la section normale dont la direction est defmie par les differenlielles du, do.
928. Cela etant, revenons aumouvementde la surface (6), qui, d'apres les proprieties deja donn<es au n 60, peut tre d^fini un roulement de () sur (0,). Nous avons vu que tout deplacement elementaire de () est une rotation autour d'un axe passant par le point de contact, situe dans le plan tangent conimun a (0) et (0,); et nous avons obtenu les formules suivantes.
Soient #, y, z les coordonnees rectangulaires du centre instantane, c'est-a-dire du point de contact de ( ) et de (6 4 ), rapportees a des axes invariablement lies a (). Designons par P, Q, R, P<, O <7 R 4 les six rotations relatives a ce mouvement. Nous savons (n S9) qu'en introduisant seulement trois fonctions auxiliaires \ [A, u\ , on peut les exprimer par les formules suivantes
' dx dx d& > d%
dz dz -HtJL-r-j du ov
dz . dz
n du dv
Quant aux translations 5, TI, s, i i5 'An, Si , elles sont definies par les formules
par lesquelles on exprime que la vitesse du centre instantan^ consid^re comme appartenant a la surface mobile est nulle dans tout deplacement ^I6mentaire.
Nous avons indiqu6 au n 60 que ces formules conduisent a une nouvelle m6thode de recherche des surfaces applicables sur une surface donnee. 11 est clair en effet que, si Ton donne la surface (6),
ROULEMENT DE DEUX SURFACES I/UNE SUR I/AUTRE. Il5
la determination des fonctions A, p., [x i en train era la connaissance de la surface (& { ). Tout se ramene done a la determination de ces trois fonctions.
Si Ton porte les valeurs des rotations dans les trois Equations
dP dP,
du
les seules qui res tent a verifier, d'apres 1'analyse dun 59, on trouve
d / dx , dx\ d I dx , dx\ , T-( flj-3 -- X-r^lH -- ([X^ -- X-r- )=(U[JL 1 duy du dv J 09 \ dv duj Ul1
et deux equations analogues en^ et s. Developpons et remplacons les derivees secondes de x par leurs valeurs (i) ; puis egalons a z^ro
les coefficients de c, -j^"> On aura les trois equations
dont Fintgration ferait connaitre les valeurs les plus generates deX, [A, p, 4 .
929. Onpeut les ramener a une forme beaucoup plus elegante. Pour faire disparaitre dans la premiere les termes du premier degre, posons
D 4 , D',, D* etant les inconnues que nous substituons a X, {JL, JJL { . Apr^s substitution et quelques reductions, on trouve, en tenant
llmpte du systeme (5), les equations suivantes
toules pareilles a celles du systeme ( 5); en s or te que D,, D, D, satisfontaux memes equations que D, D', D. Nous aUons montrer en effet que ce sont les valeurs prises par D, D', D' lorsqu a la surface (0) on substitue la surface (,)
930 Considerons le triedre (T) que nous avons rattachS a chaque point de (0) pour obtenir les formules de M. Codazzi et dont les rotations sont definies par les composantes^, q, r,p t , a rt relates aux axes de ce triedre. Pour avoir les compo-
rv TV P' O' R' de ces rotations par rapport aux axes sanies r , v ? 1X ? * it x.i? < . 1 ,. % /AN
choisis dans ce Chapitre, axes qui sont mvanablement lies a (8), mais quelconques, il faudra employer les formules
( P'= ap -l- bq -t-er,
1 q-a'p-irb'q+c'r, (22)
Bornons-nous aux deux premieres et rempla ? ons-y a et b par leurs valeurs deduites des Equations
En tenant compte de ce que 1'on a, en grandeur et en signe, (a4 ) H6r (1 -r,5,
et utilisant les relations (9), on trouvera
On aura des formules analogues pour Q', Q' 4 , R', R Consid^rant maintenant le triedre (T) comme attach^ non plus a la surface (0), mais a la surface (0, ), on trouverait de mSme pour
