ROULEMENT DE DEUX SURFACES L'UNE SUR I/AUTRE

ses rotations P 77 , P<, ... les valeurs

D', dx Dj dx - D'{ dx b\ dx

Dj, D,, D" designant les valeurs que prennent D, D 7 , D r/ quand on passe a la surface (< ). Quant a r et r { , leurs valeurs sent les memes, comme on sait, dans les deux cas, puisqu'elles dependent exclusivement de Telement lin^aire et de la maniere dont le triedre (T) est attache" a la surface,

Cela pose, supposons que u et v prennent des accroissements infiniment petits quelconques et que (T) prenne la position (T 7 ) dans la surface () et la position (T 7 ) dans la surface (0^. Le roulement de () sera celui qui amenera le triedre de sa position (T 7 ) en (T' 7 ). Or ce mouvement infiniment petit peut tre decompose en deux : Tun, qui amenera le triedre de (T 7 ) en (T ) et donnera naissance aux rotations T? f du P' f dv^ . . . ; Tautre, qui amenera le triedre de (T) en (T 7/ ) et donnera naissance aux rotations F f du + P* d,9) ---- II suit de la que Ton doit avoir

P du + PI do = P'du H- PJ do - P'du P\ dv,

et par suite

P = P ff P', P 1 = PJ P^ c'est-a-dire

et les expressions analogues pour Q, Q R, R<.

On retrouve ainsi les formules (12) et (i3), mais avec les valeurs (19) de\ [ji, [Ai ; et la proposition que nous avions en vue est entierement de'montre'e.

931. Puisque la rotation infiniment petite relative a ckaque deplacement a son axe dans le plan tangent, il est clair que Ton

peut poser

dx n,

~Tv w (28)

R d u -+- RT do = -r- 5w -i- ~r^ du dv

u g LIVRE VIII. CHAPITRE VI.

QU et o> seront les difierentielles de u et de P, lorsqu'on se deplace suivant Taxe de cette rotation; ils le definiront mme en grandeur puisque, d'apres les formules pre*ce*dentes, ils represententles accroissements de u et de 9 lorsqu'on passe de Torigine de cet axe infiniment petit a son extre*mite.

Or, si Ton remplace P et P par exemple, par leurs valeurs deduites des formules (12) et (i3), il vient

\ JL{ .\dii- {JLi dv o) + ( (J. du -+ X dv o<;) = o,

et, comme cette relation doit etre v^rifi^e quand on y remplace ,r par y et js, il vient ne*cessairement

a = X du |j.i dv, \v = p. du -h

Ces formules contiennent toutes les relations entre le de~placement da centre instantane et la rotation qui lui correspond. En parliculier, si on les divise Tune par 1'autre, on obtient liquation

(3o) fji^wowH- \(du OP -+- dvou)-ir pii^op = o,

, . du %u

qui ne conlient que les quotients -T-J <- et serapporte, par suite,

uniquement aux directions de 1'axe instantan^ et du mouvement du centre instanlan^. Gomme 1' equation pre*cdente ne change pas lorsqu'on echange les caract^risliques rf, o } on voit que la relation entre ces deux directions est reciproque, Ainsi se trouve etablie la proposition annoncee au n 60.

932. Imaginons maintenant que le centre instantan^ deprive une courbe (C) de (0). Cette courbe roulera sur la courbe homologue(Ci) de (i), et, si Ton considere les deux surfaces regimes lieux des positions successives de 1'axe instantane dans le systeme mobile et dans 1'espace, ces deux surfaces (R) et (R<), respectivement circonscrites a (0) et a (Q { ) suivant les courbes (C) et (.d), rouleront Tune sur 1'autre dans le d6placement consid^re. Elles seront done necessairement applicable^ Vune sur Vautre.

Ainsi ? la connaissance de tout couple de surfaces applicables Tune sur 1'autre eutraine celle d'une infinite de pareils couples