ROULEMENT DE DEUX SURFACES I/UNE SUR L'AUTRE. IIQ

formes avec deux surfaces gauches, et cela sans aucune integration. Examinons mainlenanl les cas particuliers.

933. II peut se faire que la direclion de Paxe instantane* coincide avec celle du deplacement da centre instantane\ On aura

alors 4

du oV dv ow = GJ

et 1'equation (3o) nous donnera

( 3 1 ) [JL du~ + 2 ) du dv H- pi dv z = o.

II y a deux families de lignes (C) satisfaisant a cette equation differ en tielle. Si le centre mstantane decrit une de ces courbes, le mouvement se reduira au roulement d'une surface developpable surune autre developpable ; les deux aretes de rebroussement seront tangentes a cbaque instant. Par cela seul qu'il y a roulement autour de la tangente commune, on peut affirmer que les deux aretes de rebroussement auront, a chaque instant, meme plan osculateur et m^me rayon de courbure.

On peut done dire que Tequation (3i) de*finit deux directions pour lesquelles deux courbes correspondantes tracees sur les deux surfaces (0), ( t ) ont m^me courbure ou mieux, comme les courbures geodesiques sont toujours 6gales, ont meme courbure normale. C'est ce que Ton peut verifier de la maniere suivante :

Considerons deux sections normales correspondantes, dans(G) et dans (0, ); et soient p#, p' /t les rayons de courbure de ces deux sections. En appliquant successivement la formule (i i) aux deux surfaces, on aura

et par suite, en vertu des equations (19),

Cetle formule met en Evidence la proposition annoncee en

montrantque les courbesdefmiesparTequation differ en tielle (3i) sur les deux surfaces (), (,) ont leurs eourbures normales egates et de meme signe. Des a present, on peut en de*duire cette consequence que ces lignes ne peuvent se confondre avec les lignes asymptoliques de Tune ou de Tautre des surfaces (0), (0!) que si ces deux surfaces sont symetriques Tune de Pautre. Pour qu'il en soit ainsi, en effet, il faut que D i? D' n D, soient proportionnels a D, D', D" et cette condition de proportionnalite jointe a la premiere des Equations (20) entraine les relations

qui caracterisent deux surfaces symetriques. Ce cas particulier nous a servi de guide dans Fanalyse precedente.

934. II est un autre cas particulier des plus inte*ressants dans lequel les deux surfaces reglees (R) et (R<) qui roulentl'une sur Fautre se reduisent ^ des surfaces deVeloppables. II a ete signale pour la premiere fois en 1891 par Ribaucour (* ).

Supposons que le centre instantane se dplace suivant nne courbe (G<) de la surface (i). Pour que 1'axe de la rotation instantanee de'crive une surface developpable, il faut evidemment qu'il coincide soit avec la tangente a la courbe (C<) soit avec la conjuguee. Nous venons d'etudier la premiere hypothese, examinons mainlenant la seconde. Pour qu'elle se realise, il faudra que les deplacements d6finis par les caracteristiques d et o soient a la fois reciproques dans le sens indique' plus haut et conjugues par rapport a (B i ). Mais, si la surface re'gle'e circonscrite a (81 ) se reduit a une developpable, elle ne peut rouler que sur une developpable et, par suite, les deux deplacements sont conjugue's a la fois par rapport a (0) et a (0<). G'est d'ailleurs ce que montre imm^diatement Tanalyse; les trois Equations

D du u -H D'(du op -H dv $u) -+- D" dv SP = o, D! du own- D; (du SP HT dv ow) -+-DJ dv OP = o,

( J ) RIBAUCOUR (A.), Sur les systemes cy cliques (Comptes rendus de I'Acade'mie des Sciences, t. CXIII, p. 3a4; 24 aoAt 1891).