Dans les rapides indications que nous avons donndes [I
DEFORMATION INFINIMENT PETITE. PREMIERE SOLUTION. l5
p. 4*9~4 21 ] sur ^ e5 congruences isotropes, nous avons signale une proprie"te de ces congruences, a savoir que les surfaces reglees elementaires contenant une droite qaelconque de la congruence ont toutes, pour cette droite, le meme point central et le m&ne parametre de distribution; d'ou il resulte que la surface moyenne (lieu du milieu du segment focal) contient les lignes de striction de toutes les surfaces reglees formees avec des droites de la congruence. Or il est tres aise de montrer que cette surface moyenne est id la surface (S,).
En effet, si Ton considere, d'une raaniere generale, une surface regle'e engendree par une droite dontlescosinus directeurs seront designed par #, y, z, il est evident que dx, dy, dz sont les parametres directeurs de la normale au plan central, puisque cette normale, perpendiculaire a la generatrice, est, en meme temps, parallele au plan tangent a 1'infini. Done si x { , y^ z\ sont les coordonne*es d'un point de la ligne de striction, on a
dx dxi -+- dy dyi M- dz dz^ = o,
en tous les points de cette ligne et seulement en ces points. Celte relation etant identique a 1' equation (10) et se trouvant verijBee pour chaque point de la surface moyenne, il en resulte la propriete annoncee. On peut done enoncer la proposition suivante, qui est due a Ribaucour (*) :
Pour obtenir la surface la plus generale correspondant par orthogonalite des elements a la sphere, il suffit de prendre la surface moyenne de la congruence isotrope la plus generale.
On a vu [I, p. 4ao] que Tenveloppee moyenne d'une telle congruence est une surface minima.
En rapprochant du reste les diffe"rents raisonnements que nous venons de faire on voit que, seules, les congruences isotropes jouissent de la propriete d* avoir les lignes de striction des differentes surfaces reglees que Von peut former avec les
(') A. RIBAUCOUR, Etude des Elassoides ou surfaces a courbure moyenne nulle. Chapitre VIII (M&noire d^ja cite [I, p. 419]).
l6 LIVRE VIII. CHAPITRE I.
droites qui les composent, toutes distributes sur une meme surface ( J ).
1. Revenons a la relation (10) et appliquons un thoreme donne plus haut. Si, k designant une constante, nous considerons les deux surfaces lieux des points (x { + kx, y { + ky, z i -h kz) et (x\ kx,y\ ky,z { kz)^ c'est-a-dire les surfaces obtenues ea portantj dans les deux sens a partir deM i3 sur les droites de la congruence isotrope, des longueurs egales a , on aura deux surfaces applicables 1'une sur Pautre de telle maniere que les points correspondants soient a une distance invariable Tun de Tautre. Reciproquement, si \tsextremites d'un segment PP< de longueur constante, dont la direction depend de deux parametres, decrivent deux surfaces appiicables Vune sur Vautre, la droite PPi engendre une congruence isotrope ( 2 ).
f 1 ) C'est d'ailleurs ce que Ton peut etablir directement comme il suit : Prenons une droite de la congruence pour axe des z et soient
les equations des plans focaux, z\ z" les z des points focaux.
Pour determiner le point central relatif a Tune des surfaces elementaires contenant la droite, ii faut lui adjoindre le point a 1'infini, les points focaux et ^primer que le rapport anliarmonique des quatre points de contact est egal a celui des plans tangents correspondants, ce qui donne
in
m etant le coefficient angulaire du plan central. Pour que z soit invariable, il t'aut que la fraction rationnelle
(m m'} (i + mm"} ( m m" ) (i 4- mm' )
soit independante de m, ce qui donne, en e*cartant 1'hypothese inadmissible
ni =. m?)
Les plans focaux sont done ncessairement isotropes.
(=) A. RIBAUCOUR, M^moire cite (Chapitre VIII). Le cas oil la direction du segment PP t ne depend que d'uii seul parametre a e*te" trait6 par M. CARONNET dans un article Sur les couples de surfaces applicables insere en 1898 au tome XXI du Bulletin de la Societe mathe'matique de France.
Car la surface decrite par le milieu de PP, et la sphere obtenue en menant par un point fixe des paralleles aPP, se correspondent avec orthogonalite des elements lineaires.
865. II nous reste a indiquer comment on determine la surface moyenne d'une congruence isotrope.
Solent
(17) (I M 2 )tf H- 1(14-1*2)^-1- 1U3 ~ $f(lt) =0,
les equations de deux plans tangents a deux developpables isotropes [I, p. 34i]. Leur ensemble represente une tangente double de ces deux developpables, c'est-a-direla droite la plus generate de la congruence isotrope definie par ces developpables. II suffit de joindre a ces deux equations celle du plan moyen, c'est-a-dire du plan tangent a la surface minima correspondante [I, p. 296, 297],
(19) (u -+ ufix + i(Ui u)y oil Ton a
puis de resoudre les trois equations precedentes, ce qui donne
Telles sont les expressions des coordonnees d'un point de la surface cherchee. Celles du point correspondant de la sphere sont
- ' J-f- UUi
et il est tres ais6 de verifier avec ces formules la relation identique (i5).
866. Nous terminerons en montrant comment on peut, dans le cas general, transformer Tequation aux derivees partielles a laquelle satisfait z { conside're'e comme fonclion de x et D. - IV.
