LES SYSTEMES CYCLIQUES ET LES SURFACES APPLICABLES
Rappel des formules Stabiles au Livre IV, Chap. XV, et relatives au systeme orthogonal forme par les lignes de courbure. Relation entre les deux equations, ponctuelle et tangentielle, relatives au systeme conjugue forme par ces Hgnes,
Determination des surfaces admettant la m&me representation spherique qu'une surface donne"e (S). Rappel de la premiere solution. Theorem e de Ribaucour qui montre que les surfaces cherchees admettent pour normales les cordes de contact d'une famille de spheres ayant leur centre sur la surface ().
Determination des systemes cy cliques engendr^s par des cercles normaux a (S). Proprietes geometriques relatives aux systemes cycliques. Propositions qui rattachent la the"orie de la representation spherique celle de la deformation des surfaces. Determination des systemes cycliques deduite d'un couple de surfaces applicables. Ce que deviennent les reseaux I, II, III du Chapitre III pour un couple de surfaces applicables (6), (6,). Definition nouvelle de la methode de transformation introduite au n 903 sous le nom tf inversion composee. Les formules qui permettent de definir le roulement de (9) sur (& t }- Determination de tous les systemes triples orthogonaux pour lesquels une des families est composee de surfaces a lignes de courbure planes dans un systeme.
948. Rappelons rapidement les resultats etablis au Livre IV, Chap. XV [II, p. 338 et suiv.]. Nous avons design^ par #, y, z les coordonne"es rectangulaires d'un point variable d'une surface quelconque (S) 7 par c, c 1 r , c" les cosinus directeurs de la normale en ce point et nous nous sommes propos6 de trouver tous les systemes cycliques formes de cercles normaux a (S). Pour cela nous avons pris comme point de depart les equations d'Olinde Rodrigues
dx dc dy dc r dz -. dc"
H-R^o, -f-H-R T -=o, T --HR T -=o,
dp dp dp dp dp dp
dx dc dy ^ dc' dz D dc"
^ h RI T - = o, -f- H. R t . = o, T h- RI -r = o,
^pi ^pi dpi dpi dpi dpi
ou p et p { de*signent les parametres des lignes de courbure, R et ^
les rayons de courbure principaux de (S). Considerons d'une mamere generale le systeme
w dp d? ' dpi dpi
II resulte des formules precedentes qu'il admet les solutions particulieres
mais nous avons aussi remarque" (n481) qu'il admet encore la solution particuliere definie par les Equations
(4) * rr"" "", [JL = C^ -H C> -h C^5.
Si Ton elimine X entre les deux Equations (2) on sera conduit a liquation du second ordre
qui, devant admettre les solutions particulieres
c, e', c v , ex -+ c r ^ -4- c ff ^,
sera 1' equation tangentielle relative au systeme conjugue forme par les lignes de courbure de (2). De me*me si, entre les deux equations (2), on elimine p., on trouvera que X satisfait a liquation
qui n'est autre que l'equation/>o/zc^e//e relative au m^me systeme conjugue puisqu'elle admet les solutions particulieres
La liaison que le systeme (2) etablit entre ces deux equations aux de*rive*es partielles (5) el (6) met en Evidence le fait suivant : I' integration de Vune quelconque des deux equations entrainera celle de Vautre, qui sobtiendra par ane simple quadrature a deux variables independantes. Cela re'sulte des
LES SYSTEMES CVCLIQUES.
formules
tout a fait equivalentes a ce systeme (2).
919. D'apres cela, si Ton veut determiner toutes les surfaces ayant meme representation spherique que (S), il suffira (n 162) de choisir une solution quelconque [x ; de liquation (5) et de prendre Fenveloppe du plan defini par F equation
cX + c'Y-hc'Z JJL'=O.
Mais, pour etablir les relations geometriques qui vont suivre, nous in trod u irons, au lieu de [x ; , la fonction
qui est ^galement une solution de liquation (5). Le plan qui enveloppe la surface cherchee aura done pour equation
de sorte que toute surface (S') ayant mme representation spherique que (S) sera definie par les trois equations
dc , , . dc' , . dc n
ou ^', y, ^ ; designent les coordonn^es du point de (S 7 ) pour lequel le plan tangent est parall&le au plan tangent de (S). Prises s6parement, les trois equations pr^cedentes repr^sentent, Tune le plan tangent, les deux autres les plans principaux de (S').
950. Les formules que nous venons de rappeler permettent de demontrer presque immediateraent un theoreme de Ribaucour. Associons a la solution JJL la fonction ^ verifiant les deux equations (2) et definie par la premiere quadrature (7). En multipliant
^o LITRE VIII. CHAPITRE VII.
par R et Ri respeclivement les deux dernires equations (g), on pourra leur donner la forme
Si 1'on y regarde pour un instant #', j/, 5' comme des coordonnees courantes, ces deux equations repr6sentent videmment la normale a (S'). D'autre part, consid&rons la sphere (S) definie par 1' equation
Les monies Equations (10) representent la corde qui joint les deux points de contact de cette sphere avec son enveloppe. Comme la sphere (S) a son centre au point (x, y, z] qui appartient a (S ), on peut done 6noncer la proposition suivante :
Etant donnees deux surfaces (S), (S') ayant meme representation spherique, chacune peut &tre consideree comme normale aux cordes de contact d } une famille de spheres ayant leur centre sur Vautre surface ( * ).
Les deux families de spheres dont il est question dans Penonce precedent ne sont mme pas entierement determines quand on eonnait seulement les deux surfaces (S), (S'). Considerons, par exemple, la sphere ( S) definie par liquation (i i); son rayon \J z\ depend de \ qui^ lorsque (S 7 ) est connue, c'est-a-dire lorsque pt est donnee, est d^fini par la premiere des quadratures (7). On peut done loujours ajouler une constante & X, c'est-a-dire augmenter d'une quantit^ determin^e quelconque les carr^s des rayons de toutes les spheres qui composent les families dont il est question dans P6nonc precedent.
Le th^or^me de Ribaucour conduit a une nouvelle solution du probl&me de la representation sph^rique. Comme \ est une solution de liquation (6), c'est-^-dire de liquation ponctuelle rela-
(*) RIBAUCOUR, Sur une propriete des surfaces enveloppes de spheres (Comptes rendus, t. LXVH, p. i334; 1868).
LES SYSTEMES CYCLIQUES. Jj{l
tive au systeme conjugue forme par les lignes de courbure de (S), on voit que toute solution \ de cette equation donnera les normales & Vune des surfaces cherchees (S) par les equations (10), c* est-a-dire comme cordesde contact de la sphere deft/tie par I 9 equation (n). Mais remarquons que, pour avoir effectivement la surface cherchee, et non plus seulement ses normales, il restera a determiner p par la seconde des quadratures (7). La constante introduite par cette quadrature fournira toutes les surfaces admettant les mimes normales.
9ol. Nous avons vu au n 482 qu'a chaque systeme cyclique forme de cercles norm aux a (S) on peut associer un systeme )^ JJL de solutions du systeme (2) et vice versa, fitudions les relations geome'triques entre ce systeme cyclique et le couple des surfaces (S), (S') ? admeltant la meme representation spherique et correspondant a la solution [x.
Soient (fig- 87) M et M' deux points correspondants quelconques des surfaces (S), (S 7 ) ; MR, M'R 7 les deux normales en ces points aux deux surfaces, normales necessairement paralleles. Reprenons les equations (09) et (60) donnes aux n os 481, 482 [II, P- 340
equations qui font connaitre les coordonnees X, Y 7 Z d'un point variable en fonction des trois variables p, pi, po. Nous avons vu que les valeurs de p, p { , p 2 tirees de ces trois equations sont les parametres des trois families qui composent le systeme orthogonal. Si nous considerons seulement les deux dernieres equations (12), elles repr^sentent, pour chaque systeme de valeurs de p et de p 4 ,
im cercle (C) normal en M a (S), cercle qui engendre le systeme cyclique considere. La sphere representee par la premiere des equations (12) admet, lorsque p et p^ varient, une enveloppe a deux nappes qui se compose de la surface (S) et d'une des surfaces normales a toutes les positions du cercle (C). L'ensemble
Fig. 87.
de ces enveloppes forme la famille des surfaces de parametre p 2 . Prises separement, la deuxime et la troisi&me equation reprsentent deux spheres orthogonales se coupant suivant le cercle (C) et tangentes en tons les points de ce cercle aux enveloppes de spheres (E), (E<) qui constituent la deuxieme et la troisi&me famille de notre systeme orthogonal. Par exemple, pour obtenir toutes les enveloppes (E) de paramfetre p, on peut eliminer p t entre les deux derni&res equations (12) ou, ce qui est la m&me chose quant au r^sultat, prendre Penveloppe de la sphere definie par la seconde Equation en faisant varier p { seulement. Tous ces resultats sont acquis et ont ete d^montr^s au Livre IV, Chap. XV. Comme d'ailleurs on peut toujours se donner arbi-
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trairementla surface (S), il est clair que les equations precedentes definissent le systeme cjclique le plus general rapporte a Tune quelconque des trajectoires orthogonales de tous les cercles, pourvu que Ton ehoisisse pour X et [x les solutions les plus gene*rales du systeme (2) relatif a la surface (S).
952. Tous ces points etant rappeles, reprenons les deux dernieres equations (9) qui definissent la normale a la surface (S') et comparons-les aux. deux dernieres (12) qui repre'sentent le cercle (C). On passe des unes aux autres par la substitution
Ces formules considrees comme tablissant une relation entre les deux points (X, Y, Z) et (x f : y', z j ] definissent evidemmentune inversion dont le pdle est le point M et don tie module est \/ 2 A, c'est-a~dire dont la sphere principale est la sphere (S). Cette mime substitution, appliquee a la premiere des Equations (la), la transforme de mme dans la suivante
c'est Fequation d'un plan qui enveloppe une surface (S 7/ ) parallele a (S') et menee a la distance p 2 de (S ; ). On peut done enoncer le th^oreme suivant :
Etant donnees deux surfaces (S), (S') qui ont la meme representation spherique, soient M, M' deux points correspondants pris respectivement sur ces deux surfaces. La normale en M 7 peut to uj 'ours etre consideree comme la corde de contact d'une sphere (S) ayantson centre en~Met don t le rayon \j 2 A depend de la quadrature qui determine \. La figure inverse decette normale par rapport d la sphere (S) est un cercle (C) dont les differentes'positions engendrent un syst&me cyclique. Ce cercle, evidemment normal en Md (S), passe par les points d' intersection P et Q de la sphere (S) et de la normale en W. Les differents points m l ', m" de ce cercle qui sont les inverses de M' ou de tout autre point M r de la normale situe a une
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distance invariable de M' engendrent les differentes surfac normales a toutes les positions du cercle (C). Enfin les dei spheres qui sont les inverses des plans principaux de (S ; ) so celles qui touchent les deux enveloppes de spheres (E), (E aitxquelles appartient le cercle (C), enveloppes qui so engendrees par ce cercle lorsqdilse deplace de telle manie que le point M decrive une des lignes de courbure de (S). L centres de ces deux spheres sont evidemment au point de re contre des tangentes principals de (S) en M et de Vaxe c cercle (C).
953. II resulte de cette premiere proposition qu'a tout couj de surfaces (S), (S ; ) admettant la meme representation sph&riq on peut faire correspondre une infinite de systemes cycliqu formes de cercles normaux a (S); car on peut toujours ajoul une constante arbitraire a la fonction A.
Celte proposition peut d'ailleurs revtir une autre forme sil' considere comrae connu un syst&me cycliquej engendre, f exemple, par le cercle (C), et si Ton envisage trois trajectoii orthogonales quelconques (S), (S^, (S 2 ) de ce cercle.
Soient (fig- 87) M, T?I', m ff les points ou ces trois surfa< coupent le cercle (C)* La premiere (S) pourra toujours jouei role de la surface de mme nom dans Tnonc6 precedent; connaissance des deux points m r , m ir nous permettra de recons tuer toute la figure et de retrouver, en particulier, les poi M', M".
En eflet, dans le plan du cercle (G), la droite M'M" s Evidemment determin^e par la condition d'etre parallele a la u gente en M au cercle (C) et d'avoir le segment M'M" interce entre les droites concourantes Mm', Mm" 6gal a une longu constante quelconque p 2 . Cette droite sera normale aux s faces (S 7 ), (S 7 ) decrites par les points M', M7 : et ces deux surfa paralleles admettront pour leurs lignes de courbure la m6me presentation sph^rique que (S). Leur normale commune M sera la corde de contact de la sphere variable de centre M passe par Pintersection de cette normale meme et du cercle (
Quand on f era varier la constante p 2 , toutes les surfaces d6cr par le point M' seront celles que Ton obtiendrait en multipliaB
