LES SYSTEMES CYCLIQUES
fonction u par une constante quelconque, dans liquation (8), ce qui est ^videmment permis.
954 Ces propositions preiiminaires une fois ^tablies, revenons a Tetude que nous avons interrompue a la fin da Chapitre precedent, fitant donnees deux surfaces (S), (S ; ) de mme representation spherique, soient (rf), (d 1 ) leurs normales, nScessairement paralleles, en deux points correspondants. Le plan (P) de ces deux droites enveloppe une surface que nous designerons par ( 4 ). Quand la surface (<*>< ) se deforrnera en entrainant les deux droites, elle ne cesseront pas, dans leurs nouvelles positions, d'etre normales a des surfaces (n 760) et, de plus, les developpables qu'on peut former avec elles ne cesseront pas de se correspondre (n944). Nous pouvons done enoncer la proposition suivante, due a Ribaucour ( < ) :
Quand deux surfaces (S), (S 7 ) admettent la meme representation spherique, Le plan des normales correspondantes enveloppe une surface (<). Si la surface (& { ) se deforme en entrainant les deux normales dans ses differents plans tangents, celles-ci ne cessent pas d'etre normales d des surfaces admettant la meme representation spherique.
Mais il importe d'examiner surtout un cas particulier de cette deformation. Construisons le cercle (C) d^fini plus haut, normal enM a (S) et d^formons la surface (.,) de telle maniere que Tune des spheres de rayon nul passant par le cercle (C) se reduise a un point fixe A invariablement lie* a la forme nouvelle (0) de (e<). Si Ton fait rouler la surface (0) sur (0 f ), le point M sera toujours sur une droite isotrope passant par A et invariablement liee a () (n os 936 et 947); la normale en M It la surface (S) sera Intersection du plan de contact de () et de (<) par un plan isotrope determine (I) du syst&me mobile, plan qui sera tangent au point-sphere A suivant la g6nratrice isotrope AM (n 936). Enfin, les seules droites paralleles a (d) situees dans le plan de contact, et qui pourront engendrer des
(') RIBAUCOUR, Note dej& citee plus haut [p. 127].
t , 6 LIVRE VIII. CHAPITRE VII.
congruences dont les developpables correspondent a celles de la congruence des normales a (S), seront les intersections du plan de contact par des plans isotropes determin 6s, parallels au plan (I) de la figure mobile (n os 936 et 944). Comme 1'bn connait une de ces droites, qui est la normale a (S') en M', on voit que cette droite (d r ) sera elle aussi dans un plan isotrope determine (I') du systeme mobile, plan qui sera parallele au premier (I). Ainsi, nous obtenons le resultat suivant, egalement remarque par Ribaucour :
Etant donnees deux surfaces qui out la meme representation spherique, si la surface (0,) enveloppe du plan qui contient leurs normales en des points correspondants se deforme en entrainant ces droites, elles ne cessent pas d'etre normales a des surfaces ay ant la meme representation spherique; et il existe une deformation (0) de (,) dans laquelle les droites sont amenees a decrire deux plans isotropes parallels.
955. II resulte de ces propositions que, si tout couple de surfaces applicables conduit (n 947) a une infinite de couples de surfaces admettant la mme representation spherique, inversement tout couple de surfaces admettant la me*me representation spherique fournit une infinite de couples de surfaces applicables. II ne sera pas inutile d'insister sur la nature et P&endue des operations par lesquelles on d6duit Tun de Tautre le couple de surfaces applicables et le couple de surfaces admettant la mme repre*sentation spherique.
Si Ton part d'abord du couple de surfaces applicables (6), (00, nous avons vu (n 947) que, pour obtenir deux surfaces admettant la meme representation spherique, il faut faire rouler (0) sur (0<) et prendre les points d'interseclion avec le plan de contact de deux droites isotropes paralleles, invariablement liees a (0). Ces deux points d'intersection decrivent les surfaces cherche'es (S), (S 7 )- Toutes les operations par lesquelles on les obtient n'exigent done aucune integration et introduisent les cinq constantes arbitraires dont depend la position des deux droites isotropes paralleles.
