Supposons, au contraire, qu'onsedonne les surfaces (S

LES SYSTEMES CYCLIQUES. l4j

(S') admettant la meme representation sphe"rique, et conservons toutes les notations employees au de*but de ce Chapitre. II faudra d'abord construire les cercles (C) normaux a (S) et, par conse"quent, effectuer la quadrature qui determine 1; mais, cette quadrature une fois obtenue, il ne restera plus a faire que des differentiations et des eliminations. En effet, lorsqu'on a un systeme cyclique et les trajectoires orthogonales des cercles qui le composent, la surface (6 < } est Tenveloppe des plans des cercles. Quant an systeme mobile forme* de la surface (&) qui roule sur ( { ) et des points qui lui sont invariablement lies, on le determinera comme il suit. Nous en connaissons un premier point O qui est Fun des points-spheres passant par le cercle (C). Si m et m! designent les points ou ce cercle est coupe" par deux de ses trajectoires orthogonales, les plans isotropes touchantle point-sphere O suivant les droites O m, O/n' sont des plans determines du systeme mobile se coupant suivant une droite invariablement liee a ce systeme. On pourra ainsi obtenir, en nombre aussi grand qu'on le voudra, des droites passant par le point du systeme mobile. Trois de ces droites forment un triedre invariable auquel on pourra rattacher un triedre trirectangle; et les distances du point ou (<) touche le plan du cercle (C) aux trois faces de ce triedre trirectangle ne seront autres que les coordonnees du point correspondant de la surface cherchee (), rapporte"e a des axes invariablement lies a cette surface. Cette surface sera ainsi determinee sans aucune quadrature nouvelle.

Si Ton substitue aux surfaces (S), (S') celles que Ton obtiendrait en remplagant successivement, dans Tequation (8) du plan tangent, JJL par une fonction lin^aire quelconque des solutions c, c\ c ff , [Ji, ex -h c' y + d l z, on verra facilement qu'ici encore on peut introduire cinq constantes sans qu'il soit ne"cessaire de faire une nouvelle integration.

957. D'apres les remarques pr6c^dentes, ce sont les systemes cycliquesquietablissentle lien entreles deux theories, au premier abord si eloigne*es, de la deformation des surfaces et de la reprsentation sphe"rique. On peut obtenir de tels systemes, soil en partant d'un couple de surfaces applicables (0), (j), soit en prenant comme point de depart un couple de surfaces admettant

la mme representation sph<rique pour leurs lignes de courbure, En developpant les calculs qui permetlenL de les faire deriver d'un couple de surfaces applicables, nous aliens renconlrer quelques relations qui viendront s'ajouter utilement aux propositions deja trouvees ou qui permettront Fapplication des methodesindiquees dans les Chapitres pr6c<*dents.

A cet eflet, envisageons d'abord deux surfaces (S), (S<), se correspondant avec orthogonality des elements lineaires; et conservons toutes les notations du Chapitre III. Si 1'on pose

ce qui donne

les deux surfaces (), lieu du point (X', Y', Z'), et (<), lieu du point (X' 4J Y' i5 Z,), seront applicables Fune sur Pautre. Cela resuite immediatement de Fidentite

dx dxi -h dy dy^ + dz dz^ = dX!f 4- dYf +- dL'f dX' 2 dY z d%*.

La surface ( H ) est d^crite par le milieu du segment MM< qui reunit les points homologues M, Mi de (S) et de (S,); la surface (6) est le lieu de Fextremite du segment gal a la moitid de M 4 M, partant de Forigine des coordonn^es. Les deux surfaces s'echangent Fune dans Fautre lorsque Fon change le signe de x^ y { , s { , c'est-4-dire lorsque Fon remplace la surface (S { ) parsa syme*trique relative a Forigine des coordonnes.

Consid^rons la sphere (U) passant par Forigine des coordonnees et d^crite du point (X' ? Y\ Z ; ) comme centre. Lorsque Fon fera rouler la surface (0) sur la surface (i), cette sphere entraine'e avec la surface () aura son centre au point (X^ , Y, , Z' 4 ) ; et nous avons vu (n^ 938) que les points ou elle touchera son en-

LES SYSTEMES CYCLIQTJES. 149

veloppe seront les centres de spheres de rayon nul coupant le plan tangent a () suivantun meme cercle(C)qui engendrera un systeme cyclique. L'equation de la nouvelle position (U<) de la sphere (U) est evidemment

ou, en rempla^ant X', X' n par leurs valeurs (10),

Gette equation repr^sente Evidemment la sphere decrite sur le segment MM, comme diametre. Les points ou elle touche son enveloppe s'obtiendront en joignant a Tequation prec^dente sa differentielle to tale

(X x) dx l -+- ( Y

-H (X ^) dx -h( Y y t ) dy -f- (Z ^) dz = o.

En tenant compte des relations (5) [p. 4.9] entre les differentielles dx, dx { , ... 5 on peut donner a cette derniere Equation la forme suivante

et comme dx { , dy^ dz\ sont relies uniquement par Tequation

&i dx\ + b\ dy\ -+ GI d^i = o, on aura necessairement

Y .y q(Z sQH-cfX a?,)

Ces deux Equations representent la corde de contact de la sphere avec son en veloppe. On pourra les remplacer par les deux sui-

vantes