X - ^i- Ci(Y -y)+ bi (Z

qui s'en deduisent imme'diatement si I'on echange, ce qui est permis, les points M et M, ou bien les surfaces (S) et (S<).

958. Avant de poursuivre le calcul et de determiner les points d'intersection de la droite precedente avec la sphere (l^), remarquons que cette droite est necessairement perpendiculaire au plan tangent de la surface (0<). Cette remarque nous fournit un moyen d'obtenir la direction de ce plan tangent et un calcul facile donne, pour les cosinus directeurs C { , C' C ; j[ de la normale a la surface (0^ les expressions suivantes

ou Ton a pose, pour abr^ger,

; = b bi -+ caj. ac , = c <? H- a^ 6#

Comme on passe de la surface (6 4 ) a la surface (8) en changeantlesignede^jKn^u^j a,, . . ., un calcul analogue donnera, pour les cosinus directeurs C, C', (7de la normale a cette surface, les expressions suivantes

(aa)

V/KKl G = a a, - 6 Cl -h c^:,

ou le signe des radicaux a t choisi de telle manure que les

LES SYSTEMES CYCLIQUES. l5l

portions positives des deux normales soient du me*me c6te par rapport aux surfaces (0), (&<) (<).

959. Ces expressions des cosinus directeurs des normales aux deux surfaces (), (<) nous conduisent a la proposition suivante :

En calculant les diffe"rentielles dC { ^ (TK.\ et tenant compte de la relation

G3 -\r t s*\i J\Tt , r*n JiJt

! ajL i + G! oYj -4- G[ dZ t = o,

on formera Videntit6

= v da(dx -+- dxi) V da^(dx

dx -+ dx\ dy -+- dy l dz H- ds\

0*1 da dx + dxi bi db dy + dy^ Ci dc dz -H dzi

Si Ton remarque que les relations diffe"rentielles (5) et (45) du Chapitre III conduisent a des identit^s telles que les suivantes.

dx\

dc\

on donnera a la relation (28) la forme suivante

(*) Les relations diif^rentielles entre x, y, s, x^ y t , z^ ne changentpas si Ton remplace x^ y 1} ^ par hx^ hy^ hz^ a t , b^ c, par ha^ hb t , he, et a, b, c par

^j ^> T > A d^signaut une constants quelconque. Si cette constante devient tres

petite, x^y^-z^ deviennent tr^s petites et les deux surfaces (0), (6J viennent se confondre. II faut done que les expressions (21) et (22) des cosinus se rapprochent, ce qui entralne la determination du signe pour les secondes (22),

!5a LIVRE VIII. CHAPITRE VII.

Par de simples changements de signes on elablira egaleme] formule

(a5) 2/KKl C dC sLV= K t Q da doc -+- K da^ dar l9

relative a la surface (0).

960. Or, dans la theorie du roulement de deux surfaces I surTautre, nous avons e*te amene a considerer differents re"s< trace's sur les surfaces (0), (0 { ) :

i Le reseau conjugue* commun. Gomme liquation poncti relative a ce reseau est la meme pour (0) el pour (0^, i] clair que cette equation admettra egalement les solutions x,y x\-> y\-> *i <pi sont ^ es fonctions lin^aires de X', X' u ---- i] le reseau conjugue commun a (%)et& (0^ sera aussicomi aux deux surfaces (S) et (Si ). Ce sera notre reseau III. Se mentj sur (0) et sur (0< ), ses invariants tangentiels ne sei plus necessairemenl egaux.

Liquation relative a ce re*seau doit admettre (n 933) la s< lion particuliere

qui se reduit ici a

2 Le reseau form^ de courbes pour lesquelles les courbi normales sont dgales et de meme signe. Nous avons vu (n 9 queces courbes sont telles que, sile centre instantand de"crit I'l d'elles, le mouvement se reduit au roulement d'une developpa sur une d^veloppable. Elles sont e*videmment definies par l^q tion diffe*rentielle

qui, en vertu des formules (24) et (a5), devient ici

da dx = o.

LES SYSTEMES CYCLIQUES. l53

Elles correspondent done aux lignes asymptotiques de (S) qui constituent notre reseau I.

Remarquons que (S) est homothetique a la surface milieu de (0) et de (0| ), c'est-a-dire au lieu du milieu du segment qui reunit les points correspondants de () et de (@<).

3 Enfin, si Ton faisait rouler sur (6 f ), non plus (0), mais la surface sym^trique, les conrbes pr^c^dentes seraient ^videmment remplacees par celles pour lesquelles les courbures normales sont egales et de signes contraires. L'equation diffe"rentielle

de ce troisieme reseau, en vertu des idenlites (24) et(ao), est identique a la suivante

On voit done que les courbes dont il se compose correspondent aux lignes asymptotiques de (S<), c'est-a-dire aux courbes de notre re"seau II.

Ainsi se trouvent d^finis g^om^triquement sur les surfaces applicables (0) et (<) les trois r^seaux du Chapitre III.

961. Revenons a nos syst^mes cycliques. Pour obtenir les points de contact de la sphere (Ui) avec son enveloppe, il faut joindre a son Equation (17) les deux equations (18) ou (19) de la cordede contact. Prenons, par exemple, les deux equations (18), constituees par l'egalit de trois rapports. En ajoutant les numerateurs et les d^nominateurs apres les avoir multiplies respectivement par X x\ , Y ^ y\ , Z z { , on trouvera un nouveau rapport

egal aux prcdents et dont le num^rateur est certainement nul pour le point de contact cherche. Si le de"nominateur de ce rapport est different de zero, il faudra que, pour le point de contact, les num^rateurs des trois rapports (18) soient nuls. On est ainsi

l54 LIVRE VIII. CHAPITRE VII.

conduit aux trois Equations

qui de*terminent Pan des deux points de contact cherches. Le second sera defini par les Equations analogues

X a?! ^Y Y-ji Z *i

de sorte que Pun et Pautre, conime il etait ais6 de le preVoir, se determinent t^ationnellement. Remarquons que le premier* est dans leplan tangent de (S), comme il re*sulte de Pequation

consequence des formules (27); et que le second est, de mme, dans le plan tangent de (S<). Nous expliquerons plus loin ce fait si curieux.

962. La sphere (Ui), que nous avons dte conduit a introduire dans la theorie prece"dente,'donne naissance a quelques propri^tds parmi lesquelles nous signalerons la suivante :

Les points ou elle coupe la droite d'intersection des plans tangents a (S) et a (S^ ) sont dans les plans focaux de la droite MM< quireunitles points correspondants de (S) et de (Si).

Mais nous pre"fe>ons insister sur le r6le qu'elle joue dans Pinversion composee,

Reprenons les formules donne*es au n 903 et qui definissent cette transformation. Etant donnas deux points M, MI dont les homologues soient M', M' f ; conside"rons les deux spheres (V) et (V 7 ) de*crites respectivement sur MM< et sur M'M^ comme diametres. Ces deux spheres sont les inverses Pune de Pautre relativement a Pinversion simple que Pon obtiendrait en supposant ; dans les formules (16) [p. 80], que les deux points distincts (x,y,z] ^( x \^yi^ z\) soient amends a coi'ncider. Admettons ce r^sultat dont la verification est aise*e : nous voyons qu'on peut en de"duire

LES SYSTEMES CYCLIQUES. l55

une reduction de Tinversion compos^e a 1'inversion ordinaire. En effet, pour dfinir Finversion composee par laquelle on transforme un systeme de deux points M, M M on decrira sur MM< comme diametre une sphere (V) et Ton prendra la transformee (V) de cette sphere dans une inversion ordinaire. Cette sphere (V 7 ) aura un diametre unique dont les extrmits M', M'< seront sur les droites OM^, OM qui joignent les points M M au p6le de Tinversion; et le segment M/M, sera celui qui doit correspondre a MM i9 dans 1'inversion composde telle qu'elle a ete definie au n 903.

II r^sulte de cette nouvelle definition que, lorsque Von appliquera V inversion composee auxdeux surfaces (S), (Si), on soumetfra en realite les spheres (U i ) a une inversion simple. 11 en sera done de mme pour les points de contact de ces spheres avecleurs enveloppes, pour les spheres de rayon nul qui ont leurs centres en ces points et, par suite aussi, pour les cercles qui composent le systeme cyclique derive de (S) et de (S^.

963. II sera evidemment tres utile pour les applications de pouvoir representer d'une maniere simple le roulement de deux surfaces applicables Tune sur Tautre. Or les resultats que nous avons donnes au Chapitre III nous conduisent, pour definir ce deplacement, a des formules de la plus grande simplicite.

Reprenons, par exemple, les equations (46) [p. 66] qui definissent la surface (Z { ). Si nous y remplaQons # 3 x { , . . . par leurs expressions (i4) en X 7 , X^, . . . , leurs seconds membres prennent la forme

Or ^crivons ces formules comme il suit

t- Y') + ^(Z; -h Z'), = Y; - Y' ai(Z\ -I- Z') 4- Cl (Xi -h X'), = Z\ Z A ^(X^ -t- X')

et consid^rons-y pour un instant X', Y', Z' et X' 4 , Y' u 2! { comme des coordonn^es variables, tandis que nous attribuerons des valeurs

j56 LIVRE VIII. CHAPITRB VII.

d<terminees aux deux parametres dont dependent #, x^ a { , Elles definissent e* videmment une substitution line'aire : cette si stitution represents un deplacement. Si on les r^solvait, f example, par rapport a X 7 , Y 7 , Z 7 , on retrouverait les formu celebres qu'Euler a donnees, le premier, dans les Nouvea ( Commentaires de Petersbourg et qui sont rationnelles par ra port a trois arbitrages (ici a^ b\, c<). Admettons ce prem] point que reconnaitront sans peine tons les lecteurs au courant la theorie des substitutions orthogonales. II est clair des lors qi si Ton fait varier les parametres qui entrent dans a { , b^ c^ x^ .,., on aura une suite continue de d^placements, ou mie un deplacement deux variables inde"pendantes. Ce deplaceme est precisement le roulement des deux surfaces (0), (% { )Vu. sur Vautre. C'est le roulement de (0) sur(j) si Ton consid les points (X ; , Y 7 , 2!) comme appartenant a la figure mobil c'est le mouvement inverse, si Ton considere au contraire comr mobile la figure qui est lieu des points (X, , Y, , Z'< ).

Pour etablir ce re"sultat essentiel, considerons X', Y 7 , Z 7 comr appartenant^ la figure mobile. Si nous remplagons, dans les fc mules (3o), X 7 , Y 7 , Z 7 par les valeurs (i5) qui correspondent a i point de la surface (0), elles nous donneront les valeurs (i5) 7 < X ; <? Y r n 2t\. Done deja le deplacement se produit de telle manie qu'a chaque instant le point de la surface (0), considered comn appartenant a la figure mobile, coincide avec le point correspo dant de (0i). Pour completer la demonstration, differentio totalement, avanttoute hypothese, les formules (3o). La premier par exemple, nous donnera

dT bi dl r = -rfx; ci ^Yi -h &! dZ\

pourvu que nous remplacions dx { par sa valeur deduite des rel tions (45) [p. 66]. Or, si nous substituons, dans cette relatk g^n^rale, a Y 7 , Y, , Z 7 , Z', les valeurs qu'elles acquierent pour point commun a (0) et a (6 4 ), les coefficients de db { , dc { dviennent nuls, et il reste la premiere des trois relations suivant

dL\,

LES SYSTEMES CYCLIQUES. l5j

les deux dernieres se deduisant de la premiere par de simples permutations circulaires. Or ces trois Equations, qui sont celles que Ton obtiendrait en differential les formules de transformation (3o) ou les coefficients seraient traites comme des constantes, expriment e"videmment que le point commun a (0) et a (& { ) a le meme deplacement en grandeur et en direction quand on le considere, soit comme appartenant a la figure mobile, c'esta-dire a (0), soit comme appartenant a la figure fixe, c'est-a-dire a (0*)- ^ es deux surfaces sont done applicables 1'une sur 1'autre, ce que nous savions deja; et le mouvement considere est le roulement de Tune sur 1'autre.

964. Les raisonnements qui precedent s'appliquent sans modification si, au lieu de prendre, comme point de depart, les formules (45) [p- 66] on emploie les formules (5) [p. 49]- On est alors conduit a la substitution lin^aire definie par les equations

^-cCXi-a?!)- (Y; -7)

toutes pareilles aux formules (3o). Seulement, par suite du changement de signe de X ; , Y', Z', elles ne representent plus un deplacement, mais une transformation parsym^trie relative a Forigine des coordonndes, suivie d'un deplacement. On demontrera comme pre*cedemment que, lorsque varient les parametres dont dependent a, #, x\, .. ., ces formules de'finissent le roulemeBt sur (@i), non plus de (0), mais de la surface symetrique ( ; ).

965. Les formules prcdentes permettent de verifier quelquesuns des resultats que nous a fournis la Geometric dans Pe*tude qui a fait Tobjet du Chapitre precedent. Appliquons-les, par exemple, a la determination des sjstemes cycliques que Pon pent faired&river da couple de surfaces applicables (0) 7 (0^. Si, dans les formules (3o), on attribue a X ; , Y', TJ des valeurs constantes quelconques, ellesfournirontles coordonnees X r Y' Z' { dupointsph^re qui coupe le plan de contact de (0) et de (0<) suivant le cercle (C), dont les diff&rentes positions engendrent le systeme cyclique cherche. Soit Ale point invariablement li^ la figure mo-

l58 LIVRE VIII. CHAPITRE VII.

bile : si, par ce point, on mene une droite iso trope cUtermine"e c'est-a-dire invariablement li^e au systeme mobile, les formules (3o) permettront evidemment d'ecrire les Equations de cette droite rapportee au systeme fixe; et le point ou elle coupera le plan de contact decrira une des trajectoires orthogonales du cercle (G). Ces trajectoires orthogonales se determineront ainsi sans aucune integration; mais, pour determiner aussi en termes finis les deux autres families qui composent le systeme triple il faudra pouvoir inte'grer liquation du systeme conjugue commun * (0) eta (00(0-

On obtiendra des re'sultats identiques en appliquant la m^thode precedente, non plus aux equations (3o),mais aux formules(3i).

Supposons, par exemple, quel'on veuille determiner le systeme cyclique obtenu en choisissant Porigine des coordonne'es comme point fixe du systeme mobile. II faudra, dans les formules de transformation (3o) ou (3i), introduire 1'hypothese

Les premieres (3o) deviendront alors identiques aux Equations (28) etfourniront par suite un premier point de contact de la sphere (U<) (n os 987, 961 ) avec son enveloppe. Les secondes (3i) deviendront de m^me identiques aux formules (27) et fourniront le second point ou la mme sphere (U< ) louche son enveloppe, Ce sera le point de contact defini par les formules (28) ou (3o) qui deviendra fixe dans Tespace lorsque la surface (0< ) se deformera de maniere a venir comcider avec (0). Ce sera au contraire le second, defini par les formules (27) ou (3i), qui deviendra fixe

(*) De 1& requite qu'a toute Equation line*aire du second ordre dont les invariants sont egaux on peut faire correspondre une infinite" de syst&mes cycliques dont les trois families se determineront par de simples quadratures. Gar on peut, a 1'aide d'une telle Equation, determiner une infinite" de couples de surfaces (S), (S,) et, par suite, (A,), (S t ), se correspondant avec orthogonality des e'l&nents lin&ures. Le couple de surfaces applicables de"duit de (A,), (SJ admettra, pour r&eau conjugue" commun, le re"seau conjugue" commun a (AJ, (SJ, c'est-a-dire, d'apresle Tableau de la page 72, le re*seau des lignes asymptotiques de (S). Orce re*seau est entierement connu; les parametres des lignes qui le composent sont les variables independantes qui figurent dans liquation lin^aire a invariants 6gaux prise comme point de depart.

LES SYSTEMES CYCLIQUES. l5g

si (@< ) se deforme de maniere a venir coincider non plus avec (), mais avec la surface syme'lrique (').

966. Nous pouvons maintenant expliquer de la mani&re la plus satisfaisante pourquoi ces deux points se trouventrespectivement dans les plans tangents de (S) et de (S,). D'apres les theories connues, le deplacement defini par les formules (3o) peut tre remplace", d'une infinite de manieres, par une translation finie et par une rotation, toujours la mme, dont 1'axe et la valeur absolue dependent uniquement des coefficients a,, b^ c { . Si Q dsigne la grandeur de cette rotation et X, pi, v les angles que fait avec les axes coordonne"s la direction positive del'axe de la rotation, on a, comme on sait,

a\ b\ Ci Q.

( 32) V = = = tang -

v ; COSA COS(JL COSV * 2

On voit ainsi que 1'ax.e de la rotation est perpendiculaire au plan tangent de (S<). D'apres cela, soient M, M < les points correspondants de (S) et de (S), P< le milieu du segment MM { . Si Pon raenej par 1'origine des coordonnees, une droite OP egale, parallele au segment M. { P < et de mime sens, il r^sulte des formules (14) et (i5) que les deux points P et P< decriront, Fun la surface (0), Fautre la surface (<) Pour amener les deux surfaces en contact on pourra, par une translation, amener P en P^ ce qui fera co'incider O avec M^ ; puis effectuer la rotation definie par les formules (82); et, comme 1'axe de cette rotation est videmment perpendiculaire au plan tangent en M< a (S^, elle laissera le point dans ce plan tangent.

Une demonstration identique s'appliquera au second point defini par les formules (27), pourvu que 1'on substitue a la surface (0) sa sym^triqne relative a 1'origine des coordonnees.

967. D'autres formules, qu'il ne sera pas inutile d'indiquer rapidement, permettent encore de d^finir le roulement de deux surfaces 1'une surl'autre.

Si Fon connait, par exemple, pour chacune des deux surfaces (0), (0^, les cosinus qui d&finissent, par rapport a des axes fixes, la position d'un triedre (T), rattach de la mtoe maniere

t6o LIVRE VIII. CHAPITRE VII.

a ces surfaces, il est clair que les formules

X' = x -H ax' -h by' -h c&', (33)

ou #, y, z designent maintenant les coordonn^es du point M de (6) qui est le sommet du triedre (T), et ou nous conservons, pour les cosinus, toutes les notations du Livre V, Chap. I et II, definiront le changernent de coordonnes par lequel on passe des axes fixes OX', OY 7 , OZ 7 auxaxes M#', My, Ms' formes par les aretes du tri&dre (T). Si Ton ^crit les formules analogues relatives a la surface (%\ )

X i = of i + ai x' -

iy* H- C L z',

relimination de x^ y'^ z f entre les deux systfemes precedents donnerales formules cherch^es qui d^finissent le roulement de () sur (i). Gette Elimination ne pr^sentc aucune difficult^, Fun et 1'autre systeme pouvant ^tre r^solus par rapport a ^', y 1 , z l : on obtient ainsi les formules

qui peuvent elles-m^mes 6tre resolues, soit par rapport a X', Y' Z 7 , soit par rapport a X 7 4 , YJ , Z', .

Si Ton veut, par exemple, trouver les systfemes cycliques qui correspondent au roulement de (0) sur (6^, il suffira d'^crirc les deux Equations suivantes :

ou A, &, / d^signent trois constantes, et qui repr^sentent, la proini^re un point-sphere invariablement li a (0), la seconde le

SYSTEMES CYCLIQUES. l6l

plan de contact de (8) et de (8 4 ), puis de substitaer les expressions de X 7 , Y', 27 en fonction de X' n Y' n Z' r

968. Une a utre mdthode tr&s simple peut encore tre suivie. Nous avons vu au Chapitre VI de ce Livre quelle importance ont, en Geometric, les sections de courbes ou de surfaces, rattach^es a la surface mobile (), par le plan de contact de (0) et de (8 4 ). On pourra les determiner comme il suit.

Soit, par exemple,

1'^quation d'une surface rattache aux axes invariablement lies a

(0). Cherchons sa section par le plan de contact. II est clair

qu'un point de ce plan est defini par des formules telles que les

buivantes

doc

jLr-, dv

ou X et [JL desigaent des arbitrages convenablement choisies; x, j-, s sont toujours les coordonnees du point de (0), exprim^es en fonction des variables u et v. Or, par la nature mme des arbitraires \ et JJL, on reconnait immcSdiatement que le point defini par les formules pr6c<dentes sera rattache aux axes invariablement lids a (8<) par les formules semblables

[JL conservent les rnemes valeurs. Pour obtenir la section cherch^e, il suffira done d'tSliminer X et [*, entre les equations precdentes et la suivante :

#4-A- -- HlAj-j

\ du ^ dp

La m^thode s'appliquerait ^videmment & une courbe. D. IV. ix

969. Jusqu'ici, dans I'etude des relations entre les syst<h cycliques et la deformation des surfaces, nous ne nous somi pas pr^occupe de la distinction a faire enlre les Elements r<eli les elements imaginaires. Par exemple, si deux surfaces ree roulent Tune sur 1'autre, les systemes cycliques deduits des po : relies a Tune d'elles (( H >) sont toujours imaginaires; les ceni des cercles correspondants a un point rel seront bien rels, n les rayons des cercles seront des imaginaires a carre negatif. moment est venu d'indiquer, en \ue des applications, commer faudra choisir les surfaces (6), (9 4 ) pour obtenir des systei cycliques entierement reels.

Les plans des cercles etant alors r6els, la surface (6<) est cessairement reelle. Voyons ce que doit toe (9), et, pour c reprenons les methodes et les notations du Livre V.

Soient /?, q, r, p { , q { , r l les rotations du triedre (T) relie a ( r et r\ seront r^eiles et exprim^es en fonction de 1'elerr lineaire, commeles translations , YI, ^, 'f\ { . D'ailleurs, si Tone bidere le cercle situe dans le plan tangent de (9), les coordonr ^, y de son centre sont reelles ainsi que son rayon p; et si ^Ifeve en ce centre une perpendiculaire egale a ip, le p< (x,y, 10) doit rester fixe dans Fespace quand le triedre (T dplace de maniere que son sommet derive la surface (0). ( nous donne les relations suivantes

-^4-r^-t- rx i>p = o, (40'

.do

parlesquelles on exprime que la vitesse de ce point estnulle f tout deplacement du triedre (T). Ces relations prouvent en ] mier lieu que les quatre rotations /?, ^, p\, q\ sont des imt naires pares. Mais alors les formules qui donnent les deri des neuf cosinus exprimees en fonction des rotations mont immediatement que Ton peut rapporter la surface (0) a des tels que tous les cosinus soient rels, sauf a", b' f , c, d qui se purement imaginaires. Done les coordonne*es X 7 , Y ; du p

LES SYSTEMES CYCLIQUES, j63

de (0) definies par les formules

dX!= aftdu-i-hdv)-*- b^du + r^dv),

dY' = a' ( da 4- 1 dv) -h '(-/) rfw -+- 75 1 dp)

seront reeiles tandis que Z', definie par la quadrature dZ' = <(& du, -H

sera une imaginaire pure iU l '. L'element lineaire de la surface sera de la forme

X',Y', Z^tanlrfels.

C'est ici le lieu de presenter la remarque suivante : lorsqne nous avons forme (n 704?) 1'equation a laquelle satisfait 1'une des coordonn^es X 7 , Y ; , 2/, nous avons indiqu^ que la forme quadratique

n'tait pas necessairement une somme de carrs. On voit que, lorsqu'elle se r^duiraa une difference de carres, on n'anra plus de surface r^elle correspondant a la solution X', niais on ponrra, si Ton connait deja une surface r^elle admettant Telement lineaire donne, deduire de la nouvelle solution des systemes cycliques

970. Au reste, lorsque I'on aura constitu un systeme cyclique reel, on pourra passer a tous ceux qui se rattachent au meme roulement par la construction reelle suivante, que le lecteur deduira facilement des remarques pr6sent^es au n 943.

Associons a chaque cercle (C) du systeme donn un autre cercle (C') de son plan, d^fini par la construction que voici. Aux points ou le cercle (C) rencontre deux surfaces determines a Pavance parmi toutes celles qui le coupent & angle droit, con-

( a ) Les formules (40, (4i)'peuvent servir debase & une tude analytiqtie tres simple de la congruence engendre*e par les axes des cercles dans un systeme cyclique.

j64 LIVRE VIII. CHAPITRE VII.

struisons ies tangentes, qui seront les normales a ces surfaces tr iectoires; puis menons un cercle (G 7 ) tangent a ces deux droil en des points qui soient toujours a la mthne distance de ceux ces droites touchent le cercle (C). En d'autres termes, determine le cercle (C 7 ) par la condition que deux des tangentes comraur a (C) et a (C') aient une longueur donn^e et que leurs points contact avec (C) soient sur denx surfaces trajectoires donnees mme cercle. Les differentes positions du cercle (C') engendi ront Tan quelconque des systmes cycliques cherches.

Les cercles (C 7 ) dependent de trois param&tres; les tangeni communes a deux cercles (C 7 ) differents, situes dans le mme pk les touchent evidemment, d'apres ce qui precede, en des poii qui decrivent une de lenrs surfaces trajectoires.

Dans toute cette theorie, il faut considrer les cercles comi ayant des rayons de signes determines, n'admettant qu'un s< centre de similitude et deux tangentes communes qui vont pasi par ce centre. Par exernple, si les cercles sont r6els, ce sera centre de similitude directe quand les rayons auront le m signe, etle centre de similitude inverse quand ils seront de sigi contraires. Cette theorie du signe du rayon est connue dep longtemps ; elle a servi de base a la theorie des cycles de Laguer Le lecteur pourra aussi consulter un M&naoire Sur les relatk entre les groupes de points, de cercles et de spheres dans plan et dans Vespace, insere par Tauteur en 1872 dans Tome 1, 2 e s&ie, des Annales de I'Ecole Normale.

971. Lorsque la surface (0) roule sur la surface (i), une veloppable isotrope (A), invariablement li^e a (0), coupe le p de contact de (0) et de (0<) suivant une courbe (R) dont les sitions successives engendrent une congruence. Nous avi vu (n 762) que ces positions successives sont normales a t famille de surfaces. Dans la Note ddj citee [p. 120] Ribauc< indique comme une propri^t6 nouvelle que cette famille de s faces est une famille de Lame, c'est-a-dire qu'elle fait pa: d'un systeme triple orthogonal. Mais cette remarque avait deja donnee depuis longtemps dans mon enseignement ? et To est conduit d'ailleurs avec la plus grande facility. Consid^rons effetles points-spheres ayant leur centre sur la d&veloppable (L

LES SYSTEMES CTCL1QUES. l65

ils coupent le plan de contact de (6) et de (Bj) suivant des cercles (C') tous tangents a (K); et si Ton considere un pointsphere determine A, la trajectoire du point de contact de (K) et du cercle (C 7 ) qui correspond a A est pr6cisment une surface (S') normale a (C ; ) et, par suite, a (K). Supposons maintenant que le point de contact de (0) et de (,)se deplace suivant une des courbes du systeme conjugu6 conimun. Le point de contact du cercle (C') et de (K) decrira une ligne de courbure de (S'). Ainsi il existe deux series de displacements dans lesquels chaque point de (K) d^crit une ligne de courbure de la trajectoire orthogonale. En d'autres termes, on pent associer les courbes (K) en deux families diff^rentes, de maniere a constituer un systeme triple orthogonal.

972. On peut completer encore ces rsultats en remarquant que Ton obtientainsi tous les syst&rnes triples orthogonaux dans lesquels les surfaces de Tune des deux families (et, par suite, de deux families) aient leurs lignes de courbure planes dans un systeme. Voici comment nous demontrons cette reciproque.

On doit a Ribaucour la proposition generate suivante, relative aux systemes triples orthogonaux :

Lorsque Von connait un systeme triple orthogonal, les cercles osculateurs aux courbes d' intersection des surfaces appartenant a deux des families du systeme, aux points oil ces courbes rencontrent une surf ace quelconque de la troisieme famille, forment un systeme cy clique ( j ).

(>) On peut d&nontrer cette proposition par la Geometric de' la maniere suivante : Soil (S) une surface quelconque appartenant a la premiere famille et soit (K) la courbe d'intersection de deux surfaces (S a ), (S s ) appartenant respectivement a la deuxieme et a la troisieme famille. Si Ton construit les deux spheres tangentes a (S a ) et a (S 3 ) respectivement, et contenant le cercle osculateur (C) de (K) au point M ou cette courbe rencontre la surface (S), ces deux spheres auront pour centres respectivemenl les centres de courbure principaux de (S 3 ) et de (S 3 ) relatifs a la ligne (K). Par suite, lorsque le point M decrira la ligne de courbure de (S) qui se trouve sur (SJ, la premiere sphere enveloppera uue surface qu'elle touchera suivant les positions successives du cercle (C) (n 752). II en sera de meme pour la seconde sphere quand le point M decrira 1'intersection de (S) et de (S 3 ). On voit done que les cercles (C) peuvent etre associ^s en

On peut completer celte proposition par la suivante, qui n'est pas moins utile, et dont la demonstration sera mieux a sa place dans une (JbuSorie des syst&mes orthogonaux.

Reciproquement, etant donnee une famille de surfaces construisons les cercles osculateurs aux courbes trajectoires orthogonales de ces surfaces, aux points oil ces courbes rencontrent une surface quelconque de la famille; la determination de ces cercles est toujours possible et n'exige nullement ^integration des equations difference lies des trajectoires orthogonales. Cela pose, si les cercles osculateurs ainsi deftnis forment toujours un systeme cyclique, la famille de surfaces consideree est une famille de Lame.

Ces propositions 6tant admises, donnons-nous a priori un syst&me orthogonal dans lequel les surfaces (S 2 ), (S 3 ) de la deuxieme et de la troisieme famille se coupent suivant des courbes planes (K). Soit (A) Tune des deux developpables isotropes passant par (K) : si M est un point de (K) et M' le point correspondant de Parle de rebroussement de (A), la sphere de rayon nul ayant son centre en M' coupera le plan de (K) suivant le cercle (C), osculateur en M. Toutes les positions de (C), relatives aux points M ou les courbes (K) rencontrent une des surfaces (S) de la premiere famille, constituentun systeme cyclique, d'apres le theoreme de Ribaucour. Pour tous ces syst&mes cycliques, les enveloppes de spheres (E 2 ), (E 3 ), qui forment la deuxi&meet la troisieme famille, coupent sous le m6me angle le plan de Pune quelconque des courbes (K) ? cet angle etant celui sous lequel ce plan est coup par Fune ou Pautre des surfaces (S 2 ) ou (S 3 ) qui contiennent cette courbe. Or, considerons la surface (0? en veloppe des plans des courbes (K) : si elle se deforme en entrainant dans ses plans tangents les courbes (K) et leurs cercles oscula-

deux families d'enveloppes de spheres (E 3 ), (E s ) qui se coupent & angle droit puisque, 6tant orthogonales a (S), elles coupent cette surface suivant ses diffe"rentes Jignes de courbure. Les surfaces (E 3 ), (E 3 ) se coupant de plus suivant une des positions du cercle (G), c'est-a-dire suivant une ligne de courbure, il existera une troisirne famille de surfaces, dont (S) fera partie, qui seront normales aux positions successives du cercle (C) et qui completeront le systeme triple orthogonal.