LES SYSTEMES CYCLIQUES

teurs, les surfaces trajectoires (S) des courbes (K) se transforment dans les trajectoires orthogonales (S 7 ) des nouvelles positions de ces courbes (n 760); les cercles osculateurs a ces courbes, aux differents points de chaque surface (S), deviennent les cercles osculateurs en tous les points de la surface correspondante (S'); et, comme Us ne cessent pas de former des systemes cycliques, il resulte de lareciproque e*noncee plus haut que les nouvelles trajectoires (2} forment toujours line famille de Lame. Ainsi toutes les propriety's pre'ce'dentes subsisteront sans modification. Or il existe une deformation () de (,) dans laquelle tous les cercles (C) de Fun des systemes cycliques precedents viennent se placer sur une meme sphere de rayon nul ayant son centre en un point determine* de Farte de rebroussement de la developpable (A). Les enveloppes de spheres (E 2 ), (E 3 ) relatives a ce systeme se reduiront toutes a cette sphere de rayon nul et couperont, par suite, le plan de la courbe (K) sous un angle dont la tangente sera i. Get angle etant le me'me pour tous les autres systemes cycliques formes de cercles osculateurs a la courbe (K), il resultera de la que, pour chacun de ces systemes, les cercles viendront se placer sur une mme sphere de rayon nul et que r par suite, toutes les developpables isotropes circonscrites aux courbes (K) auront la me'me arte de rebroussement et viendront se confondre avec Tune quelconque d'entre elles. C'est la proposition qu'il s'agissait d'e"tablir (').

973. Les relations geome'triques qui resultent de Fe*tude precedente nous permettent de constituer sans aucune integration les systemes orthogonaux dont Fexistence vient d'etre etablie des

( l ) Les systemes orthogonauxdanslesquels une des trois series de trajectoires orthogonales est composee de courbes planes ont die* consideres pour la premiere fois par M. 0. BONNET dans un Mdmoire sur les surfaces orthogonales, ins^r6 par extrait en 1862 aux Comptes rendus, t. LIV, p. 554 et 655. La mSthodfr suivie par Imminent geom^Lre exigeait encore certaines integrations; mais il 1'a comple'te'e depuis en la faisant connaitre dans son enseignement, bien qu'il n'ait rien toit depuis 1862 sur ce sujet. En 1890-1891, M. BIANCHI a fait paraitre au t. XIX des Annali di Matematica, p. 177, un MSmoire intitu!6 : Sui sistemi tripli ortogonali che contengono una serie di superficie con un sistema di linee di curvatura piane, ou la determination de ces systemes orthogonaux est faite de la maniere la plus complete. A la m6me e"poque, dans notre Cours sur