REPRESENTATION SPHERIQUE. SOLUTION COMPLETE DU PROBLEME
Emploi des coordonnees tangentielles a, p, 5. Reduction du probleme de la representation spherique a 1' integration d'une Equation aux derives partielles du second ordre dont les invariants sont egaux. Les caracteristiques de cette equation sont les hgnes de courbure de la surface. Rapprochement entre les deux surfaces qui conduisent a la meme equation du second ordre, Tune pour le probleme de la deformation infiniment petite, Pautre pour le probleme de la representation spherique. On retrouve la transformation de contact de M. Lie. Notions gene'rales sur une classe etendue de transformations de contact. Application & celle de M. Lie. Recherche des surfaces pour lesquelles on sait resoudre le probleme de la representation spherique. On demonlre que, lorsqu'on sait resoudre ce probleme pour une surface (S),on peut le resoudre, a 1'aide d'une simple quadrature, pour toutes les surfaces inverses des surfaces (S') admettant merae representation spherique que (S). Ce procede, applique aux surfaces qui correspondent a Pequa-
tion -r = o, fournit toutes les surfaces reelles pour lesquelles on peat
obtenir la solution complete du probleme. Demonstration analytique de ce resultat. Complements donnes aux developpements du Livre IV, Chap. VII.
974. Pour approfondir les relations que nous avons signalees entre les deux problemes de la representation sphdrique et de la deformation infiniment petite, nous ferons connaitre ici une methode analytique, differente de celle qui a ete d^veloppee dans le Ghapitre precedent, et par laquelle on ramene la determination de toutes les surfaces admeltant une representation spherique donn^e a Finteg-ration d'une Equation lindaire du second ordre dont les invariants sont egaux.
Nous avons vu (n 165) que, si Ton prend liquation du plan tangent a une surface (S) sous la forme
5 etant une fonction des variables a et j3, les lignes de courbure
de la surface sont de'finies par 1'equation differ en tielle f%\ dp d& dq r p = o,
ou p 1 et q f designent les de'rive'es de I- prises par rapport a a et a p. Si done on cboisit comme variables independantes les parametres p et p< des deux families de lignes de courbure, on aura n^cessairement
^ ' dp dp dp dp ~~ ' dpi dpi dpi dpi ~~
En appliquant la mthode du n 867,* on pent remplaeer ces deux relations par les deux systemes
dpi dp^
dp dp
dp
ou X 2 designeune fonction auxiliaire. Cette fonction sera^videmment connue d&s que la representation sph6rique sera donnde, car alors a et p seront des fonctions connues de p et de p d . Si done on veut determiner toutes les surfaces admettant la representation sph^rique donne, il faudra determiner les solutions les plus generates p' et q 1 du syst&me (5); puis, la fonction 5 s'obtiendra par la quadrature
Or, le systeme (5) est pr^cis^ment de la forme que nous avons consideree tant de fois (n os 391, 868); et nous savons que son integration complete se ram&ne a celle d'une equation ^ invariants egaux definie par la condition d'admettre comme solution parti-
culi^re soit \ soit r II est done etabli que la solution du pro-
bleme de la representation spherique se ramene, comme celle duprobleme de la deformation infiniment petite, a V integration d'une equation lineaire & invariants egaux. Seulement, les caracteristiques de cette equation aux de*rives partielles sont, dans le premier cas, les lignes de courbure et, dans le second cas, les lignes asymptotiques de la surface. Nous allons voir qu'en
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essayant de rattacher Tune a Pautre les deux surfaces qui conduisent, dans ces deux problemes differents, a la meme Equation aux derive"es partielles, on relrouve la transformation de contact deja signalee plus haut (n os 157, 168) que nous devons a M. Lie.
975. Determinons, en coordonnees cartesiennes, une surface (S) paries formules suivantes
d'ou Ton deduit
dz = d% p' dv xdp'^ y. dp' + g' d$, ou encore
(8) dz ^dx-^q 1 dy.
Si Ton considere z comme fonction de x et dejK, et si, suivant Tusage, on designe ses derivees premieres par/? et q, on voit que Ton aura
Rapproch^es des pr^c^dentes (7), ces relations conduisent a I"identit6
( 10) dp' dy. dq* d$ dp dx dq dy,
d'ou il resulte que les lignes de courbure de la surface (S) correspondent aux lignes asymptotiques de la surface (S). Mais nous voyons de plus que les deux systemes (4) et (5) relatifs a la surface (S) se changeront dans les suivanls
