ID
dp l
-r -rdp d?
identiqueSj anx notations pres, a ceux qui ont die donnes an n 867 [p. 21]; de sorte que la solution du probleme de la deformation infiniment petite de (S) et la determination de tontes les surfaces admettant la meme representation spherique que (S) se ramenent a Finte'gration d'un meme systeme lin^aire de la forme
suivante
du ,&> du , 9 dv
(<3) cJ^Vp' ^-^
c'est-a-dire a Integration de 1'equation lin^aire
] 6 'dpJp'i ~~ X dp d^'
976. II ne sera pas inutile d'indiquer ici les form ales qui permettentde passer de la surface (S) a la surface (S). SoientX,Y, Z les coordonnees rectangulaires du point de (S) ; elles sont d6finies paries equations (n 165)
XH-iY
X iY H-pZH-/? f =o.
Si Ton y remplace a, p, , JE>', gr 7 par leurs expressions tirees des formules (7) et (9), on trouvera le systeme
d'ou Ton lirerait X ? Y, Z en fonction de x, y, s, p 9 q. Ces formules caracterisent pr^cis^ment la transformation de M. Lie, et les deux premieres, qui ne contiennent pas les drivees p et q de z, contiennent implicitement La troisi&me, d'apres la theorie des transformations de contact. Nous allons rappeler rapidement sur quels principes repose la theorie de la transformation prece"dente; et pour cela nous conside*rerons d'une mani^re gen^rale toutes les transformations de contact que Ton peut rattacher a la consideration de deux. Equations de la forme suivante
Ces relations etablissent une liaison entre les coordonnees #, y, z et X, Y, Z de deux points m et M de 1'espace. Si le point m est donn6, le point M est assujetti a se trouver sur une courbe (C) ; et si Ton a donn6 le point M, le point m est assujetti a se trouver
REPRESENTATION SPHER1QUE. 178
sur une courbe (c). Suivant que Ton y considers x, y^ z ou X, Y Z comme des constantes, les deux equations precedentes representent la courbe (C) ou la courbe (c).
D'apres cela, si le point m est assujetti a decrire une surface ($), les courbes (C) qui Itii correspondent de'pendront de deux parametres et engendreront une congruence qui admettra une surface focale (S). Faisons corresponds (S) a ($) de telle maniere qu'an point m de ($} corresponde Tun quelconque des points M ou la courbe (C) correspondante touche la surface focale (S), c'esta-dire en definitive un des points focaux de (C). Nous aurons ainsi de"fini la transformation de contact que Ton peut rattacher aux deux Equations (17); etil est aise de voir que cette definition subsiste lorsqu'on e* change les deux points M et m. Pour abreger, nous nous contenterons de donner la demonstration analytique.
977. Supposons que le point m deprive une surface (s) et soient alors p et q les derive'es de z conside're'e comme une fonction de x et de y* A chaque point de (s) correspond une courbe (C) definie par les equations (17); et, pour avoir les points focaux de cette courbe, il faut joindre a ces deux Equations les suivantes ( D 3)
dx
dx
C/CDi , vOi 7
-rfi d?r H dz = o, 0# 07 O^J
qui nous donneront, en remplagant d!s par sa valeur p dx et eliminant le rapport de dy a dx,
-qdy
Cette Equation, que Ton peut mettre sous la forme plus syme*trique
dx
d dz
doit tre jointe aux deux pre'ce'dentes (17) et permettra de determiner X, Y, Z en fonction de # , y : z, p, q. Le point M qui correspond a m sera ainsi defini.
Mais alors diffeVentions totalementles equations (i 7) et fonnons la combinaison efo \d^ ou \ de'signe la valeur commune des rapports (ig)- En tenant compte des Equations
qui dfinissent cette variable auxiliaire \ on aura identiquement
ou, en designant par P et Q les derivees de Z conside're'e comme fonction de X et de Y et remplacant dZ par P d& + Q dY
X et Y e'tant des variables ind^pendantes comme #, y, on aura done
Ces equations, jointes aux precedentes (17) et(ai), permettront de determiner Fun des deux groupes de variables #, y^ s, p, q ou X, Y, Z, P, Q en fonction de 1'autre. Comme elles se composent de la mme maniere avec ces deux groupes de variables, la reciprocity que nous avions signalee se trouve ainsi ^tablie.
978. Appliquons ces notions gene'rales, que nous nous contentons de signaler a grands traits, au cas particulier des deux equations
REPRESENTATION SPHERIQUK. 175
Ici la ligne (G) est toujours une droite isotrope. La ligne (c) qui correspond au point M(X, Y, Z) est une certaine droite appartenant a un complexe lineaire H que Ton definit comme il suit :
Si Ton adopte les definitions du n 139, la droite lieu du point (#>,/> 5 )j definie p ar I GS formules precedentes, aura ses six coordonnees definies a un facteur pr&s par les relations
et, par suite, elle appartient necessaireinent au complexe H d^fini par Tequation
II faudra joindre aux deux equations (a3) les suivantes
d'ou Ton deduit les deux sjstemes
qui sont r^solus respectivement par rapport aux deux groupes de variables.
On voit que, si a un point in correspond un seul point M, au contraire a un point M correspondent deux points m. Cela tait Evident a priori par la Geometric. En eflet, lorsque le point m decrit une surface (S), la droite qui lui correspond engendre une congruence; mais, comme cette droite est isotrope, elle a un seul point focal a distance finie. C'est cet unique point focal qui corres-
pond an point m. Au contraire, si M dcrit une surface (S), la droite qui lui correspond engendre une congruence dans laquelle elle admet deux points focaux. Les deux nappes focales ainsi oblenues, qui, Tune et Pautre, correspondent a (S), sont polaires reciproquespar rapport au complexe lin^aire auquel appartiennent Loutes les droites (c).
979. Ce n'est pas ici le lieu d^tudier, avec tout le soin qu'elle mrite, Piraportante transformation de M. Lie, Nous nous contenterons d'en indiquer settlement certaines propriety's, dont nous aurons a faire usage; et, en premier lieu, nous demontrerons la plus imporlante de toutes pour les applications : A une droita de Vespace (m) la transformation fait correspond/^ une sphere de Vespace (M).
On peut etablir cette proposition par les considerations gomtriques suivanles, qui en font bien comprendre 1'origine.
Soit (d] la droite donnee dans Pespace (m) et soit (d^ sa polaire reciproque par rapport au complexe H. Toutes les droites qui rencontrent (d) et (d { ) appartiennent, comme on sait, a ce complexe. Aux diff^rents points de (d) et de (d^) correspondent des droites isotropes dans Pespace (M) ; de plus, les droites isotropes qui correspondent a un point 772 de (a?) et a un point m { de (^) se coupent n^cessairement au point de Fespace (M) qui correspond a la droite mm^ du complexe H. II est ainsi tabli que les droites isotropes correspondantes, soit aux points de (oT), soit aux points de (rff), engendrent une mme surface qui, etant doublement r^glee, ne pourra ^tre qu'une sphere.
Si la droite (d) appartient au complexe H, elle se confond avec (di) et, par suite, les deux systemes de generatrices recti- Jignes de la sphere se confondent. La sphere pr^c^dente se r^duit a un point. Ce point est celui qui, dans Tespace (M), correspond a la droite (d);
Le lecteur verifiera tons ces r^sultats par le calcul, en employant les formules (28) a (29).
980. D'apr^s cela, si nous connaissons dans Tespace (m) une congruence rectiligne, il lui corresponds, dans Pespace (M), un syst&me doublement infini de spheres. Aux points focaux de
REPRESENTATION SPHERIQUE. 177
chaque droite de la congruence correspondront les deux points ou chaque sphere louche 'son enveloppe. De sorte que, des congruences rectilignes pour lesqueUes les lignes asymplotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale, la transformation de M. Lie permet de deduire des families de spheres admettant une enveloppe a deux nappes sur lesquelles les lignes de courtage sont aussi des lignes correspondantes. Au Livre IV, Chapitre XV, nous avons etudie un grand nombre de proprietes de ces enveloppes de spheres; et, en particulier, an n 483, nous avons deja mdique* comment la transformation de M. Lie permet d'en dednire des congruences rectilignes pour lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes focales.
Nous avons vu au n 481, Livre IV, Chap. XV, que, pour obtenir des enveloppes de spheres a lignes de courbure correspondantes, il fautr^soudre leprobl&me de la representation spherique pour une surface donnee. Nous avons vu d'autre part (n 888) que, pour trouver les congruences a lignes asymptotiques correspondantes sur les deux nappes focales, il faut rsoudre, pour une surface, le probleme de la deformation infmiment petite. La transformation de M. Lie nous permet d'^tablir un parallelisme, un lien etroil et direct, entre tous ces resultats.
981 . Puisque cette transformation fait correspondre aux spheres de 1'espace (M) des droites de 1'espace (;?i), tonte transformation dc Pespace (M) qui conservera les spheres donnera, dans Fespace (m), une transformation conservant les lignes droites. Considcrons, en particulier, dans 1'cspace (M), une inversion accompagnee de d^placeitient, il lui correspondra dans 1'espace (m") une transformation homographique conservant le complexe H; car les droites de ce complexe, qui correspondent a, des points de 1'espace (M), doivent n6cessairement rester correspondantes a des points ct, par consequent, ne cesseront pas d'appartenir au complexe H. Or, nous avons tabli (Chap. IV de ce Livre) que, lorsqu'on sait r^soudre le probl&me de la deformation infiniment petite pour une certaine surface, on sait leresoudre aussi pour les surfaces homographiques. Transportant ce r^sultat a 1'espace (M), nous voyons que :
Si Von sait resoudre le probleme de la representation sphe- D. - IV. 12
ing LIVRE VIII. CHAPITRE VIII.
rique pour line surface (S), on sail le resoudre aussi pour toutes les surfaces qui derivent de (H) par une inversion.
Cette proposition, qui a de nombreuses applications, s'etablit d'ailleurs directement de la maniere la plus simple. II suffit de remarquerque, pour une surface (2), le probleme de la representation sphe'rique equivaut a la determination des systemes cycliques dont les cercles sont normaux a (2). finonce sous cette derniere forme, il devient Evident que le probleme, re*solu pour une surface donnee, Test par cela me'ine pour toutes les surfaces inverses a Paide d'une simple quadrature (n 9SO).
982. Puisque la solution du probleme de la representation spherique pour une surface (2) se ramene a 1'integration d'une equation lineaire a invariants egaux, il semble que toute recherche soit lermine*e; car nous connaissons toutes les Equations de ce genre dont Integration peut tre efFectuee. Mais si Ton veut distinguer, comme cela est ne'cessaire pour les applications, entre les surfaces reelles et celles qui sont imaginaires, il se presente une difficulte que nous allons examiner, d'une maniere complete, en terminant ce Chapitre.
Reprenons la me"thode developp^e an n 974. Liquation qu'il faudra integrer sera la suivante
dp dpj X dp dpi
ou X est defini par Tune ou 1'autre des formules (4). Or, pour un point re"el d'une surface reelle, a et p sont des variables imaginaires conjugue"es. Et, par suite, \ sera une imaginaire de module, egal a i. Nous sommes done conduits au probleme d'Analyse suivant :
Par mi les equations de la forme
; - dpd pl
determiner celles qui admettent une solution de module i et quipeuvent, en outre, &tre int6grees~
Considdrons, parexemple, 1'equation la plus simple de la forme
REPRESENTATION SPHERIQUE. 179
pre"cedente
Si Ton y substitue
elle se decomposera dans les deux suivantes
d 2 co __ dco dco __
dp dpi qui donnent Tune ou 1'autre des trois solutions suivantes
a designant une constante, / et/< des fonctions reelles. Le resultat est tres simple; mais, pour les autres Equations integrables de la forme (3i), il ne parait pas se presenter aussirapidemenl.
983. Avant de continuer, voyons quelles sont les surfaces qui correspondent aux valeurs pre"cedentes de X. Soit d'abord
(33) * = /fl -
Les Equations (4) ? 3^i d^finissent la representation sphenque, deviennent ici
dp dpi
En faisant tourner autour de 1'axe des s, on pourra reduire a zero la constante a; ce qui donnera
On a done
Si #, y, z de*signentles coordonnees du point de la representation spherique, on a
X 8o LIVRE VIII. CHAPITRE VIII.
de sorle que les Equations precedences deviennent
La representation spherique se compose de deux families de cercles orthogonaux. Tous les cercles d'nne meme famille se ent au oint
touchent mutuellement au point On a ici
dp dp,
et Ton -retrouve les surfaces a lignes de courbure planes dans les deux systemes, considerees au n 104 et definies par les equations (12) [I, p. i3ij.
Si Ton prend maintenant Fune des autres solutions
on pourra toujours, en e*changeantj s'il est necessaire, p et p t et choisissant convenablement le parametre p, la r^dnire a
La seconde equation (4) nous donne alors par Tmtegration
ou
Remplacant a et ji par leuDS valeurs (34), nous trouvons
Les courbes de parametres p sont done des cercles qui passeut
par le point fixe
On obtient sur la sphere le systeme orthogonal qui est 1'inverse d^un systeme plan forme" par des courbes paralleles et par leurs normales communes. Les surfaces qui 1'admetteiit pour repre"sentation spherique ont e"videmment leurs lignes de courbure planes dans un systeme ; mais elles ne sont pas les plus generates de cette definition.
REPRESENTATION SPHERIQUE. l8l
984 Apres avoir examine, parmi les Equations de la forme (3i), la plus simple de celles que Pon sait integrer, il nous reste a resoudre le probleme propos pour toutes les autres. Nous allons indiquer comment on peut y parvenir. Voici d'abord la traduction o-eometrique des operations analytiques que nous aurons a executer.
Soit une surface (S) pour laquelle on sait resoudre le probleme de la representation spherique et designons par (S') la surface la plus generale, dependante de deux fonctions arbitrages, admettant raeme representation spherique que (S). Le probleme de la representation spherique est le mme pour (If) et pour (S). Done on saura le r^soudre pour (S') et, par suite aussi, d'apres une proposition indiquee plus haul, pour la surface (S") qui est Finverse de (S 7 ). Repdtant sur cette nouvelle surface (2") les memes operations que sur (S), on pourra iniroduire deux nouvelles fonclions arbitraires et poursuivre indefiniment 1'application de la me"thode. Toutes les operations indiquees pourront ^tre efFectu^es dans Tespace reel et donneront alors des surfaces reelles si la premiere estreelle. II reste seulement a etablir que cette suite d'operations, appliquee, par exemple, aux. surfaces qui correspondent a Pequation (32), nous fournira toutes les solutions reelles du probleme de la representation spherique. En tenant compte des formules qui de*finissent Tinversion dans le systeme de coordonnees tangeutielles (a, (3, ) (^), le lecteur reconnaitra ais^ment que les considerations analytiques developpees dans les numeros suivants se rattachent directement aux constructions ge*om6triques que nous venons d'indiquer.
98o. Soit
une equation lineaire du second ordre donn^e; nous supposerons que les variables independantes x ety soient reelles et que 1'e-
(*) Ces formules se deduisent tres simplement de celles qui oat 6te donates au a 174 et se rapportent a un systeme de coordonne"es l^gerement different.
quation admette une solution particuli&re (38) o) = ^ 9 ,
de module egal a Funite. Nous allons monlrer d'abord comment OQ peut d^duire de cette equation un nombre illirnite d'equations de mme forme, admettant comme elleune solution imaginaire de module egal a Punil.
An n 390, ou nous avons etabli le th^oreme de M. Moutard^ nous avons vu que, si 5 designe une solution de 1'equation (3j) la fonction cr, definie par la quadrature
satisfait a Tequation
ou $ designe le symbole defini au m^nie n 390. Comme 1'equation proposee (87) peut s'ecrire
ou voit que les deux equations (87) et (4o) se d^duisent Tune de Pautre par le cliangement de i en i] par suite, elles admeltront la premiere la solution <T O , la seconde Ja solution ^ , ^ et <T O d^signant les imaginaires conjuguees de s et de <r. Mais nous allons ^tablir un r^sullat plus precis et montrer que Ton peut, d'une infinite de manieres, choisir la solution z de telle maniere que or soit dgale a Z Q .
En efFet, la quadrature qui d^finit a- peut ^tre remplacee par les deux relations suivantes
qui nous donnent
REPRESENTATION SPHERIQUE. l83
par le changement de i en /, entrainant celui de (o en Nous
aurons done
r [ d<r ^to\ , / dcr c)co\
(44) "0=7 ("aJ-'^sj^"-^^-^
de sorte que la formula (3g), qui subsistait quand on y remplagait z, cr, co par cr, js, ? demeurera encore valable lorsque, sans
Changer to, on y remplacera , cr respectivement par o- , Z Q . En ajoutantetenretranchant successivement les deux equations (3g) et (44) on peut done conclure que, si Ton emploie au lieu de z 1'une ou 1'autre des deux solutions suivantes
(45) sp-horo, i(x <r )
de Fequation (87), la quadrature (89) nous fournira au lieu de cr les deux solutions correspondantes
(46) CT-H^OJ &"(<r * )
de 1'equation (4o) 3 solutions qui sont, dans les deux cas, imaginaires conjugu^es de celles d'ou on les a deduites. Comme on ne peut pas avoir en mme temps
on voit que, dans Pun au moins des deux systemes de solutions ainsi obtenus, les valeurs de z et de cr ne seront pas nulles, ce qui demontre la proposition enonce*e.
>. Cela pose*, employons non plus la solution o>, mais la solution , pour passer, suivant la methode de M. Moutard, de liquation propos^e (87) a une autre Equation
que Pon saura intgrer en m^me temps que la prerni&re. D'apres les relations (4^), on verra facilement que Pon a
et par consequent liquation prcedente (47) admettra la solution
particuliere
(49) Z==to J'
qui, elle aussi, est de module <%al a Funite" toutes les fois que u est Fimaginaire conjuguee de x.
$7. Ainsi, ily a une infinite de solutions de liquation (3n) ; Temploi permet de passer & de nouvelles Equations conservant
dontl
la propriety d'admettre des solutions imaginaires de module egal a runite*. II nous reste a demontrer que la me'thode precedente pourra fournir effectivement et completement 1'ensemble des Equations qui admettent de telles solutions. Pour etablir ce resultat, nous remarquerons tout d'abord que, applique'e a une equation pour laquelle la suite de Laplace est limited, la me'thode employe"e donnera generalement des equations pour lesquelles le rang de la solution (n 335) s'elevera de plus en plus.
Prenons, en effet, comme solution de passage la combinaison suivante
(5o) z' = z -+ O-Q-H ai(z <T O )
des deux solutions (45), a ddsignant une constante. Pour
ai = i,
on a
et comme z est la solution la plus ge'nerale de liquation (87) 1'emploi de la solution 2 permettra certainement de passer a une equation de rang supe*rieur. Puisque le rang s'eleve par Pemploide la solution de passage s', pour la valeur particuliere i de <2 } il ne pourra rester le me*me, ou s'abaisser, que pour certaines valeurs particulieres de a; et ? par suite, la solution definie par Tequation (5o) fournira, pour une infinite de valeurs reelles de a, une Equation nouvelle
ayant une solution ge*ne>ale de rang supe*rieur. Si Ton pose
REPRESENTATION SPHERIQUE. l85
cetle equation admettra evidemment la solution imaginaire ^-r de module egal a Punite.
Si nous pouvons etablir maintenant que Ton pent toujours, en choisissant convenablement , non plus elever, mais abaisser le rang de la solution, nous aurons montre" par cela mnie que toutes les Equations cherchees derivent, par voie de recurrence, de celle que nous avons etudiee au n 982. Mais, pour mettre hors de doute ce point essentiel, nous avons a rappeler et a completer diverses notions donnees auLivre IV et plus parti culierement au Chap. VII de ce Livre.
