X X' ... XJ Y Y

/y. /yi' /y(0 v V 7

ou 1'on a m = i 4- / + i , 011 X, Y designent des fonctions arbitraires, dependant respectivement de x et de y seulement. N est une fonction determine'e quelconque, les XH dependent de x et les yk de y seulement; de plus les XH sont des fonctions lineairement independantes ainsi que les y^ Aux n os 341, 342, nous avons indique quelques propri^tes des expressions de la forme generale (5a) qui s'annulent quand on remplace le couple (X, Y) par le couple (^, yh)* Nous ajouterons ici la remarque suivante. Supposons que Ton ait trouve pour la meme equation (E) deux formes distinctes de Tintegrale, la premiere

(53) ^^ la seconde

on passera de Tune a 1'aulre par nne substitution de la forme

X = AX - Y = BYo-H

ou A est une fonction de #, B une fonction de y et ) H , ). 2 > *,\ m des constantes quelconqnes.

Pour le de*montrer nous remarquerons que, si Ton passe de Pequation (E) a celle (E/), qui termine la suite de Laplace du cot6 positif, la premiere forme de Tintegrale donnera pour liquation (Ej) une integrate

zt = HX -H KY H- Kt Y' -h . . . 4- K m ! Y^-D et la seconde forme de Fintegrale donnera de mme

figalant ces expressions differentes de si et remplacanty par une valeur conslante quelconque, on aura