X = AX -H AI

A et Ai dependant de x seulement.

En consid^rant de mme 1'equation (E y), on demontrera que 1'on a

B el B, etant des fonctions de y.

Si done, pourabreger, on pose conformement a une notation deja employee (n os 368 et 394)

5= /(X)H-cp(Y),

on devra avoir, en substituant les valeurs de X, Y et galant les deux, expressions de z

et cela pour toutes les expressions possibles des fonctions arbitrairesXo, Y . Si Ton donne successivement des valeurs nullesa ces deux fonctions liquation pr^c^dente se de'composera dans les

REPRESENTATION SPHERIQUE. 187

trois suivantes

/(AX )=/o(X ),

Les deux demises d^termineront les symboles/ , g fl . Quant a la premiere, d'apres le*resultat demontre au n 342, elle montre que A i? Bi sont des combinaisons lineaires a coefficients constants

des fonctions Xh>yh* La proposition enoncee se trouve ainsi demontree.

Si Ton effectue, dans Texpression (62) de 5, la substitution dejfinie par les formules (55), elle conservera sa forme generate, nous 1'avons deja demontre (n 341 )j et il est clair que les iiouveaux couples avec lesquels elle est formee (^, y%) se deduiront des anciens (%h<>yh) par la substitution

de telle sorte qne, si Ton a, dans les deux formes de 1'integrale XA=XM la fonction A se r^duira necessairement a une constante et Ton aura

Nous ferons plus loin usage de cette remarque.

989. Revenons maintenant aux equations a invariants ^gaux et rappelons la methode donnee au Livre IV, Chapitre VII (n 394). Nous avons vu que, si Tint^grale g^n^rale de liquation (87) est donnee par la formnle

(60) =/i(X)+/,lY) l

ou nous conservons toutes les notations adoptees au n 394, et si Ton emploie la solution to ayant pour expression

(60 W^/UXO-H/.CYO,

l88 LIVRE VIII. CHAPITRB VIII.

la fonction a- definie par la quadrature (89) est d terming par la formule

2 fx ?1 (Xi) dx H- % fY cp 2 (Y,) dy.

Aux proprtetes que nous avons ^tablies, nous aliens ajouter quelques relations nouvelles, D'apres la formule (3g), wo- doit se reduire a une constante lorsqu'on fait s = co, c'est-a-dire

Le second membre de liquation (62) devra done se reduire a zero pour une determination convenable des deux int<%rales tant que ces integrates ne disparaitront pas toutes les deux. En egalant a z^ro les parties qui subsistent lorsqn'on annule s^parement Y ou X, on obtient les deux* formules dj a connues (n 396)

II reste alors la suivante qui est nouvelle

Si, dans la premiere des formules (63), on remplace X par X + XX< , X designant une constante, on trouvera, en egalant les coefficients de \ dans les deux membres, la relation suivante

Remplagons X, par x t , en nous rappelant que Ton a (n 396) (66) *i(*/> = o.

REPRESENTATION SPHERIQUE.

II viendra

En tenant compte des identites (64) et (66), on peut ecrire

Nous prendrons, par suite ( 6 9 )

et de mme (70)

de sorte que ces deux dernieres formules, jointes aux deux prece*dentes (63), determineront la valeur precise que nous attribuerons toujours aux integrates

lorsque nous les rencontrerons dans la suite du raisonnement.

990. Cela pose', restons encore dans les generalites et supposons que les fonctions p^ (X<), <p 2 (Y<) soient differentes de zero. L'expression de cr s'annulera quand on remplacera

rX ?1 (XO^ = X et

respectivement par le couple (i , i) et par les suivants dx, J\i Tl (YO rf/j , [y/ 9 t (Xi) &?, Jyt

L'int^grale <r sera de rang superieur & z et nous retrouvons le resultat d6ja indiqud au n 396, en indiquant seulement ici d'une maniere plus precise comment il faut determiner les quadratures pr6c6dentes.

Supposons maintenant que la solution co soit telle que Ton ait,

r g LIVRE VIII. CHAPITRE VIII.

par exemple

Alors il viendra ponr X 4 ime combinaison lindaire a coefficients constants

de ^ , tf o, . . - , # TO , et comme on pent, sans changer w, retrancher de Xj cette combinaison lineaire, a la condition de retrancher \ { y { | . . . j- \ m y m de Y< , on pourra supposer

Xj = o.

Alois, si 1'on pose

Texpression de o- s'annulera quand on y remplacera le couple (X, Y ) des fonctions arbitraires par les suivants

Mais comme le premier element du dernier couple est nul, Tanaljse developpee au n 341 permettra, en substituant a Y la fonction

de r^duire cette expression de or a une forme nouvelle admettanl seulement les couples suivants

qui sont en m^me nombre que ceux de et, en outre, composes du meme premier element. Done, si Ton determine le rang d'une Equation d'apr&s celui de sa solution g&n^rale, liquation a laquelle satisfait o- est de mme rang que la proposee (37).

991. Supposons enfin que la solution CD soit telle que Ton ait &

REPRESENTATION SPHERIQUE. igl

la fois

on pourra encore supposer que Ton ait

Mais, de pins, Y< sera une solution de la seconde equation (71) que Ton pourra prendre pour representer le second <l&nenty, du premier couple. Faisons done

L' expression de 3- sera d6barrassee de toutsigne de quadrature. Si Ton pose

ft sera une constante en vertu de la formule (70). PourX=#i, Y=J/YJ on trouve

Pour X = o, Y == y { , on a

o)cr= an,

a- s'annulera done quand on y remplacera le couple (X, Y) par les suivants

quisont en mime nombre que ceux de s et, ici encore, composes du mme premier Element.

Si a\ \ ^tait nul, le rsultat pr^c^dent n'aurait aucun sens, mais nous avons vu (n 396) que, dans ce cas, o- est Tint^grale generale d'une Equation de rang inf^rieur.

992. Nous venons de computer notre th^orie du Livre IV, Chap. VII, relative au passage d'une equation a une autre par Pemploi du theoreme de M. Moutard. Appliquons les resultats obtenus au cas sp6cial ou o> est une solution imaginaire de module egalaPunite. Alors, comme o-satisfait a 1'dquation imaginaire conjugu^e de la propos^e, il faudra que o- soil de mime rang que z,

jg-2 LIVRE VIII. CHAPITRE VIII.

et, par suite, que CD satisfasse au moins a Tune des conditions cpi(Xi) = o, c ?2 (Y 1 ) = o.

Supposons done

Xi = o.

Si Ton a de plus

on peut affirmer quelaconstante a i{ ne sera pasnulle, sans quoioserait de rang inferieur a , ce qui est impossible. Done, dans tous les cas, les couples dev auront les memes premiers elements x^ que les couples de z.

Dans la solution ainsi trouvee pour o- changeons i en z; nous trouverons evidemmentla solution generate de Tequationen z\ et, d'autre part, les premiers ^Idments x^ de chaque couple seront remplaces par leurs conjugues x\. Done la solution ge'ne'rale de liquation en z peut tre mise sous une forme dans laquelle les premiers elements des differents couples sont les x\.

Considerons les deux Equations differ en tielles auxquelles satisfont, d'une part, les fonctions x^ et, d^autre part, les fonctions x\* 11 suit de la remarque que nous venous de faire et de la th6orie dveloppe plus haut (n 988) que Ton obtiendra les differentes solutions de la seconde en multipliant celles de la premiere par une certaine fonction <p (x\ Done, si Xh est une solution de la premiere, Xh^(x] sera une solution de la seconde. D'autre part, les solutions particuli&res des deux equations etant deux a deux imaginaires conjugates, la conjuguee ^<p (a?) de Xh(%) [?o(^?) etant la fonction conjuguee de cp(#)] sera une nouvelle solution de la premiere et enfin x\ cpo(^) ?(^) sera une nouvelle solution de la seconde. On peut conclure de la que, ^tant donnee une solution quelconque de Tune des deux equations lineaires, on en trouvera une nouvelle en la multipliant par la fonction, re'elle et positive,

Cela exige ^videmment que 6 (a?) soit une constante. II sera permis de la prendre e'gale a I'unit6, et Ton aura, par consequent,

f(x) etant une fonction r^elle de x.

REPRESENTATION SPHERIQUE. jg3

La premiere equation lin^aire admet done, en mme temps que la solution x h -> la suivante

Or si, dans Pexpression gen^rale de 3, on remplace la fonction arbitraire X de x par Xe~V far >, toutes les solutions x h de la premiere equation lin^aire seront multiplies par e*/te); de sorte que cette premiere equation admettra maintenant, en m^me temps, les deux solutions

qui sont imaginaires conjuguees Vune de Vautre. On peut evidemment remplacer ces deux solutions imaginaires par les deux solutions r^elles form^es de la partie reelle et de la partie imaginaire de Tune d'elles. Et Ton voitainsi que Ton peut ramener la solution g^nerale z de Fequation aux d^rivees partielles a une forme pour laquelle les premiers elements XH de chaque couple sont tous reels.

993. Ce r^sultat essentiel tant ^tabli, adoptons pour s la forme dont nous venons de demontrer 1' existence et bornons-nous a considerer les solutions z* pour lesquelles on a

X etant une fonction arbitraire reelle. Alors, comme on a

Xt = o,

pour la solution o>, la formule (62) est ddbarrass^e de tout signe de quadrature etnous donne pour o- une expression de la forme

qui renferme, jusqu'au mme ordre que dans;:', les d&rivees de la fonction arbitraire X. Si Ton y change i en z", on aura

et, d'apres la proposition etablie plus haut, & la fin du n 988, on pourra e*crire

D. IV. i3

rg4 LIVRE VJII. CHAP1TRE VIII.

a etant ime constante. De la, on deduit

etant la consLante conjugate de a.

Gela pose, liquation

admettra, d'apres ce que nous avons vu, la solution on, en sup-

primant le facteur constant a , la solution ^ qui esl encore de module egal a i, comme to.

D'aulre part, en prenantpourX, dans laformule (74), une solution particuli^re reelle de 1'equalion lin^aire

qui annnle 1'integrale quadratique de cettc Equation lindairo, ce qui est toujours possible (n 8 374et396), puisquc toutcs les solutions particulieres XH de cette Equation sont rcellcs et lin&urcmcnl independantes, on sera assure de passer, par l'inlcrm<5diaire de * \ & une Equation aux. d^riv^es partiellcs de rang infcrieur a la proposee. Ainsi se trouve compl^tee notre demonstration : Unites les Equations admettant des solutions de module 6gal & 1 'unite 5 pcuvcnt se d^duire par recurrence de celle quc nous avons considerec au n 982.

994. II ne sera pas inutile d'indiquer an moins unc applicalion de la m^lhode de recurrence que nous venons d'titudicr, Prenons, comme point de depart, Fcquation

et la solution, de module

de cette equation. Soit z 1 une autre solution quelconque ct <r' la fonction definie par la quadrature

REPRESENTATION SPHERIQUE. ig5

Dans le cas special que nous consid^rons, o-' satisfera encore a liquation (^5). II faut tout d'abord metlre si sous une forme telle que </ soit sa conjuguee. Pour cela, il n'y a qu' appliquer la methode generate donn6e plus haut (n985) etl'onreconnaitainsi qu'il faut prendre z f sous la forme

ou X, Y d^signent des fonctions reelles de x et de y respectivement. On pent prendre alors

(79) <r' = X'-iX lY,

ct 1'on pent passer a une Equation de rang superieur.

L'emploi de la solution^' conduit a Pequation de second rang

/Q v Stv v

qui admet la solution particuli^re de module 6gal a

X' e'Xz'Y

et dont Pintcgralc gdn^rale sera defmie (n 395) par la formule

j^o+^Yo __ XJ__ YJ *"" '-"- *--' 7>

ou X , Y d(5signent deux nouvelles fonctions arbitraires de^r et dejx*. La solution o) correspond aux determinations suivantes de ces fonctions

(83) X = X'e te , Y =o.

Pour pouvoir continuer, il faut mettre ces fonctions X , Y sous une forme tclle que la fonction or, d^finie par la quadrature

/ ft v

soit la conjugu^e de s. Pour cela, il faut calculer d'abord <r. En vue des applications ult^rieures, nous indiquerons meme comment on calculerait la fonction 6 definie par la quadrature

yg6 LIVRE VIII. CHAPITRE VIII.

s f etant, comme 3, une solution de liquation (80) correspondante aux determinations X, , Y< de X et de Y ,

II n'y a ici qu'a appliquer sans modification la m^thode indiquee an n 394. Posons

- [x'+iX-hiY (X"-4-iX') 2 J

on aura

(88) ~=/i(Xo)-H/ 2 (Y ),

et Ton trouvera

d logs'

2 r r [d z '\ 7 i /* v / ds'

% sera la solution generale de liquation (90

et Ton y fera disparaitre les quadratures par les changements de notation sisouvent indiqu^s.

Supposons que z 1 se r^duise & to et, pour cela, remplagons X<, Y, 5 paries determinations (83) donnees plus haut. Nous aurons

REPRESENTATION SPHERIQUE. 197

alors

6 sera alors 6gal a cr, ce qui donnera

II faut maintenant choisir X , Y de telle maniere que o- soil la conjuguee de z ; c'est le resultat que Ton obtiendra en prenant pour Y une fonction reelle de y, el en substituant a la place de X Pexpression

ou X 2 est une fonction arbitraire reelle de x.

Aiors Femploi de la solution z permettra de passer a 1' equation de troisieme rang

qui admettra encore une solution de module egal a 1'unite.

II est essentiel de remarquer que, conformement a la proposition du n 394 ? on peut faire disparattre, par un choix convenable des fonctions arbitrages, tout signe de quadrature dans la suite des calculs.

Pour obtenir toutes les Equations de second et de troisieme rang, admettant des solutions de module ^gal a Tunite, il |udrait encore employer les solutions

deTequation (75). Mais ces solutions se deduisent de celle que nous avons choisie, soit par un changement de notation, soit par le passage a la limite.