CHAPITRE IX
Premiere application des me'th.odes pr6cedentes. Rappel des formules propres b determiner les surfaces admettant une representation sph6rique donnee. Recherche des surfaces a. lignes de courbure planes dans un systeme. Elles correspondent toutes a des Equations a invariants 6gaux pour lesquclles la solution est de premier ou de second rang. Methodc dc recherche directe : theoreme general qui permet de les determiner tres simplcmcnt au moyen de trois developpables dont 1'une (A) est isotrope et les deux auires (D), (D,) applicables 1'une sur 1'autre avec correspondance des g6n6ratrio.es rcctilignes. On de*duit de cette proposition que, si une ligne dc courbure plane est un cercle, toutes les autres sont des cercles, que si une d'elles csl algcbrique, toutes les autres le sont aussi, etc. Mise en ccuvre de la generation preccdente. Galculs et constructions geometriques propres & determiner la surface reclle la plus generale ^ lignes de courbure planes, sans aucun signe de quadrature.
99S. Avant de passer aux applications desr^sxiliats analytiqucs obtenus au Chapiire pr^c^dent, rappclons en quclques mots les r6sultats obtenus. Pour ne pas multiplier les changements de notation, supposons que #, y soienl les paramitrcs des lignes de courbure et jouent le r61e des variables p, p 4 du n 974. Les surfaces qu'on peut rattacher une memc equation
dx dy '
pour laquelle on a x^esolu les problemes analytiques pnScddcnls, pourront tre ddfmies de la mani&re suivante. Si Ton d<5signe par ^5 z 1 deux solutions quelcouques de liquation, mises sous la forme pour laquelle les fonctions imaginah'cs conjugudes a, <r ; sont d^finies par les quadratures
Cf , ds *<\j t <>* *<\ ,
to dtant toujours la solution de module egal & 1'unit^, on pourra prendre, en rapportant la surface au systeme de coordonnees tan-
gentielles a, [i, !-,
CO
Ges deux formulcs d^finiront la representation sphdrique des ligncs de courbure. Puis on fera dc mme
U) p'= (Off, q'^ ~.
Lcs variables a cl (3 (Slant imaginaires conjuguees ainsi que p r el*/', on pourra obtenir une infinites de determinations rdelles de ct la surface sera 1'cnveloppe du plan defmi par Tdquation
(6) ( aH .p)XH-i(p a)Y-h(ap OZ-h5=so,
ou tout cst coimu et d'oCi 1'on pent faire disparaitre tout signe de quadrature, Kappelons less relations
^ s dx dp' __ f)<7'
*^ 5a? ' dx ~~ to '
c?at dp' d<j'
i)y dy dy
tout a fuit equivalentes aux formulcs (a).
996. Nous avons dcji\ rccounu (n 983) qne Tequation la plus simple dc la forme (i) correspond a des surfaces b lignes de courbure planes particuliires, caract<5ris6es par cette propriety que les cercles qui scrvcnl dc roprescnlaliou spheriquc aux lignes dc courbure planes passcnl tons par un point fixe. Proposoris-nous maintenant de dtffinir les surfaces u lignes de courbure planes les plus ' ' " Nous allons voir qu 1 cllcs correspondent toutcs a des Equations pour Icsqucllos la solution est de premier ou de seconding*
D<Ssignons par x le paramfclro des lignes de courbure planes dc la surface. Ea tons les points d'unc do ccs lignes, le plan tangent dcvra faire un angle constant avcc le plan de la ligne, c'est-4-clire
avecune droite dontles paramtres directeurs d^pendront uniquement de x. En exprimant cette condition, on sera conduit a une equation de la forme
#o, #<> #2? #3 d<signant des fonctions de x* Au reste, cette equation exprime que la representation sph^rique de la ligne de courbure est un cercle. En changeant les notations et remarquant que # 3 ^2 ae saurait tre nulle quand les axes sont quelconques, on lui donnera la forme plus simple
# , %\>> %z ^tant toujours des fonctions de x\ quand la surface serareelle, les deux premieres seront conjugates et la troisieme reelle. t
DifFerentions cette equation par rapport a y. En tenant compte
delaseconde fo rmule (7 ) et remarquant que -^ ne pen t tre nulle,
nous aurons
et de la, on d^duit, # 2 n'etant jusqu'ici definie que par son carre,
La premiere de ces equations peut s'ecrire
(10) Z ? = # to -1- # 2 *j
nous sommes ainsi conduit a exprimer que 1'equation (i) admet deux solutions z ! ^ co relives par la relation precedente.
A cet effet, substituons dans cette Equation (i) la valeur pr&dente de z r . En tenant compte de ce que co est deja solution de liquation, ce qui donne
dxdy "~ 7 il vient
Portons la valeur de dans le premier membre de la relation precedente, il viendra
dx \ ar' Q )
ou, en excluant Thypothese & = o, deja examinee (n 983),
II n'y a plus qu'a substituer cette valear de to dans la formule (12) pour obtenirla condition
a laquelle doit satisfaire k. Cette condition exprime ^videmment (n 330) que Pequation correspondanle doit tre de second rang.
997. Nous avonsvu (n 389) que la valeur la plus generale est la suivante
de sorte que, en remplacant -4 par X 3 , la valeur de to va devenir
Cette valeur devant avoir un module ^gal a i, il faudra que Ton ait
X 2 , Y 2 , X 4 etant les fonctions conjuguees de X 1} Yj, X 3 respectivement.
En donnanl a x une valeur quelconqtie, on reconnait imm^diatement que les fonctions Y 2 , Y < sont en relation homographique. On pourra donner a cette relation homograpliique la forme
si Ton remarque que Fexpression (i5) de k ne change pas (n 24) lorsqu'on soumet X. i , Y< a une mme substitution line*aire a coefficients constants. Ainsi Ton pent supposer que Y, soit une f onelion reelle.
Mais alors il faut evidemment choisir pour co Pexpression definie par Pequation (Si) du Chapitre precedent; et Ton aura, en appliquant les resultats analytiques dun 994 et supposant, ce qui est Evidemment permis, Y reduit a y par un changement de notations,
Pour crire d'une manire rapide les valeurs de a, (3, //, q ! , introduisons les notations
,X"-HjX' / ,X"-)-fX'y
O if O Zi - I jt __ r/ __ ___ __^^^ I
X'-i~ t'X -H i./ X /7 -i- iX'
zr
et dsignons de ni^me par A^, ^ 2 les symboles obtenus 'en changeant i en /. On aura, X < etant une fonction reelle ?
puis, X 2 et Y< 6tant encore des fonctions reelles,
Les deux premieres relations feront connaitre la representation spherique. II faudra ensuite calculer ?, qui sera d^finie par la formule (5)ou Ton substituera les valeurs prec^dentes de a, j3,//, q*> II restera encore a donner aux fonctions reelles X 2> Y< une forme telle que toute quadrature disparaisse de 1'expression de 5-
On voit que les surfaces a lignes de courbure planes dependent de quatre fonctions arbitraires X, X< , X 2) Y< . Elles sont done loin d'etre les plus g^n^rales parmi celles qui correspondent a liquation du second rang et qui dependent, en realit^, de cinq fonctions
arbitrages, a savoir : X, deux fonctions figurant dans la representation spherique et deux autres dans les expressions de p ! et de cf .
998. Sans faire Petude approfondie des surfaces a lignes de courbure planes, auxquelles M. Rouquet a consacr6 un Memoire des plus remarquables, deja cite [I, p. 1 14], nous ferons connaitre une proposition qui les concerne et qui se rattache directement aux resultats du n 972. Cette proposition peul s'enoncer comme il suit :
Etant donnee une surface (S) a lignes de courbure planes dans un systeme, soit (D) la developpable enveloppe des plans des lignes de courbure. Supposons qu'elle se deforme de telle maniere que ses generatrices, demeurent rectilignes, etqifelle entraine les lignes de courbure planes dans ses differents plans tangents; il existera une trans/ormee (Dj) de (D) pour laquelle toutes ces' lignes de courbure viendront se placer sur une meme developpable isotrope (A); les lignes de seconde courbure venant alors coincider a9ec les generatrices rectilignes de la developpable (A).
Pour demontrer cette proposition, nous commencerons par examiner ce que devientla surface (S) lorsqu'on deforme lad^veloppable (D) de telle mani&re que ses generatrices demeureut rectilignes. Si Ton designe par la lettre (C) les lignes de premiere courbure, situees dans les plans tangents de (D) et par la lettre (Cj) les lignes de seconde courbure, il est clair que les tangentes aux lignes (C), aux points ou elles sont rencontrees par une mme courbe (d\ ), engendrent une developpable dont Parte de rebroussement (Ki) est trac^e sur la developpable (D); de sorte que chaque courbe (Cq) est une developpante de Tarte de rebroussement (K^ qui lui correspond. Cette relation entre (K<) et (Cj) ne se modifie nullement quand la d^veloppable (D) se deforme en entrainant dans ses plans tangents les courbes (C). On reconnait done immediatement que, dans la nouvelle surface (27) engendr^e par les positions nouvelles des courbes (C), surface qui correspond point par point a (S), les lignes de premi^re et de seconde courbure correspondent respectivement aux lignes de premiere et de seconde courbure de (S).
M. Ronquet a fait grand usage de la proposition que nous venons d'etablir et qui est due a Ribaucour (*). Elle ne nous est pas indispensable; mais elle aidera le lecteur a mieux comprendre le raisonnement suivant.
