Soient (j^. 88) (C)une des lignes de premiere courbure
Fig. 88.
de (S), M un quelconque de ses points, M! un point infiniment voisin de M pris sur la ligne de seconde courbure (Cj) qui passe en M, P la projection de M' sur le plan de (C). Soit QQ' la gen&ratrice de contact du plan de (C) avec la d^veloppable (D), R le point oii cette generatrice louche Parte de rebroussement (R) de cette d^veloppable ; de sorte que cbaque point R et, par suite, chaque plan tangent de (D) sera d<termin6 par Pares de (R) compte a partir d'une origine fixe prise sur (R). Le plan de la ligne de premise courbure (C') qui passe en M' correspondra, par exemple, au point R'de Tarte de rebroussement, de sorte que Tangle des deux plans contenant les lignes de premiere
courbure qui passent en M et en M' sera gal a > ds designant Faccroissement RR 7 de s et- 6tant la torsion de (R) en R. MT
C 1 ) RIBAUCOUR, Sur les courbes enveloppes de cercles et sur les surfaces enveloppes de spheres. (Nouvelle Cor res parlance mathematique, t. V et VI; 1879-1880).
est evidemment egal & cet angle niultipli par la distance de Tun des points M ou P a la droite d'intersection QQ' des deux plans osculateurs respectivement en R et en R'. Si done p designe la distance du point M a la tangente QQ' en R, on aura d'abord, en negligeant les infiniment petits du second ordre
Cela pose*, considerons le triangle rectiligne MM'P : il est rectangle en P, son angle en M ne differe que de quanlites du second ordre de Tangle cp que fail en ce point M la surface (S) avec le plan de (C). On peut done e'crire
M'P = PM tango;
et, si Ton porte cette valeur de M'P dans la relation precedente,
il vient
p ds
Telle est la relation que nous voulions etablir. En voici maintenant les consequences.
1000. Supposons d'abord que le point M se deplace sur la courbe (C); le premier membre de la relation prece'dente demeurera invariable, puisque Tangle <p est le me'me pour tous les points de la courbe (C), d'apres le tlieoreme de Joachimsihal. II en sera done de inline du second membre, qui devra se reduire par consequent a une fonction de la seule variable s. On aura done les deux egalites suivantes
; tango = /($), (21)
La seconde s'interprete geometriquement de la maniere la plus simple. II est evident par la geometric que si Ton de"forme la developpable (D) de telle maniere qu'elle vienne s'appliquer sur un plan, celui de la courbe (C) par exemple, le point P sera a une distance infiniment petite du second ordre de celui ou vient s'appliquer le point M'. La seconde relation precedente donne
done une propri6te de la famille de courbes sur laquelle viennent s'appliquer dans le plan les lignes de premiere courbure. A chacune de ces courbes (C), maintenant toutes situ^es dans le mme plan, correspond une droite QQ' ddterminee. Et, pour chaque point de la courbe (C ) infiniment voisine de (C), ily a un rapport constant enlre la distance a la courbe (C) et la distance & la droite correspondante QQ'. Cette propriete geV metrique conduit a une Equation aux d^riv^es partielles, qui a e"l6 form^e et integree de la maniere la plus elegante par M. Rouquet. Laissant dec6te Tetude de cetteint^ressante question, revenons a la premiere des relations pr^c^dentes
Ttangcp =/(*).
Elle nous montre immddiatement que, lorsqu'on deforme la developpable (D), Tangle <p varie de telle maniere que le produit Ttangcp demeure constant. Au lieu de considerer Phypotaese ou la d6veloppable (D) se rduit a un plan, supposons qu'on la deforme de telle mani&re que 1'on ait, en chaque point de 1'arSte de rebroussement,
T=J/(S), il viendra alors
tangtp =q=z.
Et, par consequent, Tangle du plan tangent a la surface et du plan de la ligne de courbure deviendra infini. Ce dernier plan, 6tanl osculateur a Tarete de rebroussement de la d^veloppable dans sa nouvelle position, ne sera pas isotrope. II faudra done que le plan tangent a la surface le soit. Done la surface a lignes de courbure planes (S) aura ete transformee en une de9eloppable iso-
De tout ceci r^sulte done le theorerne suivant :
Pour obtenir toutes les surf aces a lignes de courbure planes dans un systeme, on construit une developpable isotrope quetconque (A) et une developpable non isotrope (D<). On deforme ensuite (D^ de telle maniere que ses generatrices demeurent rectilignes et que ses plans tangents entrainent les courbes suivant lesquelles Us coupaient la developpable (A). L'en-
semble des courbes ainsi entrainees constitue la surface la plus generale a lignes de caurbure planes dans un systdme ( f ).
En reprenant le point de vue cUveloppe au Chapilre VI, on peut enoncer le theoreme sous la forme suivante :
Pour obtenir les surfaces precedentes, on prend deux developpables (D), (D,) applicables I'une sur Fautre avec correspondance des generatrices rectilignes. Si Von fait rouler la developpable (D, ) sur la developpable (D) de telle maniere que le contact ait lieu & chaque instant entre tons les points des generatrices correspondantes, toute developpable isotrope (A) invariablement liee d (D { ) sera coupee par les plans de contact successi fs suivant les lignes de courbure de Vune des surf aces cherchees.
1001. Alors meme que ces theoremes ne conduiraient pas, comme nous allons le voir, a une methode rapide de recherche des surfaces a lignes de courbure planes dans un sysleme, ils permettraient au moins d'expliquer de la maniere la plus satisfaisante certains fails, ayant quelque chose de paradoxal, qui se pre*sentent dans cette theorie.
On sait, par exemple, que, si une des lignes de courbure planes est un cercle } toutes les autres sont des cercles; que, si elle est algebrique, toutes les autres sont algebriques; que les lignes de courbure ne peuvent tre toutes des coniques differentes du cercle, etc. Tous ces faits s'expliquent immdiatement par la remarque suivante, qui est e'vidente.
(*) Cette proposition, donne'e depuis longtemps dans mon enseignement, s'applique m6me aux surfaces pour lesquelles les plans des lignes de premiere courbure passent par une droite fixe. En effet, on doit attribuer en general une valeur nulle a la torsion d'une courbe plane; mais il faut remarquer cependant que, si cette courbe se re*duit a une droite, la torsion devient ind^terminde. Si Ton associe a chaque point de cette droite un plan de'termine' passant par la droite, il est clair que la torsion prend en chaque point une valeur de'termine'e, dependant d'ailleurs de la loi suivant laquelle on a associe les plans passant par la droite aux points de cette droite.
Dans le cas ou les plans des lignes de courbure enveloppent un c6ne, il suffit de choisir une variable autre que s.
Des qu'une ligne de courbure plane est donn&e, on connalt par cela mime la developpable isotrope (A), qui doit etre circonscrite a cette courbe en meme temps qu'au cercle de I'infini. Par consequent toutes les autres lignes de courbure ne peuvent etre que des sections planes de cette developpable, parfaitement connue.
Si Tune des lignes de courbure est un cercle, la developpable isotrope se decompose en deux points-spheres. Done toutes les autres lignes de courbure sont des cercles.
Si Tune des lignes de courbure est algebrique, il en est de mme de (A) et, par suite, de ses sections planes quelconques.
Si Tune des lignes de courbure est une conique differente d'un cercle, (A) est en general du 8 e ordre; mais elle peut se reduire au 7 e , an 6 e , au 5 e et meme au 4 e 5 si son arete de rebrousseinent est une cubique gauche. Dans ce dernier cas seulement, la de"veloppable contient une famille de coniques; mais elles sont situe"es dans les plans tangents de la developpable, qui sont tous isotropes. Done il est impossible que toutes les lignes de courbure soient des coniques.
Voici les principes qui peuvent guider, si 1'on recherche tousles cas dans lesquels les lignes de courbure sont algebriques et d'un degre determine*.
Une surface reglee algebrique indecomposable etant donnee, si certaines de ses sections planes se decomposent, elles se composent uniquement d'un certain nombre de droites et d'une courbe algebrique indecomposable.
Si les lignes de courbure planes sont d'un degre" determine ft, il est necessaire que la developpable isotrope circonscrite a Fune de ces lignes se decompose en deux developpables symetriques par rapport au plan de la courbe, c'est-a-dire que la ligne soit ce que Laguerre a appele une courbe de direction.
Nous nous contenterons de signaler ici les deux hypotheses qui paraissent les plus simples. II existe une de*veloppable isotrope du 5 e ordre que Ton peut de*finir comme il suit. Elle est circonscrite a la courbe du 3 e ordre definie par les Equations
et elle esl Fenveloppe du plan
1UX y(l W 2 )-
Tous les plans definis par Fequation
ou z est consider^ comme un parametre variable, la coupent suivant les deux generatrices qui correspondent aux valeurs , it du parametre et suivant une courbe du 3 e ordre; de sorte que la d^veloppable admet une famille de sections du 3 e ordre, qui pourront devenir les lignes de courbure d'une infinite de surfaces de la nature de celles que nous cherchons. Comme les plans de ces sections sont paralleles & une droite, on ne pourra obtenir que des surfaces pour lesquelles ces lignes de courbure du 3 e degre seront distributes dans les plans tangents d'un cylindre d'ailleurs quelconque. C'est a cette classe qu'appartient la surface minima d'Enneper, 6tudiee au n 207.
Considerons encore la cubique gauche isotrope definie par les Equations
La developpable isotrope dont elle estTar^te de rebroussement est Tenveloppe du plan d^fini par I'equation
2, ifi
{26) (l M 2 )2?H- 1Uy->ri(l-*rlP)Z'+- - - = O.
Elle admet pour sections planes des courbes du quatrieme ordre a trois points de rebroussement qui pourront devenir les lignes de courbure planes d'une infinite* de surfaces.
1002. La ge*nration des surfaces a lignes de courbure planes, telle que nous 1'avons donne"e plus haut, permet encore de r^soudre assez simplement une question que M. Caronnet s'est proposee dans un travail recent (* ). On connait deja une premiere serie de
(*) TH. CARONNET, Sur les surfaces dont les lignes de courbure d'un systeme sont planes et egales ( Comptes rendus, t. GXVII, p. 842; 1898). D. - IV. 14
surfaces a lignes de courbure planes pour lesquelles toutes les lignes de courbure planes sont gales. Ce sont les surfaces moulures de Monge : elles correspondent au cas ou la developpable (D ) qui intervient dans la g^n&ration indiquee plus haut se reduirait a un plan. Mais parmi les autres surfaces a Hgnes de courbure planes, parmi celles dont toutes les lignes de courbure planes sont des sections differentes d'une mme developpable iso trope y en a-t-il pour lesquelles ces lignes de courbure soient toutes gales? La question revient evidemment a la suivante.
Existe-t-il des developpables isotropes admettant une famille de sections planes toutes superpo sables?
Ou encore :
Existe-t-il des de'veloppables isotropes dont l'arte de rebroussement ne cesse pas de coincider avec elle-mme quand on luiimprime une serie de d^placements dependant d'un parametre variable an moins?
II est clair que, si Varte de rebroussement ne se reduit pas a un point, elle doit tre necessairement une helice isotrope tracee sur un cylindre circulaire droit.
Cette remarque explique et fait pre*voir tous les r^sultats obtenus par M. Caronnet. Nous n'entrerons pas dans le detail, nous contentant de signaler ici le cas particulier le plus elegant. La developpable admettant pour arte de rebroussement 1'helice isotrope tracee sur un cylindre circulaire droit est coupee par tout plan passant par 1'axe de ce cylindre suivant une tractrice ou courle aux tangentes e gales.
Soit, en effet, M un point de Thelice isotrope. La sphere (S) inscrite au cylindre suivant le parallele qui passe en M coupe le plan secant suivant un cercle (C) ayant mme centre que la sphere. D'autre part, elle contient la tangente en M a 1'helice isotrope, tangente venant couper le cercle (C) en un point M' qui^ d^crira la section cherchde. Or, le plan osculateur de I'h6lice, c'est-a-dire le plan tangent a la developpable (A) dont elle est Tarte de rebroussement, est le plan OMM7 qui coupe le plan secant suivant la tangente OM' a la section. Cette tangente, e'tant un rayon du cercle (C), sera bien constante et egale au rayon de (S) ou au rayon de base du cylindre.
Un re*sultat analogue s'applique a toutes les sections planes
qui, on le reconnaitra aisement, sont des courbes definies par la propriete de couper les cercles bitangents a une conique, section du cylindre par leur plan, sous des angles dont le sinus sera, pour
un cercle determine, - , R tant le rayon de base du cylindre et r le rayon de ce cercle.
1003. Laissant de cote* toutes les applications particulieres, qui meriteraient sans doute une etude detaillee, nous allons indiquer comment on pent traduire analytiquement la generation precedente des surfaces a lignes de courbure planes dans un systeme et presenter sous une forme enti&rement r^elle les equations qui de*finissent ces surfaces.
La generation indiquee emploie trois developpables (A), (D) et (D 4 ). La developpable (A) se determinera par les equations si souvent employees dans la the*orie des surfaces minima
i w = o, (27) 'j -wX'-H Y' -h iuZ' - F'(w)=o,
entre lesquelles il faudra eliminer u. La premiere represente, pour une valeur determined de z/ 3 le plan tangent a la surface; et les deux, prises ensemble, la generatrice de contact de ce plan.
La developpable (D) sera pleinement definie aussi si Ton donne les coordonnees x, y, z d'un point de son are"te de rebroussement (R) exprimees en fonction de Tare $ de (R) et les neuf cosinus a, #', a", 6, &', b", c, c', c" qui d^terminent respectivement la direction de la tangente ? de la normale principale et de la binormale a cette courbe.
De meme la developpable (D^ sera d^terminee par les quantites^ M yt, z i} a f , a' n a*, b { , b\, b" { , c^ c\, c\ analogues a celles que nous venons de definir pour (D) et qui seront des fonctions de la nie'me variables que les precedentes. En leurs points correspondants, les aretes de rebroussement de (D) et de (D<) ont, en effet, le m^me arc et aussi le meme rayon de courbure.
Soit(P i )un plan tangent de (D 4 ) touchant 1'arfite de rebroussement (R<) de (D 4 ) au point M 4 . Si x', y f d6signent les coordonnees d'un point de ce plan rapportees a des axes formes par la tangente et la normale principale a (R,) en M <5 on aura videm-
ment
X 7 , Y 7 , Z 7 etant les coordonnees du point par rapport aux axes fixes. Par suite, pour avoir la section de la d^veloppable (A) par le plan (P { ) : il faudra, dans les formules (27), remplacer X 7 , Y 7 , Z' par leurs valeurs pr^cedentes et eliminer u entre les deux equations ainsi obtenues.
Supposons maintenant que la developpable (D<) se dforme et vienne coi'ncider avec (D). Le plan (P<) viendra comcider avec le plan correspondant (P) de (D). Les coordonn^es # 7 , y ! de chaque point de la section demeureront invariables; mais, si 1'on d^signe par X, Y, Z les coordonnees nouvelles du point (# 7 , y) relativement aux axes fixes auxquels on a rapport^ (D), on aura
X = x + ace' H- by',
de sorte que, pour obtenir la surface cherchee, il faudra eliminer &, X 7 , Y 7 , Z 7 , x') y, s entre les huit Equations (27), (28), (29). Remarquons que 1'on a
o= c(X,r)-h c'(Y-,y)-H c v (Z~^)= g c(X-ar); tout se ram^nera done a eliminer s et u entre les deux equations
et la de*rivee de la seconde par rapport a u. Les variables u et s r nous 1'avons vu (n 998), seront les parametres des deux familiesde lignes de courbure.
1004. II n'y aura aucune difficulte a calculer expliciteraent les fonctions de s qui entrent dans les formules. En effet, les aretes de rebroussement (R) et (Rj) ont, aux points correspondants, la meme courbure, mais non la mme torsion. Si 1'on se donnait la courbure et la torsion en fonction de Tare, il faudrait, pour determiner la courbe, integrer une Equation de Riccati. Mais, la torsion etant arbitraire, il est clair qu'on pourra toujours la determiner par la condition que cette Equation de Riccati ait une solution donne*e a 1'avance, ce qui permettra de ramener a des quadratures la determination de toutes les fonctions de $ qui figurent dans la solution. Nous avons vu : i qu'on peut mettre la solution sous une forme entierement re'elle; 2 qu'on peut faire disparaitre toutes les quadratures par un choix convenable des fonctions arbitraires. On peut etablir tous ces re"sultats par la Geometric.
Remarquons d'abord que Farte de rebroussement (R,) a, en chacun de ses points, pour torsion une fonction de s qui est une imaginaire pure z/( 5 )- Les formules fondamentales
ds ~~ p ds ~~ T ' ds ~~ *
nous montrent alors qu'on pourra la rapporter a des axes tels que Si, a" { , fr^ C|, c\ soient desimaginaires pures, les autres quantites x { , y\) a^ b { , a\, b\, c\ etant reelles. Si done on prend, dans les formules (27) pour F(u} une fonction re'elle de &, il est clair que les deux equations finales (3i) pre"senteront la solution sous une forme entierement re'elle; x, y, z, a, &, . . . devant e'videmment 6tre supposees reelles puisqu'elles se rapportent a la developpable r^elle (!))
1005. Indiquons maintenant comment on pourra faire disparaitre les quadratures qui entrent dans la solution. Parmi les diflerents moyens que Fon peut employer, voici celui qui nous a paru le plus simple.
Les fonctions de s qui figurent dans la solution servent en de*-
finitive a definir le roulement de (D<) sur (D). Si done, au lieu de ( A), nous prenons un point-sphere O invariablement lie a (D< ), ce point-sphere coupera le plan de contact suivant un cercle qui engendrera une surface a lignes de courbure circulaires dont les lignes de seconde courbure correspondront aux generatrices rectilignes du point-sphere et seront, par suite, pleinementconnues. Inversement, si nous connaissons une surface a lignes de courbure circulaires dont on puisse obtenir toutes les lignes de courbure sans aucune quadrature, la construction geom^lriqne donnee au n 970 s'appliquera ici et permettra de construire autant de cercles qu'onle voudra engendrant des surfaces a lignes de courbure circulaires. Si Ton prend, conform^ment a la m<thode indiqu^e, tous ceux de ces cercles qui, dans un plan dtermin^, enveloppent une courbe (K), ils envelopperont, dans les autres plans, des courbes dont Pensemble constituera la surface cherchee. Ainsi tout estramen^ a trouver une surface a lignes de courbure circulaires, la plus gen&rale possible, dont toutes les lignes de courbure se determinent sans aucune integration.
1006. Un premier moyen de r^soudre cette intdressanle question consiste a employer la transformation de M. Lie qui fait cor- ' respondre a des surfaces enveloppes de spheres les surfaces reglees engendr^esparles droites qui correspondent a ces spheres, et aux lignes de courbure des premieres surfaces les lignes asymptotiques des secondes. Dans un Elegant article public en 1888, M. Kcenigs ( * ) a montre comment on peut dcrire sans aucun signe de quadrature les Equations qui d6finissent une surface reglee de maniere a mettre en Evidence les lignes asymptotiques.
D'aulre part, dans le travail cit plus haut, M. Rouqnet a indiqu6 le proc^d^ g^om^trique suivant.
fitant donnee une surface a lignes de courbure sph^riques, il existe toujours, nous le verrons, une surface de m&me nature admettant la meme representation sph^rique et pour laquelle les
(*) Gr. KCENIGS, Determination sous forme explicite de toute surface reglee rapportee d ses lignes asymptotiques et, en particulier t de toutes les surfaces reglees a lignes asymptotiques algebriques ( Comptes rendus, t, CVI, p. 5i-54).
SURFACES A LIGNES DE COURBURE PLANES. 2l5
spheres qui contiennent les lignes de courbure passent par un point fixe ou coupent a angle droitune sphere fixe. Admettons ce resultat qui s'applique aux surfaces a lignes de courbure circulaires lorsqu'on choisit les spheres qui leur sont inscrites parmi celles qui contiennent la ligne de courbure circulaire. Nous voyons qu'a toute surface (S) a lignes de courbure circulaires, on pourra faire correspondre une surface (S ; ) de mme representation sphe*rique, enveloppe de spheres variables (U) orthogonales a une sphere fixe (S). On aura deux lignes de courbure non circulaires de (S 7 ), celles qui sont decrites par les deux points ou chaque ligne de courbure circulaire coupe la sphere (S). Nous allons voir d'abord qu'on peut construire la surface de maniere a en obtenir une troisieme sans integration.
Prenons, en effet, une de*veloppable (D 7 ) dont on sache determiner les lignes de courbure et soit (L) une de ses lignes de courbure. Construisons les spheres (U) tangentes a (D 7 ) aux diflerents points de (L) et orthogonales a (S). Elles envelopperont une surface (S 7 ) admettant (L) pour ligne de courbure et satisfaisant, par suite, a la condition deniande"e.
Or, il re*sulte d'un theoreme de M. Emile Picard (') que le rapport anharmonique des points ou quatre lignes de courbure non circulaires rencontrent une mme ligne de courbure circulaire est constant. Cette proposition, fournira e*videmment toutes les lignes de courbure sans aucune integration des que trois d'entre elles seront connues, comme il arrive pour la surface (S').
A la v&rite', nous avons admis que Ton sait construire sans aucune quadrature une de"veloppable (D 7 ) dont on peut de*terminer une ligne de courbure. Voici comment on pourra operer.
Trac^ons arbitrairement une courbe (G) sur une sphere, puis, dans Fespace, une courbe (C f ) dont les langentes soient paralleles a celles de (C); ce qui se fera sans aucune integration, (C 7 ) tant Parole de rebroussement d'une developpable dont les plans tangents sont assujettis a Tunique condition d'etre , paralleles aux plans osculateurs de (C). Menons ensuite par chaque tangente
(*) E. PIGARD, Application de la theorie des complexes lineaires a V etude des surfaces et des courbes gaudies (Annales scienttfiques de I'ficole Normale supfrieure, 2 s6rie, t. VI, p. 862; 1877).
Jl6 LIVRE VIII. CHAP. IX. SURFACES A LIGNES DE COUBBURE PLANES.
de (C') un plan parallMe au plan tangent a la sphere au point correspondant de (C). Les plans ainsi obtenus enveloppent une dveloppable qui admet evidemment (C') comme ligne de courbure.
1007. Nous avons ainsi construit 1'enveloppe de spheres (S'V dont les lignes de courbure sont determines sans aucune int^gration. Pour obtenir Tenveloppe (S) nous invoquerons le theor&me suivant, compris comme cas particulier dans une proposition que nous donnerons plus loin.
Lorsque deux surfaces eriveloppes de spheres (2), (S ; ) ont mme representation spherique, les spheres inscrites aux deux surf aces suivant deux lignes de courbure correspondantes y ces deux lignes de courbure et les cdnes droits circonscrits suivant elles aux deux surfaces ferment, a chaque instant, deux figures homothetiques. Les courbes decrites par les sommets des deux cdnes ont leurs tangentes constamment paralleles, et le centre de Vhomothetiepr&cedente est le point oil la droite joignant les sommets des deux cdnes correspondants touche la courbe qu'elle enveloppe necessairement.
On voit done que, pour obtenir 1'enveloppe cherch^e (S), il suffira de construire une courbe dont les tangentes soient assujetties a 1'unique condition d'etre paralleles a celles de la courbe d^crite par les sommets des c6nes droits circonscrits a (S ; ), puis d'appliquer le tb6or^me precedent, qui permettra de d^duire de chacun des cercles de (S^) le cercle correspondant de (S).
