CHAPITRE X
Rappel des diffe"rentes classes de surfaces a lignes de courbure planes determines on e'tudie'es dans le cours de cet Ouvrage. Indication de cas particuliers dans lesquels ces surfaces sont isothermiques. Recherche systematique des surfaces qui satisfont a cette double condition d'avoir leurs lignes de courbure planes, au moins dans un systeme, et d'etre isothermiques. Mise en equation du probleme. Integration des Equations line"aires auxquelles satisfont les rotations. Tout se ramene a la determination d'une fonction h satisfaisant a deux equations aux derivees partielles. Application de la iheorie des fonctions doublement pe"riodiques de seconde espece et des m6thodes de JVI. Hermite a cette integration. La solution depend des fonctions elliptiques et comporte une fonction arbitraire. Explication de ce dernier r<sultat et construction geom^trique de la surface. Cas particulier ou le module de la fonction elliptique devient nul.
1008. Dans differentes parties de cet Ouvrage, nous avons determine differentes classes de surfaces a lignes de courbure planes : celles pour lesquelles les plans des lignes de courbure passent par une droite fixe (n 94); celles pour lesquelles toutes les lignes de courbure sont planes (n 105); celles pour lesquelles la courbure totale est constante (n os 820, 821). Pour computer ces 6tudes particulires, nous allons determiner une classe nouvelle de surfaces a lignes de courbure planes, que Ton est conduit a rechercher par les remarques suivantes.
D'apres une remarque faite par M. 0. Bonnet (n 771), on peut dduire,de chaque surface dontla courbure totale est constante, deux surfaces dont la courbure moyenne est constante et qui sont parall&les a la premiere. On voit done qu'aux surfaces a courbure totale constante d^couvertes parM. Enneper (n os 814 a 821) correspondent des surfaces a courbure moyenne constante qui auront, elles aussi, leurs lignes de courbure planes dans un systeme et
2l8 LIVRE VIII. CHA.PITRE X.
spheriques dans Pautre. Ces dernieres surfaces ont et6 Tobjet d'une tude de M. Max Voretzsch (<).
Or, d'apres un resultat que Ton doit encore a M. 0. Bonnet (n os 433, 77S), les surfaces dont la courbure moyenne est constante peuvent tre divisees en carres infiniment petits par leurs lignes de courbure; ou, ce qui est la mme chose, les lignes de courbnre de chaque syst&me constituent une famille de courbes isothermes.
II resulte done de la recherche faite par M. Enneper qu'il existe des surfaces satisfaisant a cette double condition que leurs lignes de courbure soient planes dans un systeme et, en outre, que la surface puisse etre divis^e en carres infiniment petits par ses lignes de courbure. On est ainsi conduit chercher toutes les surfaces, autres que les surfaces de revolution, jouissant de cette double propriete. La solution de ce probleme fait 1'objet du present Chapitre.
Le resultat que Ton obtient est remarquable; bien que les surfaces cherch^es doivent satisfaire a la fois a deux Equations aux drives partielles, on trouve qu'elles contiennent dans leur equation deux constantes et une fonction arbitraire. On a done, d'une part, une famille de surfaces a lignes de courbure pJanes dans un systeme, jouissant d'une propriete g^omtrique a laquelle les geometres attachent quelque inter^t; et, a un autre point de vue, on ajoute aux surfaces en tr&s petit nombre dont les lignes de courbure forment un systeme isotherme toute nne famille de surfaces qui, par cette proprit6, viennent se placer a c6te des surfaces de revolution et des surfaces minima.
Malgr6 le degr6 de gnralit de la solution, on peut obtenir une construction gomdtrique simple de toutes les surfaces qui correspondent a des formes diflerentes de la fonction arbitraire. D'ailleurs les calculs que Pon doit d<velopper pour obtenir les expressions des coordonnees d'un point de la surface cherchee en fonction de deux variables ind^pendantes ofFrent une int^ressante
() MAX VORETZSGH, Untersuchung einer speciellen Fldche constanter mittlerer Kriimmung bei welcher die eine der beiden Schaaren der Krummungslinien von ebenen Curven gebildet ist. GOttingen, i883.
SURFACES ISOTHERMIQTIES. 2ig
application de la belle theorie des fonctions doublement periodiques de seconde espece qui est due a M. Hermite. A tous ces points de vue, il y a quelque utilite a faire connaitre dans ses points essentiels la methode suivie.
1009. Je rappellerai d'abord les formules de la theorie des surfaces dont nous aurons a faire usage.
Soit
P expression de V element lineaire de la surface. Les six quantit^s D. <7, r, r>i, <7<-, ri doivent satisfaire aux relations
dr
De'signons par a, a f , a ff les cosinus directeurs de la Langente a la courbe 9 = const, ou, ce qui est la mme chose, de la tangente a Tare Arfw, par 6, # 7 , b" les cosinus directeurs de la tangente a la courbe u = const, ou a 1'arc C rfp, et enGn par c 3 c f , d r les cosinus directeurs de la normale a la surface. On devra avoir, comme on sait.
da
db
- = cp ar,
du r
do ,
da -
db 3?
do
et les equations analogues pour a f , ', c 1 ] d^ b", c n . Les Equations (5) feront connaitre les neuf cosinus; puis on obtiendra les coordonn^es rectangulaires X, Y, Z d'un point de la surface ex-
prim^es en ^^, 9 par les quadratures
<X = A a du-\-Gb dv,
dZ = A a" du -4- G b" dv.
Remarquons enfin que, si Ton emploie la representation sphdrique de Gauss, c'est--dire si, par le centre d'une sphere de rayon i, on mene une parall&le a la normale, prolong^e jusqu'a son intersection avec la sphere, le point de la sphere correspondant au point (X, Y, Z) de la surface aura pour coordonnees c, e', c". L'etement lin^aire de la sphere sera done determine par la formule
1010. Apr6s avoir rappel^ les formules pr^c^dentes, nous allons les appliquer au probleme propos^ ; nous supposerons les surfaces cherchees rapport^es a leurs lignes de courbure. Cela s'exprimera, comme on sait [II, p, 386], par les deux Equations
De plus, comme les lignes de courbure doivent etre isothermes, on pourra poser
h d^signant une nouvelle variable, substitute la valeur commune de A et de G.
La formule (7) se r^duit, dans le cas qui nous occnpe, a la suivante :
Pour exprimer que les lignes de courbure de Fun des syst^mes, par exemple les lignes p = const., sont planes, il suffira d'exprimer que les lignes qui leur correspondent sur la sphere sont des cercles, c'est-a~dire que leur courbure geod^sique est constante : cela conduit & liquation
Co) ^ = -vg,
ou V d^signe une fonction de 9.
SURFACES ISOTHERMIQTJES.
Les Equations (8), (9), (10) sont I'expression complete des conditions gomtriques auxquelles doit satisfaire la surface cherchee. Si on les joint aux Equations (2) et (3), on en d^duira les valeurs suivantes des six quantites/), y, . . . :
r dh
dh ~ dv'
dh
du
W d^signant la d^riv^e de Vj en outre, la fonction h devra satisfaire aux deux Equations aux d^riv^es partielles
Oil
L'int^gration simultanee de ces equations estdonc la premiere recherche que nous ayons a entreprendre.
Liquation (12) est du troisi&me ordre, mais il est aise de Tinlegrer compl^tement. En eflet, si nous multiplions ses deux termes d*h
par
y ils deviennent Tun et Tautre des d^riv^es exactes par
rapport a p. Une premiere integration donne ainsi
dh dv
On peut dcrire cette Equation comme il suit :
du dv
dh
et une nouveile integration par rapport a 9 nous donne
II est vrai que nous avons neglig la solution particuliere fournie par 1' Equation
mais il est aise de voir, en la combinant avec liquation (12), qu'elle ne donne aucune autre solution du probleme propos que les surfaces de revolution. Cette solution etait dvidente a priori, et nous pouvons la negliger.
L'equation (i4) peut tre mise sous la forme
ou U et Ui sont des fonctions quelconques de u. II serait facile, en leur donnant des formes convenables, d'achever Pint^gration; mais il nous a paru pr^fdrable de conserver liquation (i5).
Si, dans Pequation (i3), on substitue a la variable 9 la variable 9 1 definie par Pequation
(16) dvi-
elle prend la forme tres simple
du? dv\
Tout se reduit done a Pint^gration simultan^e des Equations (i5)
6t ^ 7) * Ea differentiant liquation (ID), on obtiendra la valeur de ^- ?
que Pon pourra exprimer en fonction de h et de u. Portant cette valeur dans liquation (17), on obtiendra
Multiplions par 2 j- et integrons par rapport a v { , nous aurons
U 2 designant une nouvelle fonction de w.
Les equations (i5) et (18) peuvent tre ecrites sous la forme suivante :
ou Ton a pose, pour abr^ger,
Nous pouvons en d^duire par la differentiation deux valeurs
differentes pour . . ; et 3 en exprimant que ces valeurs sont ^gales, nous trouverons Tequation de condition
Je dis que cette Equation doit avoir lieu identiquement. En efifet, s'il n'en ^tait pas ainsi, elle determinerait A, qui serait fonction de la seule variable u] et la surface cherche'e serait une surface de revolution. Nous avons deja ecarte* cette solution, qui estvidente a priori.
En ecrivant que liquation (20) a lieu identiquement, c'esta-dire que les coefficients des differentes puissances de e h sont mils, nous obtenonsles trois equations
La derniere s'intgre immediatement et Ton est ramene au systeme
(21) U " Ui *
[ eUUi-hUa^Gi,
ou C { d6signe une constante arbitraire. II faudra done d'abord determiner les fonctions U, puis intgrer le systeme des equations (10) et (18) ou, ce qui est plus simple, comme nous le verrons, le systeme equivalent des equations (i5) et (17).
1011. Je commence par Fint^gration du syst&me (21). On deduit de la premiere equation
Uiir uu; = c,
C dsignant une constante.
Si Ton prend comme inc.onnue auxiliaire
on trouve
TT f* . A
U = /uV "^ 8 , Uj= fie~J ~^ 6 ~,
et 9 doit satisfaire a liquation different! elle (22) 266"- 6'2-H GS= 4 8*(Ci 86).
Diflferentions cette equation, nous obtiendrons
8 W =46 / (G 1 126), d'ou nous deduirons par Pint6gration
On d^duit imm^diatement de cette derniere Equation que Tinconnue auxiliaire 9 depend des fonctions elliptiques et qu'elle doit eHre de la forme
A-nBsn*"""" ,
A, B, Wo, a et le module A' de la fonction elliptique e"tant des constantes convenablement choisies. Mais, comme on peut, sans altrer I 7 fl6ment Iin6aire de la surface cherche'e, d^fini par la formule
remplacer u U Q par a &, a la condition de remplacer v par a 9 et h par h 2 Loga, il est clair que Ton pourra, sans restreindre la generalite, prendre pour 9 la valeur suivante
que Ton peut aussi ecrire, en introduisant une constante co,
B(sn 2 w sn 2 o)).
En exprimant que cette valeur satisfait a Fequation (22), nous obtenons les trois relations
G = -k* snca en to dnto,
Les deux premieres feront connaitre &, co en fonction de G, Ci ; la derniere donnera 9.
Quant aux deux fonctions U, U|, elles doivent satisfaire Tune et Tautre a Fequation
ou
et, en outre, leur produit doil tre egal a 9. On reconnait le cas leplus simple de liquation de Lam, si compl^tement ^tudiee par M. Hermite; etles solutions U, U< sont precis&nent celles dont le produit est une fonction entiere de sn 2 w.
II resulte des recherches de M. Hermite (Comptes rendus, t. LXXXV) que 1'on aura
e(co)6(a) o>)H'(o)
p ^tant une constante a laquelle on pourra donner une valeur quel-
conque ; car sa variation donne une srie de surfaces semblables
a 1'une quelconque d'entre elles. Nous prendrons p = i } et les
D. IV. i5
valeurs definitives de U, U< seront
1012. Nous avons maintenant a integrer le systeine forme par les deux Equations
ou U 3 U< designent les fonctions denies par les formules (a4) La premiere de ces Equations appartient a un type que Ton sail int^grer des que Ton en connait une solution particuliere. II suffit, en effet, de prendre comme inconnue soit e h , soit^~ A ; et Ton est ramenS a une Equation de Riccati; par consequent, les valeurs de e h correspondantes a quatre solutions particulieres auront entre elles un rapport anharmonique constant, et 1'integrale gendrale sera donne*e par une formule
C A P + QC f
- R-t-SC'
ou C design era la constante arbitraire par rapport & w, fonction de v { ) et ou P, Q, R ? S seront des fonctions de'termine'es de u. Toute la difficult^ se re"duit done It la recherche de solutions particulieres de cette Equation.
Or reportons-nous & liquation (20) qui a lieu identiquemenl. Elle exprime ^videmment que les fonctions h de w, d^finies par liquation
sont pr^cis^ment des solutions particulieres de liquation i int<5grer, II suffira done de r6soudre liquation
qui est du quatrieme degr6 par rapport e A , et Ton aura quatre
solutionsparticulieres qui permetlront d'ecrire Fintegrale gene"rale cherche'e,
Les invariants i elj de cette Equation ont pour valeurs
La r^solvante du troisieme degre
4p 3 Jpn-y = o a ses racines rationnelles
el, par descalculs qu'il me parait inutile de reproduire, on obtient les expressions suivantes des quatre racines cherchees :
ou Ton donne a y successivement les quatre valeurs
o, 2K, 2K', aKH-a*K'.
D'ailleurs, comme on petit donner a Texpression de e A Ia forme
qui est lin^aire par rapport a la constante &sn 2 ~> on voit qua
Tint^grale ge'ne'rale cherch^e sera donn^e par Fune quelconque des
formes ^quivalentes (26) ou (27), ou y sera la constante arbitraire.
Mais y, qui ne depend pas de u, est ici une fonction de P< : il
reste & la determiner par la condition que h satisfasse k liquation
22 g LIVRE VIII. CHAPITRE X.
Exprimons que cette equation est vrifi6e pour toutes les valeu de u\ nous aurons les Equations
qui donnent
Y==fciVi,
en n^gligeant une constante additive, que Ton peuttoujours su poser runie a v { .
En resume, on trouve, pour la valeur definitive de A, lafonm
j:iiL2W^^ M w
et Ton connait compl&tementNl&nentlineaire de la surface ch chee, aussi bien que les six rotations/?, , r, p^ q<, r { .
En eliminant v { entre liquation (28) et sa derivee, on verifi< qu'on retrouve bien liquation (i5) qu'il s'agissait d'int^grer.
1013. II reste maintenant a indiquer comment on trouvera neuf cosinus a, a', a", . . . et les coordonn^es rectangulaires d point de la surface. Mais auparavant je d^finirai une nouv< fonction qui jouera un r6le essentiel dans cette recherche.
Consid^rons la fonction
/ M -+- IV i + CD \ V 2 /
de Targument complete u + iv { : il resulte de la formule (
h que e* est le module de cette fonction. On pourra done poser
etl'on obtiendra pour cr 1' expression
ft>\
D'ailleurs, comme A-{-z<r est une fonction de la variable complexe & -{- zVi, on aura les equations bien connues
dh &r dh
qui nous seront nliles.
La fonction zor ne diflF^re de h que par les notations. Elle satisfait, par consequent, a une Equation differentielle en p, f tout a fait semblable a liquation (i5),
M et N ayant les valeurs suivantes M =
(33) ae(w)H(fr t )
20(OJ
Nous verrons plus loin comment la G^om^trie fait prvoir Pexistence de cette Equation. La valeur de <r, contenant d'ailleurs 1'arbitraire u qui ne figure pas dans liquation (82), donne, par consequent, Fintegrale g&neralede celte Equation differentielle.
1014. Quand on connait P element lin^aire d'une surface et les six quantit^s qui figurent dans les formules de Codazzi, il reste a determiner les neuf cosinus et les coordonn^es reclangulaires X, Y, Z. On est conduit & une seule surface; mais la determination de cette surface depend, en gnral, de 1'integration d'une Equation de Riccati. On a de nombreux exemples dans lesquels on se trouve arr^te, ou Tintegration a effectuer parait reellement impossible.
Dans le cas actuel ? on peut terminer les calculs 3 obtenir les
neuf cosinus et les coordonn^es rectangulaires de la maniere suivante :
Considerons un point de la surface et la tangente a la ligne de courbure plane v = const, qui passe en ce point. Les cosinus directeurs de cette tangente sont, d'aprs les notations du n 1009, a, a 7 , a".
Si, par le centre d'une sphere de rayon i, nous menons une parallele a cette tangente, elle coupera la sphere en un point dont les coordonnees seront a, #', d 1 \ nous aurons ainsi un mode de representation spherique de la surface distinct de celui de Gauss et qui va nous tre trs utile.
L^lement lin^aire de la sphere sera donne par la formule
dS 2 = dot + da'* 4ou, en employant les formules (5) et (i i),
Introduisons, en tenant compte de la formule (16), dvt a la place de dv et servons-nous des formules (3i) pour substituer les derivees de c- a celles de h. Nous obtiendrons ainsi Fexpression tres simple ^
Cette formule montre que les lignes v\ = const, de la sphere, qui correspondent aux lignes de courbure planes de la surface, sont des lignes geodesiques, c'est-a-dire des grands cercles. Ces lignes admettent pour trajectoires orlhogonales les courbes er = const., ce qui donne la signification gdom^trique de la fonction cr.
Le r^sultat pr^ce5dent pouvait 6tre prevu g^om^triquement; car, si un point se d^place sur la surface en decrivant une ligne de courbure plane, le point correspondant de la sphere, dans le mode de representation que nous avons adopte, decrira videmmentle grand cercle dontle plan est parallele au plan de la ligne de courbure; c'est en raison de cette proprit6 que nous nous sommes propos^ de determiner en premier lieu les cosinus #, a', a".
Lorsque I'el&nent lin^aire de la sphere prend la forme (34)? on
sail (n S99) que le coefficient de dv\ doit etre de la forme
cette remarque se verifie bien ici en vertu de Fequation (82), que nous avons signalee d'avance au numero precedent.
1015. Revenons a la formule (34). Nous savons que cr, v { sont les coordonn^es curvilignes d'un point de la sphere; designe la distance de ce point a une courbe fixe (F) de cette sphere, distance comptee sur le grand cercle normal a (r) et passant par le point. Quant a ^, c'est une fonction de Tare de la courbe (F), compte a partir d'une origine fixe jusqu'au pied du grand cercle normal. Appelons #, y, z les coordonnees d'un point de (F), qui sont des fonctions de Fare de la courbe compte & partir de 1'origine choisie. D^signons cet arc par s et appelons #', 3?, ... les derivees de X) ... par rapport a s. Nous aurons
Posons, pour abr^ger, (36) A=
nous aurons les formules
x y z x' y' z' a? z ff
zx" scz" = -
dont la demonstration est immediate.
Exprimons maintenant que le point (<z, a 7 , a f/ ) de la sphere est situe a une distance <r sur Fare de grand cercle, qui est normal a la courbe (F) au point (#, y, s). Nous obtiendrons, par des method es tout 6lmentaires, les formules
H nous reste a exprimer qu'en prenant pour s une fonction con-
i(zx' xz'
232 LIVRE VIII. GHAPITRB X.
venable de v i: ces formulas conduisent a F expression (34) de IMl&nent lin^aire.
Differentions la premiere; en tenant compte des relations (87) nous trouvons
-h z^ffjfa? i(yz'zy')]e i <*[X'+i(yz'zy')]e-iv\.
On deduit de la, en ^levant au carre et ajoutant les equations analogues,
2 af>i 2
Si Pon compare a Pexpression fournie par la formule (34), ou Pon a remplac -r par sa valeur,
dS 2 ~<fo2-h(VMe'<3 on voit que Pon doit avoir
Ces equations peuvent servir a un double usage.
Si 1'on a choisi arbitrairement V en fonction de p ? elles nous font connaitre 5 et A en fonction de v et, par consequent, A en fonction de s. Cette relation entre A et s determine, non la situation, mais la forme de la courbe (F). Au contraire, si Pon a pris (F) arbitrairement ainsi que k et to, elles nous font connaitre V et v { en fonction de s et, par suite, V, v^ en fonction de p. On voit done que Pon peut choisir arbitrairement la courbe (F). En d'autres termes, parmi les surf aces que nous 6tudions, ily en aura tonjours pour lesquelles les plans des lignes de courbure du premier systeme seront parall&les aux plans tangents d'un cdne quelconque.
La determination de a 6tant faite, on aura b par Pune des formules(5), qui donne
da , 7 dh , da
- = n = -r- = -r ; 09 du dv\
et, par consequent, la differentielle de la coordonnee rectangu-
laire X (Tun point de la surface sera
da
=eM
/ J = eM
En remplagant a par sa valeur, on trouve
dc CH>1
1016. Voici comment on peut efiectuer cette quadrature. L'exponentielle e h , consid^e comme une fonction de ~> est
doublement periodique de seconde esp^ce et a les mmes multiplicateurs que la fonction *
Si Ton applique la formule donnee par M. Hermite pour la decomposition en 6lments simples, on trouvera
H(2to)H ; (o) /a
M et N ayant les valeurs definies par les formules (33).
Si Ton porte cette expression de e h dans le premier terme seul de la formule (4), puis que Ton remplace
2 VNa?'
par par
on obtient
u + iv\ 3 co \ ~
les termes non Merits se deduisant des prcdents par le changemen t de i en i.
Dans la seconde ligne de la formule precdente figure une fonction que Ton d^duit de la suivante :
en y remplagant ^ par - Ici encore F(^) est une fonction
doublement periodique de seconde espece, et une nouvelle application de la mdthode de decomposition deM. Hermite nous donne
En faisant usage de cette formnle, nous yoyons que les deux premiers termes de dX. deviennent la differentielle exacte d'un produit, et Tint6gration nous donne
p --iVj 3co &
X o-y<;[. <>\,jr<* *y ;j \ H(2u>)H'(o)
'H(aw)H'(o) H
On aurait pour Y et Z des expressions analogues. La question est
nnnf> r^Amrkl^tnrvnar^ r^ervInA
done couapl&tement r^solue.
1017. II nous reste maintenant a donner Interpretation des formules et la construction geometrique de la surface. En multipliant Fequation (42) par x 1 et ajoutant les equations analogues, on a
Les coefficients ne dependant que de p, cette equation represente les plans des lignes de courbure du premier systeme. Elle ne contient pas de terme constant; par suite, les plans des lignes de courbure du premier systeme enveloppent un cone. C'est la une premiere proprit de la surface.
tudions maintenant les lignes de courbure planes. Leurs plans sont normaux a la courbe spherique que nous avons design^e par (F). Rapportons la ligne de courbure a deux axes rectangulaires cboisis dans son plan, Tun 0# n allant au point ou le plan coupe la courbe (F) et ayant pour cosinus directeurs x, y^ z ; Fautre Qy\ perpendiculaire au premier et ayant pour cosinus directeurs
yJ xy, 3z r xa', xy'yx'.
Appelons x { et y { les coordonnees relatives a ces axes. On trouvera aisement
Les deux equations obtenues en separant les parties reelles etles parties imaginaires donneront x { , y { . On voit done que la forme des lignes de courbure planes sera la meme pour toutes les surfaces qui correspondent a un meme systeme de valeurs de k et de co et sera, au contraire, completement independante de la forme de lafonction arbitraire qui entre dans les formules. C'est la deuxieme propriete geometrique de la surface.
En troisieme lieu, cherchons Par^te de contact des plans des lignes de courbure avec le cone que ces plans enveloppent. Cette arte de contact sera d^finie par Tequation
a laquelle on donnera facilement la forme (44) (i-+-i"A)(a?i-Hiyi)-h(i iA)(*i
Si Ton tient compte des formules (89), cette Equation devient
M(a?i + iyi) H- N(a?! &>0 = o, ou, en remplagant M et N par leurs valeurs,
(45) * <) 6(0) + iV, )0*i + iri)= W e(a>
Remarquons, d'ailleurs, que le point situ a la distance i stir Taxe Oy { decrit la courbe (r), normale au plan de la ligne de eourbure; et, par consequent, ce planroule sur le c6ne qu'il enveloppe. L'equation pr^c^dente nous montre que la droite de contact du plan de la ligne de eourbure avec le cdne enveloppe ne depend que des constantes k, co et nullement de la forme de la fonction arbitraire. C'est la troisieme propri^t^ geoni^trique de la surface.
En r&inissant tons ces r^sultats, nous pouvons noncer la proposition suivante :
Considerons les coordonnees rectangulaires x^ yi comme des fonctions des variables u : v,( definies par la double equation
L'equation
P! = const.
definira une famille de courbes planes isothermes. Faisons correspondre ct chaque courbe (v^ ) la droite definie par V equation
Faisons rouler le plan qui contient les courbes sur un cdne quelconque ayant pour sommet Vorigine des coordonnees. Alors la courbe (p 4 ), qui, dans chaque position du plan, corres-
pond a la generatrice de contact duplan et da cone, engendre precisement la surface cherchee.
On peut etablir, a 1'aide de considerations geometriques directes, une parlie des resultats prcdents ; monirer, en particulier, pourquoi la solution obtenue contient une fonclion arbitraire et pourquoi cette fonction arbitraire tient si peu de place dans le dveloppement de la solution. Reportons-nous a la generation de toute surface a lignes de courbure planes au moyen de trois developpables (D), (Di) et (A). Si Ton transforme par flexion la developpable (D) en un plan (P), les lignes de courbure constitueront sur ce plan (P) un reseau orthogonal. Soil 9 le parametre des lignes de courbure planes, dont la forme n'aura pas change, et it le parametre des lignes de seconde courbure. L 'element linaire du plan sera de la forme
ds\ = A 2 ^4-C2^t>2,
et, d'apres la proposition du n 998, celui de la surface sera determine par la formule
ds* = AS du*->r C 2 (i 4- V*) dv*,
ou V d^signe une fonction de p, qui n'est autre que la tangente de Tangle cp d^fini au n 999. La condition d'isothermie se traduisant par une equation de la forme
on voit immediatement qu'elle est independante de la fonction V. Ainsi :
Lorsqu'une surface d lignes de courbure planes sera isothermique, la m&me propriete devra appartenir & toutes les surfaces a lignes de courbure planes que Von en peut deriver par la flexion de la developpable (D).
1018. Dans tout ce qui prcde, nous avons 6tudie seulement le cas le plus general. Les calculs se trouveraient en d^faut, par exemple, si Ton envisageait ce cas particulier de 1'gquation de
