CHAPITRE XL
Les surfaces & lignes de courbure spheriques dans un sj^steme correspondent a des Equations aux derive*es partielles a invariants egaux qui sont du premier, du second ou du troisieme rang. Methode directe de recherche. tant donnee une surface a lignes de courbure spheriques (5), il existe une infinite* de surfaces (S ) de meme definition, dependant d'une fonction arbitraire et admettant la m6me representation spherique. Theoreme de M. BluteL Construction geometrique des surfaces (S ). Comment on peut, sans aucune integration, deduire toutes les surfaces & lignes de courbure spheriques des surfaces a lignes de courbure planes. Proprietes diverses : en appliquant des inversions convenablement choisies & chaque ligne de courbure spherique de la surface, on peut les placer toutes sur une mSme'developpable isotrope. Definition de la rotation autour d'un cercle; proposition qui rapproche les surfaces a lignes de courbure spheriques des surfaces 4 lignes de courbure planes.
Des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou spheriques.
Leur determination se ram^ne a la solution de liquation fonciionnelle
Resultat : toutes les surfaces cherchees derivent simplement, soit du c6ne, soit de la surface dont les norm ales sont tangentes a un c6ne.
1019. Si nous poursuivions 1'application de la m^thode d^veloppee dans le Chapilre VIII de ce Livre, nous obtiendrions une suite illimite"e de surfaces, determine*es sans aucun signe de quadrature, et pour lesquelles on saurait re"soudre d'une maniere complete le probleme de la representation spherique. Les surfaces a lignes de courbure planes correspondent, nous Tavons vu (n996), a des equations aux de*rivees partielles du premier ou du second rang. Nous allons terminer cette ^tude en montrant de m^me que les surfaces a lignes de courbure sphe"riques correspondent a des Equations aux d^riv^es partielles du premier, du deuxieme ou du troisieme rang.
'2<fO LIVRE VIII. CHA.PITRE XI.
Nous commencerons par la remarque suivante :
Lorsqu'une ligne de courbure est spherique, la developpable circonscrite & la surface suivant cette ligne de courbure doit aussi etre circonscrite CL line sphere; et, r^ciproquement, si cette developpable est circonscrite a une sphere, la ligne de courbure est spherique*
En effet, d'apres le th^oreme de Joachimsthal, tons les plans tangents aux divers points d'une ligne de courbure situee sur une sphere (S) coupent cette sphere sous un angle constant et, par suite, sont tangents & une sphere (S') concentrique (S). Inversement, si tons les plans tangents en tous les points d'une ligne de courbure (C) sont tangents a une sphere, soit (C') la courbe de contact : on connaitra deux lignes de courbure, (C) et (C ; ), de Ja developpable envelopp^e par ces plans tangents; et comme (C') est sur une sphere, (C) sera sur une autre sphere concentrique la prec^dente (').
1020. Appliquons cette remarque a la determination de toutes les surfaces pour lesquelles les lignes de courbure de Pun des systemes, que nous appellerons dans la suite les lignes de premiere courbure, sont toutes sph^riques. II suffira ^videmment d'exprimer qu'en chaque point d'une telle ligne le plan tangent a la surface est circonscrit a une sphere, qui variera d'ailleurs lorsqu'on changera de ligne de courbure.
Soit toujours x le param&tre des lignes de premiere courbure. Le plan tangent a la surface cherch^e, d^fini par liquation
(i) (a -hp)X^j(P-)Y + (ap~i)Z + $ = o,
devra, en tous les points d'une ligne de courbure, &tre tangent une sphere (S'). Soient #' 03 x\, x^ x\ les coordonnees carte-
( 1 ) A propos du thor6me de Joachimsthal, nous signalerons la rciproque suivante dont le lecteur trouvera la demonstration :
Si les spheres assujetties a cpntenir trois points consecutifs d'une ligne de courbure et, de plus, a etre tangentes & la surface au point ou elles touchent la ligne de courbure coupent toutes une sphere (S) sous un angle constant, la ligne de courbure est spherique et situee sur la sphere (S).
siennes du centre et le rayon de (S'). Ce sont quatre fonctions de x que nous supposerons donne'es. En traduisant analjtiquement la proprie'te' qui nous sert de definition, on aura
Ghangeant un peu les notations, nous e"crirons cette condition corame il suit
(2) aparo-l-GEtfi-Hptfj-i-ara-f-S = o, # , x^x^ #3 etant toujours des fonctions de x.
Differentions par rapport a y : en remplagant -- par sa valeur
deduite des equations (7) [p. 199], -^ sera en facteur, et il
viendra, p et q designant . ? ^| >
(3) p^o + ^i-H/? = to 2 (aj? -H^2-+- ^)-
Differentions encore par rapport a y et rempla^ons ~^, -f- par leurs valeurs (7) [p. 199]- II viendra, en supprimant le factenr aco,
da
Cette Equation s'integre a vue et nous donne
^4 designant une nouvelle fonction de x. La relatioa pr^c^dente s'obtiendrait aussi en exprimant que la ligne de courbure est sur nne sphere concentrique a (S').
1021. Si nous remarquons que to, qu> et aco sont trois solutions particulieres d'une m^me Equation a invariants ^gaux, nous voyons que Ton retrouve ici, sous une forme un peu plus ge'ne'rale, un probleme d^ja rencontre pour les lignes de courbure planes et dont nous allons dire quelques mots.
Lorsque, pour une Equation a, invariants egaux, la suite de Laplace se termine, liquation admet une solution de la forme suivante
de sorte que, si Ton prend i+ i solutions z { , z^ . . ., 5/+Ij COIU respondantes aux determinations X 4 , ..., X/ + < de X, elles v&rifient identiquement la relation lineaire
dont les coefficients sont fonctions de la seule variable x. Mais rciproquement, si Ton aune relation de cette forme entre des solutions particu litres au nombre de i + i, peut-on en conclure que liquation sera int^grable et de rangau plus 6gal a i+ i? G'est la question qne nous allons examiner pour le cas ou i est egal a 2.
Suivonsla meme marche que pour les surfaces a lignes de courbure planes. Pour plus de nettete, posons
/ fr \ ^ ^ ,
la relation (4) prendra la forme
Soit
dx dy
1'equation dont co, z\, z^ sont trois solutions particulires. Si Ton j substituela valeur pr^c^dente de 2 , on trouvera, en supposant, .comme il est permis, x\ different de z^ro,
^1 __ , a?4 0?2 do)
~dy ~~~~ 5J"" ' x^ -fy->
ou, plus simplement.
-r 5 et^ 6 d^signant de nouvelles fonctions de x. DifF^rentions par rapport a ^, et remplacons les derivdes secondes de z { et de o> par Jeurs valeurs deduites de liquation (7), dont elles sont des solu-
tions parliculieres. II viendra
ouj en supposant A' different de zero, *
, N * dlogk . t i du
Pour elirniner z { substituons la valeur prcdente dans Pequalion (8). En posant
on trouvera
et cette condition contient Punique solution particuliere co.
Pour Teliminer enfin, difierentions les deux membres par rapport a x. Nous aurons
d I i dlogA- c/oA 7 , ^
-- (o)-~ 7 -S- =X:i^ 7 -ha7 7 --i <^7 V ^ dar dy] l 7 ? ^
ou encore
(?w dlogk d fi dto\ ~
En tenant compte des formules (TO) et (12) et supposant A^ different de zero, il vient
dy
qu' qnation (12) pour obtenir la relation
II ne reste plus qu'a substituer cette valeur de dans Fe-
l dxdy " J
qui constitue une Equation aux derivees partielles du quatrieme ordre a laquelle devra satisfaire la fonction k. Mais, si Ton se reporte aux formules qui relient les invariants dans une suite de Laplace (n 331), on reconnait immediatement que Pequalion (i i)
est la condition necessaire et suffisante pour que la solution rale de Fequation (7) soil de rang egal a trois.
Comme, dans la suite des calculs, nous avons carte Fhypothese ou Tune ou Fautre des fonctions , fc { serait nuile, on voit bien que toutes les surfaces a lignes de courbure spheriques seront fournies par les equations aux d^riv^es partielles des trois premiers rangs. Mais comme, pour liquation du premier rang, les lignes de courbure des surfaces correspondantes sont toutes planes, elles ne pourront 6tre spheriques sans tre circulaires.
En diflferentiant Fequation (i3) par rapport a x, on trouve
et il est clair, par suite de la symetrie de la relation (6), qui nous a servi de point de depart, relativement aux trois solutions particulieres s i? z% et to, que aw et ^co seront definis par des formulas toutes semblables a la precedente, mais ou x^ devra tre remplace par d'autres fonctions, d'ailleurs arbitraires, de x. En developpant les calculs, on trouvera
C'est la partie de la solution gen^rale qui contient une fonction arbitraire de x\ Tautre s'obtiendrait en changeant x en y et remplagantla fonction arbitraire de x par une fonction arbitraire dey.
Nous avons maintenant tous les Elements n^cessaires pour poursuivre la recherche. En continuant et 6tendant jusqu'au troisieme rang les calculs qui terminent le Chapitre VIII de ce Livre, nous obtiendrons, sans aucun signe de quadrature, les equations qui definissent les surfaces cherche'es. Nous avons mme donn6 au n 994 les elements ne*cessaires pour ^crire immediatement la valeur de co. Mais ici encore, au lieu de poursuivre la solution analytique, nous pre*frons revenir a la Geom^trie en nous appuyant surun th6oreme du a M. Blutel (*).
( 4 ) E. BLUTEL, Sur les surfaces qui admettent un systeme de lignes de courbure spheriques et qui ont meme representation spherique pour leurs lignes de courbure (Comptes rendus t t. CXVI, p. a49J
1022. fitant donnee une surface (2) a lignes de courbure spheriques dans un systeme, nous aliens montrer tout d'abord qu'il existe une infinite de surfaces de meme definition, et admettant par surer-oil la mme representation spherique que (2).
D^signons, en ejffet, par a, b, c, r, h des fonctions du parametre a des lignes de premiere courbure de (2), par #, y, z les coordonnees d'un point de (2), par y, y', y" les cosinus directeurs de la normale en ce point. D'apres le theoreme de Joachims thai, on aura les deux equations
(18) t(* a) + i(y-b) +f(x-c) =Ar,
dont la premiere exprime que la ligne de courbure de la surface se trouve sur une sphere (S) de centre (a, b, c) et de rajon r; la seconde exprime, conformement au thorrae de Joachimsthal, que le plan tangent a la surface en chaque point de la ligne de courbure coupe la sphere (S) sous un angle constant, dont le cosinus est h. Si Ton pouvait elirniner le param&tre a entre ces deux equations, on serait conduit a une equation aux derivees partielles propre a definir toutes les surfaces (S). On peut trailer cette qualion par les precedes reguliers ; nous nous bornerons ici a remarquer que ses caract&ristiques sont les lignes de courbure du second syst&me.
En effet, pour determiner toutes les surfaces verifiantFequation et passant par un point M de Tespace, il faut d'abord exprimer que la sphere (S), definie par liquation (17)5 passe par ce point-, et cette condition fait connaitre une on plusieurs valeurs de a. Prenons une des spheres (S) qui passent en M : les plans tangents aux surfaces correspondantes, devant couper cette sphere sous un angle constant, envelopperont un c6ne de revolution dont Faxe sera le rayon de (S) qui passe an point M. Or les caracteristiques de Fequation aux derivees partielles, etant par definition les courbes tangentes aux generatrices rectilignes de ce c6ne, auront evidemment rnmes tangentes en M que les lignes de seconde courbure, et, par suite, se confondront avec ces lignes, puisque le raisonnement s'applique a tout point de chaque surface (S).
1023. S'il existe une surface (S ) de mteie definition que (S) el
admettant la meme representation sphe*rique, y, y 7 , y" auront les m&mes valeurs aux points correspond ants des deux surfaces. La surface (S) sera done d&finie par des Equations telles que les suivantes
(19) (#o ) 2 -H (.To &o) 2 +- Oo c ) 2 =r 2 ,
(20) T(^O o) -t-Y'(,To o) -+-Y r (*o GO) =
ou # ? JKo? ^o designent les coordonnes da point de la surface et ou a ? 6 , C 0? 7' , AO sont des fonctions de a comme a, 6, c, r, A. La premiere Equation represente la sphere (S ) qui contient la ligne de premiere courbure de (S )$ et la seconde exprime quele plan tangent coupe (S ) sous un angle de cosinus A . Si nous designons par C, C les centres des deux spheres (S), (S ); par M, M deux points correspondants des surfaces (S), (S ),prisrespectivement sur les spheres (S), (S ), il est clair que les normales, paralleles, en ces deux points et les deux radons CM, C M sont paralleles a un m^me plan, a celui qui est normal en M, par exemple, a la ligne de courbure spherique de (S). En traduisant analjtiquement cette proprie"te\ on obtiendra les relations suivantes
oil \ et JJL sont deux fonctions auxiliaires que Ton determinera en substituant dans les Equations (19) et(ao) les valeurs precdentes de ^0 ^0,70 o,*o C .
On a ainsi les deux Equations
[JL = d'ouFon deduit
et qui font connaitre \ et p comme des fonctions de a.
II resle a exprimer la condition essentielle que Ton a identiquement
Si Ton substitue les valeurs des diflerentielles dx^ dy^ dz^ deduites des equations (21), en tenant compte de la relation
Y dx -4- Y' dy -H Y" dz = o, il vient
rh dl
Si les coefficients de y, y', y v n'etaient pas nuls identiquement ? on aurait, en tous les points de la ligne de courbure spherique, une relation lineaire entre ces cosinus; et, par suite, cette ligne de courbure, ayant pour representation spherique un petit cercle, serait elle-m^nie un cercle. ficartons d'abord ce cas exceptionnel : il faudra que nous ayons
(24) rh d>.
da Q d
Mais je dis que ces relations conviennent aussi au cas des lignes de courbure circulaires, pourvu que Ton choisisse convenablement la sphere (S ) parmi toutes celles, en nonabre Jnfini, qui passent par la ligne de courbure circulaire de (S ). Car soit alors
la relation Iin6aire entre les cosinus directeurs, relation n^cessairenient unique. Supposons H^o. Si Ton choisit (S ) de telle maniere que 1'on ait
comme il ne peuty avoir aucune relation lineaire entre y', y v , cette unique Equation entrainera les autres relations contenues dans les formnles (^4) et (a5).
1024. Ce point ^tant admis, ilfaut interpreter les Equations (a4) et (a5) qui definissent toutes les surfaces (S- ). Voici le th^oreme de M. Blutel.
Designons par (K) et (K ) deux lignes de courbure correspondantes de (S) et de (2 ). Ces lignes de courbure ne sont pas generalement homothetiques-, mais les d&eloppables (D), (D ) formees par les normales en tous leurs points le sont toujours.
Les courbes (C) et (C ), decrites par les cenfres C et G des deux spheres (S) et (S ), oat leurs tangentes correspondantes toujours paralleles; par suite la droite CC engendre une de- 9eloppable et louche Var&te de rebroussement (R) de cette developpable en un certain point O. Ce point O est le centre d'homothetie des deux developpables (D), (D ). L'homologue du point C dans cette homothetie est le point C ; et le rappon de similitude est 6gal an rapport des distances de ces points GO, C aux deux plans principaux qui contiennent respectivement la tangente & la ligne de premiere courbure de (S ) et la tangente correspondante de (S).
Dans cette proposition, il y a des points qui sont vidents a priori; il y en a d'autres que Ton pourrait demontrer par la Geometrie, mais qui resultent immediatement des relations prec6dentes. Les equations (a5), par exemple, montrent immediatement que les deux courbes (C), (C ) ont leurs ta-ngentes toujours paralleles et que \ estle rapport des distances OG et OC des points GO, G au point de contact de la droite CG avec la courbe qu'elle enveloppe necessairement. II est Evident, au contraire, sans calcul que les developpables (D), (D ) sont homothetiques ; car : i elles ont leurs plans tangents paralleles; 2 les plans de la premiere, coupant la sphere (S) sous un angle constant de cosinus gal a A, sont tous tangents & la sphere (S') concentrique & (S) et de rayon r\Ji A 2 ; 3 pour la meme raison, les plans de la seconde sont tangents a une sphere (S' ) concentrique a (S ) et de rayon 7*o\/i AO' O p deux developpables dont les plans tangents sont parall&Jes sont ^videmment homothetiques des qu'elles sont assujetties en outre a ^tre circonscrites respectivement a deux spheres (S') et(S' ). On passe de Tune a Tautre par 1'hornothetie qui transforme (S') en (S' ); de sorte que le centre d'homoth^tie est surla ligne des centres CC et que le rapport de similitude est gal au rapport des rayons des deux spheres. Or, d'aprs la premiere formule(a3), ce rapport est gal a X : le centre d'homothetie est, par suite, le point 0. La proposition de M. Blutel se trouve ainsi compl&tement 6tablie.
On verrait de m6me que les developpables (D y ), (DJ) circonscrites aux deux surfaces (S), (S ) en tous les points des lignes de courbure (K.), (K ) sont homothetiques, car elles sont circon-
scrites a des spheres (S") el (S*), de rayons rh et r /z , concentriques respectivement a (S) et a (S ). Mais ni le rapport, ni le centre d'homothe"tie, ne sont les me*mes que pour les develop pables (D), (D ). Toutefois ce complement donne a la proposition de M. Blutel est essenliel pour la suite de la recherche.
1025. II nous faut maintenant indiquer comment, a Paide des propositions precedentes, on pourra determiner toules les surfaces (S ) lorsque la surface (S) sera donnee. On aura sept fonctions inconnues # , &o? c 0) r , A OJ \ ^ et seulement les six equations (28), (24) et (20); une des fonctions pourra done tre choisie arbitrairement. Si c'est X par exemple, que 1'on supposera exprimee en a, les equations (M)? (a5) fourniront a , 6< c , p par des quadratures et les deux equations (s3) determineront ensuite r , fiQ en fonction alg-^brique de r et de h. Du reste ces valeurs de TO? AO ressortentimmediatement des formules precedentes (22). Comme on peut aj outer a toutes ces relations la suivante
(26) d(hor ) = \d(hr\
obtenue en differentiant la seconde Equation (28) et tenant compte de la relation (24), on reconnait que 7z ne pourra etre gal a zero tant que h ne sera pas aussi egal a zero. En tenant compte aussi de la premiere equation (28), on peut dire que h et h Q prennent en m&me temps les valeurs o et i .
Par suite, toutes les fois que (S) et (S ) auront leurs lignes de courbure circulates, tons les theoremes precedents leur sont applicables soit que Pon prenne comme spheres (S) et (S ) associ6es dans les enonces precedents, les deux spheres inscrites ou les deux spheres orthogonales aux deux surfaces. Ainsi se trouvent justifies les propositions dont nous avons fait usage plus haut au n 1006.
1026. Pour que la solution prece*dente puisse fournir sans aucun signe de quadrature la surface (S ), il faudrait pouvoir resoudre sans aucun signe de quadrature les Equations suivantes
apres quoi [/. et r 0- se determineraient sans difficulte par les for mules (28).
Le probl&me auquel on se trouve ainsi conduit pent 6tre rdsol de la mani&re suivante :
D6terminons les rapports mutnels de quatre fonctions A, B, C, ] de a par les relations suivantes
La differentiation de ces relations nous conduira aux suivantes
dG dc -+- rfHrf(rA) = o, rfc -H d*H rf(rA)= o,
A <ftz-i-B db-^C dc-t-H d(rh)=o, C d*c +- H d*(rh)= o, - G d*c -+- H rf(M) = o.
ou Ton petit remplacer, de m^me que dans )a premiere (28), dbj dc, d(rh] paries quantil^s proportionnelles da Q , db Q , d(r Q /iQ^ de sorte que 1'on aura n6cessairement
d- G do* -+- d* H
Prenons inaintenant comme inconnue auxiliaire u la fonctio
(3o) w = A#Q -f~ B c/o ~+" G CQ -f- H 7*o/i0.
En diflferentiant les deux membres de cette relation et tenai compte des formules (29), il viendra
de sorte que # , 6 , c o? ^o^o seront dtermines par ces tro Equations et s'exprimeront lin^airement att nioyen de la fonctic arbitraire u et de ses trois premieres deriv^es.
La question propos^e se trouve ainsi compl&tement resolue. peut remarquer que \ sera une fonction linaire de u et de s quatre premieres d^riv^es; et comme \da^ \db, \dc, \d(ri sontdes diflKrentielles exactes, \ sera Vadjointe de Texpressic
SURFACES A LIGNES DE COURBUHE SPHERIQUES. 2D I
lineaire qui, egalee a ze"ro, donnerait une equation differentielle admettant les solutions particulieres a' } &', c f , (rhy.
1027. Au lieu des calculs precedents on peut indiquer une construction geometrique determinant la surface (S ). II suffit de remarquer que les formules (28), (24) et (25) ne cessent pas de subsister si Ton y remplace d'abord h et h par i, puis r, r par /'A, /'o AO- Cela revient a dire que les surfaces a lignes de courbure circulaires (S"), (S' ) enveloppees respective me nt par les spheres (S"), (SJ) out meme representation spherique. D'apres cela, la construction donnee plus haut (n 1007) et indiquee par M. Rouquet pour deduire de toute surface a lignes de courbure circulaires une surface de mme definition admettant m^me representation spherique nous permettra de construire la sphere (S^) et, par suite, la courbe (Co). Cette courbe une fois connue, on pourra construire le point 0, la sphere (S' ), les developpables (D ), (DJ) qui se couperont suivant la ligne de courbure (K ). Du reste, le carre du rayon de (S ) est la somme des carres dts rayons de(S;)etde(S;).
1028. Revenons a la solution analvtique. Nous avons vu que la surface (S ) depend d'une fonction arbitraire. On peut disposer de cette fonction arbitraire de telle fagon que la surface remplisse certaines conditions donne'es a Tavance, par exemple que toutes les spheres (S ) soient orthogonales a une sphere fixe ou passent par un point fixe. Ces deux conditions se traduisent, avec des axes convenables, par une equation de la forme suivante
#? + t>\ -h c\ r\ = const.;
et, si Tony substituelesvaleurs de a ? ^o? o> ^o ^Q fonction de M, on obtiendra une equation differentielle du 4 e ordre a laquelle devra satisfaire cette fonction. Cette equation est quadratique; mais, en la differentiant, on fera apparaitre le facteur \ que Ton devra supprimer; et il restera une Equation lineaire du 5 e ordre. Cela se voit tout de suite si onTe"crit sous la forme
Car en different! ant il viendra
Ainsi, parmi les surfaces (S )j il en existe toujours un nomh illimite pour lesquelles les spheres (S ) passent par un point fi ou sont orthogonales a une sphere fixe.
Or, toute surface (S) pour laquelle les spheres (S) passent r un point fixe est Tinverse par rapport a ce point d'une surface (' a lignes de courbure planes. Done on pourra toujours, par a constructions geometriques qui rt exigent aucune integratic faire d&river toutes les surfaces & lignes de courbure sph riques des surfaces d, lignes de courbure planes : i en prena les inverses de celles-ci; 2 en construisant ensuite les surfcu a lignes de courbure spheriques de mdme representation spl rique que ces inverses.
1029. De celle generation des surfaces a lignes de courbi spheriques r^sultent plusieurs proprietes que nous allons diquer.
Remarquons que, pour deux surfaces (S), (S ) ayant mme i presentation sph^rique etpour deux lignes de courbure phriqi correspondantes (K), (K ), les cdnes enveloppes des plans n maux ont leurs plans tangents paralleles et, par suite, sont hon thetiques. Les dvelopp6es isotropes des lignes (K), (K ), d^ loppees qui sont tracees sur ces c6nes, ont leurs tangen paralleles, et sont, par suite, des courbes homothtiques (b que leur rapport d'homoth^tie ne soit pas en general egal a X), nous supposons que, pour la surface (S ), toutes les spheres (! passent par un point fixe, cette surface sera 1'inverse d'une s face (T) a lignes de courbure planes, et les developp^es isotroi de ses lignes de courbure (K ) seront les inverses des developp isotropes des lignes de courbure planes de (T). C'est, en efl une propriete essentielle, signal^e depuis longtemps (*), des veloppables et par suite des developpees isotropes, de se conser par Pinversion. Gomme les developpees isotropes des lignes
0) Voir la premiere Partie de TOuvrage cit6 plus haul [III, p.
courbure planes de (T) sont egales, nous pouvons done enoncer la proposition suivante :
Etant donnee une surface & lignes de courbure spheriques (S), toutes les developpees isotropes de ses lignes de courbure spheriques peuvent, par des inversions convenables appliquees a chacune d'elles, se transformer en des courbes identiques,
End'antres termes, en soumettant les lignes de courbure (K) a des inversions convenables et variant de rune a Vautre ligne, on pent les placer toutes sur une meme developpable isotrope(k).
Si done une des lignes de courbure spheriques est algebrique, toutes les autres sont necessairement algebriques.
1030. Les remarques que nous venons de signaler rapprochenl evidemment les surfaces a lignes de courbure sphdriques des surfaces a lignes de courbure planes ; et Ton est conduit ainsi a rechercher s'il n'existerait pas, pour les lignes de courbure spheriques, une proposition analogue au th^oreme du n 1000. Cette proposition existe effectivement, mais son enonce demande quelques explications preliminaires.
Consid^rons, d'une maniere gen^rale, deux inversions, definies paries deux spheres principales (S) et (S ). L'effet de ces deux inversions ne sera pas change (*), si Ton substitue a ces deux spheres (S), (S ) deux autres spheres passant par leur cercle d'intersection (C) et se coupant sous le meme angle a que les deux premieres. On peut done dire que 1'effet des deux inversions est d&Gni si Ton donne le cercle (C) et Tangle a. Ajoutons que, pour choisir les deux spheres principales des deux inversions successives dans Tordre convenable, il faut indiquer aussi un sens determine sur le cercle (C). Nous appellerons Teflfet de ces deux inversions une rotation d } angle a autour du cercle (G). Tandis qu'une inversion simple imprime toujours des deplacements finis aux points de Fespace qui ne sont pas voisins de la sphere prin-
0) Voir, en particulier, la Note VI de 1'Ouvrage cite" a la page prcedente.
cipale, une rotation autour d^un cercle pent imprimer des deplacements infiniment petits a tous les points de Pespace, pourvu que son angle soit infiniment petit.
Si Ton soumet la figure et sa Iransforme'e a une inversion dont le p6le se trouve sur le cercle (C), la rotation autour de ce cercle se iransforme en une rotation du mme angle autour de la droite transformed du cercle.
1031. Si 1'on admet cette generalisation de la notion de rotation, il est clair qu'on pent soumettre toute surface a lignes de courbure circulaires (S) a une deformation analogue a cette deformation particuliere d'une developpable dans laquelle les generatrices rectilignes restent rectilignes. Faisons corresponds aux cercles de la surface les generatrices rectilignes d'une developpable; aux rotations infiniment petites autour de ces generatrices rectilignes, des rotations d'angle egal autour des cercles correspondants. A toute flexion de la developpable correspondra une flexion isomorphe de la surface (S), comportant dans sa definition tine fonction arbitraire.
Cette notion adrnise, le lecteur demontrera aisement le theoreme suivant :
Pour obtenir la surface a lignes de courbure spheriques la plus generate on coupe une developpable iso trope (A) par une famille de spheres (S); on soumet ensuite ces spheres et leur surface enveloppe (S) d la flexion qui vient d'etre definie. Les sections de la developpable (A) par les spheres (S) se transforment ttinsi dans une famille de courbes engendrant la surface cherchee.
Les surfaces qui conpent a angle droit une famille de spheres (S) apparaissent ainsi comme les analogues des surfaces moulures de Monge. Pour elles, les lignes de caurbure sont les transformees par des inversions d 7 une m^me courbe, d'ailleurs quelconque.
La proposition precedente permet evidemment de retrouver les propositions que nous avons obtenues plus haut (n 1029).
1032. Nous terminerons ce Chapitre en donnant la demonstration d'une proposition deja enoncee au n 483, et en determinant
toutes les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou spheriques dans les deux systemes. Nous commencerons par etablir un lemme relatif a deux Equations simultanees aux derives partielles du premier ordre. Soient, avec les notations habituelles,
(32) ! Mx*y?*?p?q)^*
ces deux Equations. Si Ton veut qu'elles admettent une solution commune avec une constante arbitral?^ il faudra, comme on sait, que la relation
se vrifie identiquement ou soit une consequence des proposees. La premiere equation aux derivecs partielles (82) a ses caracteristiques definies par les equations differentielles
^ ~ *JL v+pV" *L + g d i'
dp dq da r dz dy dz
de meme, pour la seconde, les caracteristiques sont definies par le systeme suivant
dp dq dx ^ dz
de sorte que la condition d'integrabilil6 (33) se ramne a la re-
lation
(36) dp ox opdx-l- dq oyoq dy = o,
qui doit avoir lieu, bien evidemment, pour deux directions quelconques, en chaque point d'une surface integrate. Or, supposons que les caracteristiques soient les lignes de premiere courbure pour la premiere Equation, et les lignes de seconde courbure pour la seconde. On aura alors
/Q\ dp dq \ ^P ___ tg
( - 7) ' - ' ~ ' te+ 1* + Ss l '
X et [ji d^signant des inconnues auxiliaires; de sorte que la co dition d'intgrabilit< (36) ou Ton remplacera dp, 8p, dq, q j leurs valeurs deduites des equations pr^c^denles prendra la fori
(X p)(dx x + dyty-h dz 8*) = o,
et elle exprimera simplement, \ etant different de JJL, la proprii d'orthogonalite des deux families de lignes de courbure.
1033. D'apres cela, supposons qu'une surface (S) ait toutes lignes de courbure spheriques. Designons par (S H ) les sph& qui contiennent les lignes de premiere courbure et par (S 2 ) spheres qui contiennent les lignes de seconde courbure. Soient Tangle sous lequel la surface doit couper la sph&re (S i ) et Tangle sous lequel elle doit couper la sphere (S 2 ). Parmi spheres (S^ et (S 2 ), choisissons celles qui se coupent en point M de Tespace et dont Tintersection est un cercle (G) i passe en M. Le plan tangent en M a la surface chercb^e sera i demment defini par la double condition de faire les angles co< et respectivement avec les plans tangents en M aux deux spheres ( et(S 2 );cette double condition montre qu'il doit tre tanger deux c6nes de revolution ayant pour axes les rayons des d< spheres qui passent en M, ce qui donne, en general, quatrepl distincts. Prenons Tun quelconque d'entre eux. II coupera < demment les deux plans tangents aux spheres suivant les dt tangentes principales de la surface cherchee. Par cons^qu( pour que la surface existe, pour que la condition d'integrabi soit verifi^e, il sera n6cessaire et suffisant que ces deux dro soient rectangulaires. Cela donne une condition a laqu doivent satisfaire les deux families de spheres (S<) et (S 2 ). C condition peut d'ailleurs s'exprimer sous la forme suivante.
Pour chaque point du cercle (C), construisons le triedre aj pour ar&tes les rayons des deux spheres (S<), (S 2 ) qui aboutisi a ce point et la normale &. la surface cherchde : le di&dre foi par les faces du triedre qui se coupent sui9ant cette norn devra itre droit; et, par suite, si V d^signe Tangle des sph (S^, (S 2 ), la Trigonometric nous donnera imm^diatement la i tion suivante
(38) cosV = costx>i cosco 2 ,
Si les equations des deux families de spheres (S< ) et (S 3 ) sont donnees sous les formes suivantes
a\- t b^Cn r\ , tOj etant fonctions d'un parametre a et a, b*, c 2 , r* d'un aulre parametre [3, la relation (38) donnera la condition
<4o) (i- aa) 2 -<-(&i #2) 2 -t-(i c,)2=:r 2H-f| a/^rjcoscuicoscua,
qui devra tre verifiee identiquement et qui a ete le point de depart duMemoire de M. J.-A. Serret( 1 ).
1034-. Au lieu de snivre la mme me"thode ? nous reprendrons le cercle (C) intersection des deux spheres (S<) et (S 2 ) et nous remarquerons que, si (S) est la surface cherchee, une sphere (U) tangente en Ma (S) couperale cercle (C) en un second point M< tel que le plan tangent a cette sphere en M< fasse aussi les angles u>\ , 0)0 avecles deux spheres (Si), (S 2 ) et coupe les plans tangents en ce m6me point M< aux deux spheres suivant deux droites rectangulaires. II sera done toujours possible d'associer a la surface cherchee (S) une autre surface (S<) de me*mes proprietes, de meme definition, coupant les spheres (S 4 ) et (S 2 ) sous les memes angles, telle, en outre, que (S) et (S,,) constituent, a elles deux, les deux nappes de Fenveloppe des spheres variables (U); et, de plus, Les lignes de courbure se correspondent evidemment sur les deux nappes de cette enveloppe de spheres ( 2 ).
Nous pourrons done appliquer les propositions demontrees au
(*) J.-A. SERRET, Memoire sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou spheriques (Journal deLiouville, t. XVIII, i ra serie, p. n3; i853).
( 3 ) Pour bien comprendre ce point essentiel, remarquons que, lorsqu'on donne a priori les families de spheres (SJ, (S a ) ainsi que les angles w,, w a sous lesquels ces spheres doivent 6tre couples par la surface cherchee (S), cette surface devra verifier deux Equations aux derivees partielles du premier ordre qui admettront une integrate commune avec une constante arbitraire toutes les fois que la condition (38) ou (4o) sera verified. Mais, comme ii passe, en chaque point du cercle (C), quatre plans tangents coupant respectivement les spheres (Sj, (S 4 ) sous les angles c^, w 2 , il y aura quatre families distinctes de surfaces (S), D. IV. 17
Livre IV, Chapitre XV, relativement a ces enveloppes. Pour plus de symetrie, nous emploierons les coordonnees pentaspheriques (Liv* II, Chap. VI). Soil
1'equation de la sphere (U). Solent de meme /^=o, (43)
ies equations des spheres (Si) et (S 2 ); les at etant des fonctions d'unparametre a et les bt des fonctions d'un paramtre J3; les w/ dependront a la fois de a et de (3.
Pour avoir les deux points de contact de (U) avec son enveloppe, il faut joindre a liquation (4i) ses deux derivees
Les deux points de contact devant se trouver par hypothese sur les spheres (S<), (S 2 ), les cinq Equations prec6dentes doivent se r^duire a trois. On aura done necessairement
),, X A, B, A n B { ^tant des fonctions auxiliaires et i devant recevoir les valeurs i , 2, . . . , 5.
D'autre part, les six coordonnees mi de la sphere (U) doivent tre (n 477) des solutions particuli&res d'une equation aux deriv^es partielles de la forme suivante :
-t-D ^p -H Em/=o.
qui correspondront aux quatre plans precedents; et ces families se grouperom deux i deux de telle maniere que deux surfaces difierenles prises dans deux families associees ferment les deux nappes de I'enveloppe de spheres que nous consid^rons dans le texte.
SURFACES A LIGNES DE CQITRBURE SPHERIQUES. 25g
Substituons dans cette Equation les valeurs de ^, ^ definies
par les Equations (45) et celle de j-^5 deduite, par exemple, de la premiere de ces equations. Nous aurons
[ (~ -h CX -4- DX! + XX t -4- E) m,-f. (j"g +CA + D /^/\ J \ r / \ r
